Náčrt grafov jednoduchých racionálnych funkcií

Ciele

Naučiť sa určovať definičný obor a body nespojitosti racionálnych funkcií. \(\def\a{&}\)
Naučiť sa určovať jednostranné limity v bodoch nespojitosti racionálnych funkcií a asymptoty bez smernice.
Naučiť sa určovať asymptoty so smernicou racionálnych funkcií.
Naučiť sa určovať nulové body racionálnych funkcií.
Naučiť sa načrtávať grafy racionálnych funkcií.

Úvod

priebehu funkcií

hypotézy grafu funkcie

určení definičného oboru funkcie;
vyšetrení správania sa funkcie v krajných bodoch definičného oboru;
určení nulových bodov funkcie.

Postup

Venujme sa teda najprv určovaniu definičného oboru racionálnych funkcií. Keďže z možných problémov prichádza do úvahy len nulový menovateľ funkcie, riešenie úlohy určenia problematických bodov spočíva v riešení algebraickej rovnice, ktorej ľavú stranu tvorí menovateľ funkcie.
Príklad: Určme definičný obor funkcie \begin{equation}\label{cv61} f(x)=\frac{x}{x^2+1}. \end{equation}

Riešenie: Problematické sú tie hodnoty \(x\), pre ktoré je menovateľ rovný nule. Teda je potrebné riešiť algebrickú rovnicu \[ x^2+1=0. \] Môžeme ju riešiť pomocou vzorca na riešenie kvadratickej rovnice: \[ x_{1,2}=\frac{-0\pm\sqrt{0^2-4\cdot1\cdot1}}{2\cdot1}=\frac{\pm\sqrt{-4}}{2\cdot1}. \] Je zrejmé, že rovnica vzhľadom na záporný diskriminant nemá žiadne reálne riešenie, a teda menovateľ sa nikdy nemôže rovnať nule. To znamená, že definičným oborom funkcie (\ref{cv61}) je \(\mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\).

Príklad: Určme definičný obor funkcie \begin{equation}\label{cv62} g(x)=\frac{x^2+1}{x+1}. \end{equation}

Riešenie: Riešime algebrickú rovnicu \[ x+1=0, \] ktorej jediným riešením je zrejme bod \(x=-1\). Len tento bod nepatrí do definičného oboru funkcie \(g\), a teda \[\mathcal{D}(g)=\mathbb{R}\backslash\{-1\}=(-\infty;-1)\cup(-1;\infty).\]

Príklad: Určme definičný obor funkcie \begin{equation}\label{cv63} h(x)=\frac{x^2-x-2}{x^3-7x-6}. \end{equation}

Riešenie: Riešime algebrickú rovnicu 3. stupňa: \[ x^3-7x-6=0. \] Na riešenie kubických rovníc existujú Cardanove vzorce, avšak my sme sa už s riešením takýchto úloh stretli v cvičení 4. Na riešenie použijeme Hornerovu schému: \[ \begin{array}{r|c|c|c|r} \a 1 \a 0 \a -7 \a -6 \\ \hline x=-1 \a 1 \a -1 \a -6 \a 0 \\ \hline \end{array} \] Teda \(x_1=-1\) a prípadné ostatné korene určíme riešením kvadratickej rovnice \[ x^2-x-6=0, \] \[ x_{2,3}=\frac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot1\cdot(-6)}}{2\cdot1}=\frac{1\pm\sqrt{25}}{2}=\frac{1\pm25}{2}=\left\{\begin{array}{r}3,\\-2.\end{array}\right. \] Definičným oborom funkcie (\ref{cv63}) je \[ \mathcal{D}(h) =\mathbb{R}\backslash\{-1;3;-2\}=(-\infty;-2)\cup(-2;-1)\cup(-1;3)\cup(3;\infty). \]
Po určení definičného oboru môžeme upresniť správanie sa funkcie v blízkom okolí problematických bodov. Predtým, ako pristúpime k riešeniu nasledujúcich úloh, zavedieme niekoľko užitočných označení, ktoré budeme používať na zjednodušenie zápisu postupu riešenia. Pritom použijeme tzv. fuzzy (nie celkom presné, neurčité) pojmy malé a veľké. Dohodnuté označenia:
- malé kladné číslo budeme označovať \(+0\) alebo tiež \(0^+\);
- malé záporné číslo, t. j. číslo, ktorého absolútna hodnota je malá, budeme označovať \(-0\) alebo tiež \(0^-\);
- veľké kladné číslo budeme označovať \(+\infty\) alebo tiež jednoducho \(\infty\);
- veľké záporné číslo, t. j. číslo, ktorého absolútna hodnota je veľká, budeme označovať \(-\infty\);
- hodnotu, ktorá sa nachádza tesne pod hodnotou \(a\), t. j. číslo, ktoré je menšie ako číslo \(a\) a nachádza sa veľmi blízko \(a\), označíme \(a^-\) (čítame to číslo \(a\) zľava);
- hodnotu, ktorá sa nachádza tesne nad hodnotou \(a\), t. j. číslo, ktoré je väčšie ako číslo \(a\) a nachádza sa veľmi blízko \(a\), označíme \(a^+\) (čítame to číslo \(a\) sprava).
Pri takejto dohode bude zrejme platiť (skúste symboly nahradiť ich slovnými definíciami): \begin{equation}\label{cv6_mv} \frac{1}{+\infty}=+0,\quad \frac{1}{-\infty}=-0,\quad \frac{1}{+0}=+\infty,\quad \frac{1}{-0}=-\infty. \end{equation} Ak si predstavíme, že hodnