Integrovanie niektorých funkcií obsahujúcich racionálne výrazy

Ciele

Naučiť študentov integrovanie funkcií s kvadratickou iracionalitou v menovateli úpravou kvadratického výrazu na štvorec.
Naučiť študentov integrovanie funkcií Ostrogradského metódou neurčitých koeficientov.
Naučiť študentov integrovať funkcie obsahujúce racionálne výrazy s exponenciálnymi funkciami.
Naučiť študentov integrovať funkcie obsahujúce racionálne výrazy s goniometrickými funkciami.

Úvod

\(\def\a{&}\def\arctg{\mathop{\mathrm{arctg}}} \def\tg{\mathop{\mathrm{tg}}} \def\arccotg{\mathop{\mathrm{arccotg}}} \def\cotg{\mathop{\mathrm{cotg}}} \def\myint#1{\displaystyle\int #1 \,\mathrm{d}x} \def\e{\mathrm{e}}\)Integračné techniky predstavené na predchádzajúcich cvičeniach sú doplnené o základné metódy riešenia úloh obsahujúcich racionálne výrazy s s iracionálnymi, goniometrickými a exponenciálnymi funkciami.

Postup

Kvadratická iracionalita

Integrál typu \(\displaystyle\int {\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt {Ax^2+Bx+C} }}\), riešime úpravou výrazu pod odmocninou na štvorec a následnou substitúciou nájdeme riešenie tohto integrálu pomocou integračného vzorca \[ \int {\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt {x^2\pm a^2} }} =\ln \left| {x+\sqrt {x^2\pm a^2} } \right|+C,\qquad \mbox{resp.}\qquad \int {\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt {a^2-x^2} }} =\arcsin \frac{x}{a}+C. \]
Príklad: Vypočítajme integrál \(\myint {\frac{1}{\sqrt{2x^2-x+3}}}\).

Riešenie: \[ \myint {\frac{1}{\sqrt {2x^2-x+3} }}=\frac{1}{\sqrt 2 }\displaystyle \int {\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2-\frac{x}{2}+\frac{3}{2}} }}= \frac{1}{\sqrt 2 }\displaystyle\int {\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt {\big[ x-\frac{1}{4} \big]^2+\frac{23}{16}} }}= \] \[ =\left| {\begin{array}{l} x-\frac{1}{4}=t \\ \,\mathrm{d}x=\mathrm{d}t \\ \end{array}} \right| = \frac{1}{\sqrt 2 }\int {\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt {t^2+\frac{23}{16}} }}= \] \[ = \frac{1}{\sqrt 2 }\ln \left| {t+\sqrt {t^2+\frac{23}{16}} } \right|+C=\frac{1}{\sqrt 2 }\ln \left| {x-\frac{1}{4}+\sqrt {x^2-\frac{x}{2}+\frac{3}{2}} } \right|+C. \\ \]
Ostrogradského metóda neurčitých koeficientov

Integrál typu \(\myint {\frac{P_n \left( x \right)}{\sqrt {Ax^2+Bx+C} }}\), \(A\ne 0\), kde \(P_n \left( x \right)\) je polynóm \(n\)-tého stupňa, počítame pomocou tzv. Ostrogradského metódy (metódy neurčitých koeficientov), pričom vytvoríme nasledujúcu rovnosť, kde \(Q_{n-1} \left( x \right)\) je polynóm stupňa \(n-1\) s neznámymi koeficientami, ktoré treba určiť a \(k\) je neznáma konštanta \[ \myint {\frac{P_n \left( x \right)}{\sqrt {Ax^2+Bx+C} }}=Q_{n-1} \left( x \right)\cdot \sqrt {Ax^2+Bx+C} +k\int {\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt {Ax^2+Bx+C} }} \,. \] Uvedenú rovnosť zderivujeme a následne vynásobíme výrazom \(\sqrt {Ax^2+Bx+C}\), čím sa zbavíme integrálov a odmocnín. Metódou porovnávania koeficientov vypočítame koeficienty neznámeho polynómu \(Q_{n-1} \left( x \right)\) a koeficient \(k\).
Príklad: Vypočítajme integrál \(\myint {\frac{x^2}{\sqrt{2x^2-4x+1} }}\).

Riešenie: Daný integrál budeme riešiť pomocou metódy neurčitých koeficientov, t. j. \[ \myint {\frac{x^2}{\sqrt {2x^2-4x+1} }}=\left( {ax+b} \right)\sqrt {2x^2-4x+1} +k\int {\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt {2x^2-4x+1} }} . \] Derivovaním oboch strán dostávame \[ \frac{x^2}{\sqrt {2x^2-4x+1} }=a\sqrt {2x^2-4x+1} +\frac{\left( {ax+b} \right)\left( {4x-4} \right)}{2\sqrt {2x^2-4x+1} }+\frac{k}{\sqrt {2x^2-4x+1} }. \] Vynásobením oboch strán výrazom \(\sqrt {2x^2-4x+1} \) máme \[ \begin{array}{c} x^2=a\left( {2x^2-4x+1} \right)+\left( {ax+b} \right)\left( {2x-2} \right)+k \\ x^2=4ax^2-6ax+2bx+a-2b+k \\ \end{array} \] Porovnaním polynómov na oboch stranách rovnice vypočítame koeficienty \[ a=\frac{1}{4},\;\;b=\frac{3}{4},\;\;k=\frac{5}{4}. \] Integrál \(\displaystyle\int {\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt {2x^2-4x+1} }}\) vypočítame úpravou menovateľa na štvorec. Potom \[ \int {\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt {2x^2-4x+1} }=\frac{1}{\sqrt 2 }\ln \left| {x-1+\sqrt {x^2-2x+\frac{1}{2}} } \right|+C} . \] Teda \[ \myint {\frac{x^2}{\sqrt {2x^2-4x+1} }}=\left( {\frac{1}{4}x+\frac{3}{4}} \right)\sqrt {2x^2-4x+1} +\frac{5}{4\sqrt 2 }\ln \left| {x-1+\sqrt {x^2-2x+\frac{1}{2}} } \right|+C . \]

Príklad: Vypočítajme neurčitý integrál \(\myint{\sqrt{1-x^2}}\).

Riešenie: Na prvý pohľad sa nejedná o úlohu na použitie Ostrogradského metódy neurčitých koeficientov. Rozšírením podintegrálnej funkcie vhodnou jednotkou v tvare zlomku dostávame \[ \myint{\sqrt{1-x^2}}=\myint{\frac{1-x^2}{\sqrt{1-x^2}}}\stackrel{\mathrm{O.M.}}{=} (ax+b)\cdot \sqrt{1-x^2} + k\cdot \myint{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}. \] Derivovaním poslednej rovnosti dostávame \[ \frac{1-x^2}{\sqrt{1-x^2}}=a\cdot\sqrt{1-x^2} +(ax+b)\cdot \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}+ k\cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}. \] Po vynásobení tejto rovnosti výrazom \(\sqrt{1-x^2}\) dostávame rovnosť polynómov: \[ 1-x^2 = a\cdot (1-x^2)-(ax+b)\cdot x +k. \] Porovnaním koeficientov dostáme postupne: \[ x^2: \ -1=-2a \quad \Rightarrow \quad a=\frac{1}{2}; \qquad x^1: \ 0=b; \qquad x^0: \ 1=a+k \quad \Rightarrow \quad k=\frac{1}{2}. \] Záver: \[ \myint{\sqrt{1-x^2}}=\frac{x}{2}\cdot \sqrt{1-x^2}+\frac{1}{2}\cdot\arcsin x +C. \]
Integrovanie racionálnych výrazov obsahujúcich exponenciálne funkcie

\(\myint {R\left( {\e^x} \right)} \) vypočítame pomocou substitúcie \(\e^x=t\).
Príklad: Vypočítajme integrál \(\myint {\frac{\e^x}{\sqrt {\e^{2x}-4} }}\).

Riešenie: \(\myint {\frac{\e^x}{\sqrt {\e^{2x}-4} }}=\left| {\begin{array}{l} \;\e^x=t \\ \;\e^x\,\mathrm{d}x=\mathrm{d}t\; \\ \end{array}} \right|=\int {\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt {t^2-4} }} =\ln \left| {t+\sqrt {t^2-4} } \right|+C=\ln \left| {\e^x+\sqrt {\e^{2x}-4} } \right|+C\).

Po použití substitúcie sme dostali integrál, ktorý patrí medzi integračné vzorce.

Príklad: Vypočítajme integrál \(\myint {\frac{1}{\e^x+2}}\).

Riešenie: Podobne ako v predchádzajúcom príklade, použijeme rovnakú substitúciu, kde je ale výhodné premennú \(x\) zo substitúcie najprv vyjadriť a potom derivovať. Po substitúcii dostaneme integrál z rýdzoracionálnej funkcie, kde využijeme rozklad na parciálne zlomky a následné integrovanie. \[ \myint {\frac{1}{\e^x+2}}=\left| {\begin{array}{c} \;\e^x=t \\ \;x=\ln t \\ \mathrm{d}x=\frac{1}{t}\,\mathrm{d}t \\ \end{array}} \right|=\displaystyle\int \frac{1}{t\left( {t+2} \right)}\,\mathrm{d}t=\int \bigg[ \frac{\frac{1}{2}}{t}-\frac{\frac{1}{2}}{t+2} \bigg]\,\mathrm{d}t= \] \[ =\frac{1}{2}\ln \left| t \right|-\frac{1}{2}\ln \left| {t+2} \right|+C =\ln \sqrt { {\frac{\e^x}{\e^x+2}}} +C. \\ \]
Integrovanie racionálnych výrazov obsahujúcich goniometrické funkcie

V tejto časti sa budeme venovať niektorým typom integrálov, ktoré obsahujú goniometrické funkcie. Po ich použití získame integrály racionálnych funkcií.

A: Integrál typu \(\myint {R\left( {\sin x} \right)\cdot \cos x}\) vypočítame pomocou substitúcie \(\sin x=t\), pričom \(\cos x\,\mathrm{d}x=\mathrm{d}t\).
Príklad: Vypočítajme integrál \(\myint {\frac{\left({1+\sin x} \right)\cos x}{\sin ^6x}}\).

Riešenie: \[ \myint {\frac{\left( {1+\sin x} \right)\cos x}{\sin ^6x}}=\left| {\begin{array}{l} \sin x=t \\ \cos x\,\mathrm{d}x=\mathrm{d}t \\ \end{array}} \right|=\displaystyle\int {\frac{ 1+t}{t^6}} \,\mathrm{d}t=\int {\left( {t^{-6}+t^{-5}} \right)} \,\mathrm{d}t= \] \[ =-\frac{1}{5t^5}-\frac{1}{4t^4}+C =-\frac{1}{5\sin ^5x}-\frac{1}{4\sin ^4x}+C. \\ \] Po substitúcii sme dostali integrál, v ktorom integračnú funkciu stačí pred integrovaním rozložiť a upraviť.

B: Integrál typu \(\myint {R\left( {\cos x} \right)\cdot \sin x}\) vypočítame pomocou substitúcie \(\cos x=t\), pričom platí: \(-\sin x\,\mathrm{d}x=\mathrm{d}t\).
Príklad: Vypočítajme integrál \(\myint {\frac{\sin^3x}{\cos ^2x}}\).

Riešenie: V tomto príklade je potrebné integračnú funkciu najprv upraviť a po substitúcii postupovať podobne ako v predchádzajúcej úlohe. \[ \myint {\frac{\sin ^3x}{\cos ^2x}}=\myint {\frac{\sin ^2x\cdot \sin x}{\cos ^2x}}=\myint {\frac{\left( {1-\cos ^2x} \right)\cdot \sin x}{\cos ^2x}}=\left| {\begin{array}{l} \cos x=t \\ -\sin x\,\mathrm{d}x=\mathrm{d}t \\ \end{array}} \right|= \] \[ =\int {\frac{t^2-1}{t^2}} \,\mathrm{d}t= \\ =\int {\left( {1-t^{-2}} \right)} \,\mathrm{d}t=t+\frac{1}{t}+C=\cos x+\frac{1}{\cos x}+C. \]

C: Integrál typu \(\myint {R\left( {\sin x,\;\cos x} \right)}\) v prípade, že sa nedá využiť substitúcia z integrálu typu A alebo B, vypočítame pomocou substitúcie \(\tg\frac{x}{2}=t\), pričom \[ \sin x=\frac{2t}{1+t^2},\qquad \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2},\qquad \mathrm{d}x=\frac{2}{1+t^2}\,\mathrm{d}t. \]
Príklad: Vypočítajme integrál \(\myint{\frac{1}{2\cos x+\sin x+5}}\).

Riešenie: V tomto príklade je potrebné zaviesť substitúciu \(\tg\frac{x}{2}=t\). \[ \myint {\frac{1}{2\cos x+\sin x+5}}=\int {\frac{2\cdot\frac{2}{1+t^2}\,\mathrm{d}t}{\frac{1-t^2}{1+t^2}+\frac{2t}{1+t^2}+5}} =\int {\frac{2}{3t^2+2t+7}} \,\mathrm{d}t=\frac{2}{3}\int {\frac{1}{t^2+\frac{2}{3}t+\frac{7}{3}}} \,\mathrm{d}t, \] dostali sme funkciu v tvare parciálneho zlomku (úprava menovateľa na štvorec) a následné využitie integračného vzorca \(\myint {\frac{1}{a^2+x^2}}=\frac{1}{a}\arctg\frac{x}{a}+C\). \[ \frac{2}{3}\int {\frac{1}{t^2+\frac{2}{3}t+\frac{7}{3}}} \,\mathrm{d}t=\frac{2}{3}\int {\frac{1}{[t+\frac{1}{3}]^2+\frac{20}{9}}} \,\mathrm{d}t =\frac{1}{\sqrt{5} }\arctg\frac{3t+1}{2\sqrt {5}}+C= \] \[ = \frac{1}{\sqrt{5} }\arctg\frac{3\tg\frac{x}{2}+1}{2\sqrt {5} }+C. \]

D: Integrál typu \(\myint {R\left( {\sin ^{2}x,\;\cos ^{2}x,\,\sin x\cdot\cos x,\,\tg x} \right)}\) vypočítame pomocou substitúcie \(\tg x=t\), pričom \[ \sin^2x=\frac{t^2}{1+t^2},\qquad \sin x\cdot\cos x=\frac{t}{1+t^2},\qquad \cos^2x=\frac{1}{1+t^2},\qquad \mathrm{d}x=\frac{1}{1+t^2}\,\mathrm{d}t. \]
Príklad: Vypočítajme integrál \(\myint {\frac{1}{\tg x\cdot \cos 2x}}\).

Riešenie: Integrál najprv upravíme využitím goniometrických vzorcov a zavedieme substitúciu \(\tg x=t\). \[ \myint {\frac{1}{\tg x\cdot \cos 2x}}=\myint {\frac{1}{\tg x\cdot \left( {\cos ^2x-\sin^2x} \right)}}= \int {\frac{1}{t\cdot \left( {\frac{1}{1+t^2}-\frac{t^2}{1+t^2}} \right)}} \;\frac{\mathrm{d}t}{1+t^2}= -\int {\frac{\mathrm{d}t}{t\cdot\left( {t^2-1}\right)}}. \] Dostali sme integrál racionálnej funkcie, ktorý dopočítame pomocou rozkladu na parciálne zlomky \[ -\int {\frac{\mathrm{d}t}{t\cdot\left( {t^2-1} \right)}} = -\int {\frac{\mathrm{d}t}{t\cdot(t-1)\cdot(t+1)}} =\int {\bigg[{\frac{1}{t}-\frac{\frac{1}{2}}{t-1}-\frac{\frac{1}{2}}{t+1}} \bigg]} \,\mathrm{d}t= \] \[ =\ln \left| t \right|-\frac{1}{2}\ln \left| {t^2-1} \right|+C=\ln \left| {\frac{\tg x}{\sqrt {\tg{}^2x-1} }} \right|+C. \]

Doplňujúce úlohy

Úloha: Vypočítajte neurčité integrály s kvadratickou iracionalitou:

\(\myint{\frac{1}{\sqrt {x^2+4x+5} }}\).

Výsledok: \(\ln \left| {x+2+\sqrt {x^2+4x+5} } \right|+C \)
\(\myint{\frac{1}{\sqrt {x^2-2x+4} } }\).

Výsledok: \(\ln \left| {x-1+\sqrt {x^2-2x+4} } \right|+C \)
\(\myint{\frac{1}{\sqrt {2x-x^2} } }\).

Výsledok: \(\arcsin(x-1)+C \)
\(\myint{\frac{2}{\sqrt {4x^2-8x+12} }}\).

Výsledok: \(\ln \left| {x-1+\sqrt {x^2-2x+3} } \right|+C\)
\(\myint{\frac{1}{\sqrt {x^2+10x-5} } }\).

Výsledok: \(\ln \left| {x+5+\sqrt {x^2+10x-5} } \right|+C\)
\(\myint{\frac{1}{\sqrt {2x^2-5x+3} } }\).

Výsledok: \(\frac{1}{\sqrt 2 }\ln \left| {x-\frac{5}{4}+\sqrt {x^2-\frac{5}{2}x+\frac{3}{2}} } \right|+C\)
\(\myint{\frac{x+7}{\sqrt {x^2+4x+5} } }\).

Výsledok: \(\sqrt {x^2+4x+5} +5\ln \left| {x+2+\sqrt {x^2+4x+5} } \right|+C \)
\(\myint{\frac{3x-2}{\sqrt{x^2-2x+4}} }\).

Výsledok: \( 3\sqrt {x^2-2x+4} +\ln \left| {x-1+\sqrt {x^2-2x+4} } \right|+C \)
\(\myint{\frac{3-x}{\sqrt {x^2-2x+3} } }\).

Výsledok: \(-\sqrt {x^2-2x+3} +2\ln \left| {x-1+\sqrt {x^2-2x+3} } \right|+C \)
\(\myint{\frac{2x+5}{\sqrt {x^2+10x-5} } }\).

Výsledok: \( 2\sqrt {x^2+10x-5}-5\ln \left| {x+5+\sqrt {x^2+10x-5} } \right|+C\)
\(\myint{\frac{4x^2-x}{\sqrt {x^2+4x+5} } }\).

Výsledok: \( \left( {2x-13} \right)\sqrt {x^2+4x+5}+16\ln \left| {x+2+\sqrt {x^2+4x+5} } \right|+C \)
\(\myint{\frac{2x^2-3x+5}{\sqrt {x^2-2x+4} } }\).

Výsledok: \( x\sqrt {x^2-2x+4} +\ln \left| {x-1+\sqrt {x^2-2x+4} } \right|+C \)
\(\myint{\frac{x^2+2x+1}{\sqrt {x^2-2x+3} } }\).

Výsledok: \( \left( {\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}} \right)\sqrt {x^2-2x+3} + 3\ln \left| {x-1+\sqrt {x^2-2x+3} } \right|+C \)
\(\myint{\frac{-2x^2-20x+30}{\sqrt {x^2+10x-5} } }\).

Výsledok: \( \left( {-x-5} \right)\sqrt {x^2+10x-5} +50\ln \left| {x+5+\sqrt {x^2+10x-5} } \right|+C \)
\(\myint{\frac{x^3+2}{\sqrt {x^2+1} } }\).

Výsledok: \(\left( {\frac{1}{3}x^2-\frac{2}{3}} \right)\sqrt {x^2+1} + \\ +2\ln \left| {x+\sqrt {x^2+1} } \right|+C \)
\(\myint{\sqrt {x^2-2x-1} }\).

Výsledok: \( \left( {\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}} \right)\sqrt {x^2-2x-1} -\ln \left| {x-1+\sqrt {x^2-2x-1} } \right|+C \)

Úloha: Vypočítajte neurčité integrály s exponenciálnymi funkciami:

\(\myint{\frac{\mathrm{e}^x}{1-\mathrm{e}^{2x}} }\).

Výsledok: \(\frac{1}{2}\ln \left| {\dfrac{1+\mathrm{e}^x}{1-\mathrm{e}^x}} \right|+C \)
\(\myint{\frac{2\mathrm{e}^x}{\mathrm{e}^{2x}-9} }\).

Výsledok: \(\frac{1}{3}\ln \left| {\dfrac{\mathrm{e}^x-3}{\mathrm{e}^x+3}} \right|+C \)
\(\myint{\mathrm{e}^x\cdot\frac{5-\mathrm{e}^x}{\mathrm{e}^{2x}-1} }\).

Výsledok: \(\ln \left| {\dfrac{\left( {\mathrm{e}^x-1} \right)^2}{\left( {\mathrm{e}^x+1} \right)^3}} \right|+C \)
\(\myint{\frac{2\mathrm{e}^{2x}+13e^x}{\mathrm{e}^{2x}+9\mathrm{e}^x+20} }\).

Výsledok: \(\ln \left| {\dfrac{\left( {\mathrm{e}^x+4} \right)^5}{\left( {\mathrm{e}^x+5} \right)^3}} \right|+C \)
\(\myint{\frac{\mathrm{e}^{3x}}{\mathrm{e}^x+1} }\).

Výsledok: \(\frac{1}{2}\mathrm{e}^{2x}-\mathrm{e}^x+\ln \left| {\mathrm{e}^x+1} \right|+C \)
\(\myint{\frac{\mathrm{e}^{4x}-\mathrm{e}^{2x}}{\mathrm{e}^{2x}-16} }\).

Výsledok: \(\frac{1}{2}\mathrm{e}^{2x}+\frac{15}{2}\ln \left| {\mathrm{e}^{2x}-16} \right|+C \)
\(\myint{\frac{4}{\mathrm{e}^x+2} }\).

Výsledok: \(2x-2\ln \left| {\mathrm{e}^x+2} \right|+C \)
\(\myint{\frac{1}{\mathrm{e}^x-7} }\).

Výsledok: \(-\dfrac{x}{7}+\dfrac{1}{7}\ln \left| {\mathrm{e}^x-7} \right|+C \)
\(\myint{\frac{1}{(\mathrm{e}^x-3)(\mathrm{e}^x-2)} }\).

Výsledok: \(\dfrac{x}{6}+\ln \left| {\dfrac{\sqrt[3]{\mathrm{e}^x-3}}{\sqrt {\mathrm{e}^x-2} }} \right|+C \)
\(\myint{\frac{1}{\mathrm{e}^{2x}+2\mathrm{e}^x+1} }\).

Výsledok: \(x-\ln \left| {\mathrm{e}^x+1} \right|+\dfrac{1}{\mathrm{e}^x+1}+C \)

Úloha: Vypočítajte neurčité integrály s goniometrickými funkciami:

\(\myint{\left( {3-2\sin x+3\sin ^2x} \right)\cos x }\).

Výsledok: \(3\sin x-\sin ^2x+\sin ^3x+C \)
\(\myint{\frac{\cos x}{\sqrt {\sin ^2x-4} } }\).

Výsledok: \(\ln \left| {\sin x+\sqrt {\sin ^2x-4} } \right|+C \)
\(\myint{\frac{\sin x}{\sqrt {\strut\cos ^2x+3} } }\).

Výsledok: \(-\ln \left| {\cos x+\sqrt {\cos ^2x+3} } \right|+C \)
\(\myint{\frac{\sin 2x}{\strut\sin ^2x-6} }\).

Výsledok: \(\ln \left| {\sin ^2x-6} \right|+C \)
\(\myint{\frac{\cos 2x}{\cos x-\sin x} }\).

Výsledok: \(\sin x-\cos x+C \)
\(\myint{\frac{\cos 2x}{\sin ^2x} }\).

Výsledok: \(-\cotg x-2x+C \)
\(\myint{\frac{\sin x-5}{\sin ^2x}\cdot\cos x }\).

Výsledok: \( \ln \left| {\sin x} \right|+\dfrac{5}{\sin x}+C\)
\(\myint{\cos x\cdot\sqrt {2+\sin x} }\).

Výsledok: \(\frac{2}{3}\sqrt {\left( {2+\sin x} \right)^3} +C \)
\(\myint{\frac{\cos x}{\sin ^2x+8\sin x+6} }\).

Výsledok: \(-\dfrac{1}{2\sqrt {10} }\cdot\ln \left| {\dfrac{\sqrt {10} +4+\sin x}{\sqrt {10} -4-\sin x}} \right|+C \)
\(\myint{\left( {2-\cos x} \right)^4\sin x }\).

Výsledok: \(\frac{1}{5}\cdot\left( {2-\cos x} \right)^5+C \)
\(\myint{\frac{\sin x}{\cos ^2x-4\cos x+3} }\).

Výsledok: \(\dfrac{1}{2}\cdot\ln \left| {\dfrac{-1+\cos x}{3-\cos x}} \right|+C \)
\(\myint{\frac{\sin 2x}{1-\sin ^2x} }\).

Výsledok: \(-\ln \left| {1-\sin ^2x} \right|+C \)
\(\myint{\frac{\cos x\sin 2x}{6-2\cos x} }\).

Výsledok: \(\frac{1}{2}\,\cos ^2x+3\cos x+9\ln \left| {\cos x-3} \right|+C \)
\(\myint{\frac{9-\cos^2x}{3+\cos x}\;\sin (2x) }\).

Výsledok: \(\frac{2}{3}\,\cos ^3x-3\cos ^2x+C \)
\(\myint{\frac{\sin ^3x}{1+\cos x} }\).

Výsledok: \(\dfrac{\cos ^2x}{2}-\cos x+C \)
\(\myint{\cos ^3x }\).

Výsledok: \(\sin x-\frac{\sin ^3x}{3}+C \)
\(\myint{\cos ^5x }\).

Výsledok: \(\sin x-\frac{2}{3}\sin ^3x+\frac{1}{5}\sin ^5x+C \)
\(\myint{\cotg x\cdot \ln(\sin x )}\).

Výsledok: \(\frac{1}{2}\,\ln ^2\sin x+C \)
\(\myint{\tg x\cdot \ln(\cos x) }\).

Výsledok: \(-\frac{1}{2}\,\ln ^2\cos x+C \)
\(\myint{\frac{5-\sin x}{\sin ^2x-1}\cdot\cos x }\).

Výsledok: \(\ln \left| {\dfrac{\left( {\sin x-1} \right)^2}{\left( {\sin x+1} \right)^3}} \right|+C \)
\(\myint{\frac{2\cos x}{\sin ^2x-9} }\).

Výsledok: \(\dfrac{1}{3}\ln \left| {\dfrac{\sin x-3}{\sin x+3}} \right|+C \)
\(\myint{\frac{2\sin x}{\cos ^2x-9} }\).

Výsledok: \(-\dfrac{1}{3}\ln \left| {\dfrac{\cos x-3}{\cos x+3}} \right|+C \)
\(\myint{\frac{\cos x}{1-\sin ^2x} }\).

Výsledok: \(\dfrac{1}{2}\ln \left| {\dfrac{1+\sin x}{1-\sin x}} \right|+C \)
\(\myint{\frac{2+4\sin x}{\sin ^2x-2\sin x-8}\cdot\cos x }\).

Výsledok: \(\ln \left| {\left( {\sin x+2} \right)\left( {\sin x-4} \right)^3} \right|+C \)
\(\myint{\frac{-\cos x-1}{\cos ^2x-7\cos x+10}\cdot\sin x }\).

Výsledok: \(\ln \left| {\dfrac{\left( {\cos x-5} \right)^2}{\cos x-2}} \right|+C \)
\(\myint{\frac{2\cos x+13}{\cos ^2x+9\cos x+20}\cdot\sin x }\).

Výsledok: \(\ln \left| {\dfrac{\left( {\cos x+5} \right)^3}{\left( {\cos x+4} \right)^5}} \right|+C \)
\(\myint{\frac{1}{3+5\cos x} }\).

Výsledok: \(\dfrac{1}{4}\ln \left| {\dfrac{2+\tg\frac{x}{2}}{2-\tg\frac{x}{2}}} \right|+C \)
\(\myint{\frac{\cos x}{1+\cos x} }\).

Výsledok: \(x-\tg\frac{x}{2}+C \)
\(\myint{\frac{1}{\cos x+2\sin x+3} }\).

Výsledok: \(\arctg\left( {1+\tg\frac{x}{2}} \right)+C \)
\(\myint{\frac{2-\sin x}{2+\cos x} }\).

Výsledok: \(\ln \left| {2+\cos x} \right|+\dfrac{4}{\sqrt 3 }\,\arctg\left( {\frac{1}{\sqrt 3 }\tg\frac{x}{2}} \right)+C \)
\(\myint{\frac{1+\sin x+\cos x}{1-\sin x-\cos x} }\).

Výsledok: \(-x+2\ln \left| {\dfrac{1-\tg\frac{x}{2}}{\tg\frac{x}{2}}} \right|+C \)
\(\myint{\frac{1+\tg x}{1-\tg x} }\).

Výsledok: \(-\ln \left| {\cos x-\sin x} \right|+C \)
\(\myint{\frac{1}{3\sin ^2x+5\cos ^2x} }\).

Výsledok: \(\dfrac{1}{15}\,\arctg\left( {\frac{\sqrt 3 }{\sqrt 5 }\,\tg x} \right)+C \)
\(\myint{\frac{1}{\sin ^2x+3\cos ^2x+2} }\).

Výsledok: \(\dfrac{1}{\sqrt {15} }\,\arctg\left( {\frac{\sqrt 3 }{\sqrt 5 }\,\tg x} \right)+C \)
\(\myint{\frac{\sin ^2x}{1-\tg x} }\).

Výsledok: \(\frac{1}{4}\,\cos x\,\left( {\cos x-\sin x} \right)-\frac{1}{4}\,\ln \left| {\cos x-\sin x} \right|+C \)
\(\myint{\frac{\sin x}{\sqrt {2\sin x+1} }\cdot\cos x }\).

Výsledok: \( \dfrac{1}{6}\sqrt {\left( {2\sin x+1} \right)^3} -\dfrac{1}{2}\sqrt {\strut2\sin x+1} +C \)
\(\myint{\frac{\sin x-1}{\sqrt[3]{\sin x+1}}\cdot\cos x }\).

Výsledok: \( \dfrac{3}{5}\sqrt[3]{\left( {\sin x+1} \right)^5}-3\sqrt[3]{\left( {\sin x+1} \right)^2}+C \)
\(\myint{\frac{3\sin x+1}{\sqrt[3]{3\sin x-2}}\cdot\cos x }\).

Výsledok: \(\dfrac{1}{5}\sqrt[3]{\left( {3\sin x-2} \right)^5}+\dfrac{3}{2}\sqrt[3]{\left( {3\sin x-2} \right)^2}+C \)
\(\myint{\frac{\sqrt {\cos x+1} }{\cos x}\cdot\sin x }\).

Výsledok: \(-2\sqrt {\cos x+1} +\ln \left| {\dfrac{1+\sqrt {\cos x+1} }{1-\sqrt {\cos x+1} }} \right|+C \)
\(\myint{\frac{1}{\sqrt {\cos x} +\sqrt[4]{\cos x}}\cdot\sin x }\).

Výsledok: \(-2\sqrt {\cos x} +4\sqrt[4]{\cos x}-4\ln \left| {\sqrt[4]{\cos x}+1} \right|+C \)

Integrovanie niektorých funkcií obsahujúcich racionálne výrazy

Ciele

Úvod

Postup

Doplňujúce úlohy

Doplňujúce zdroje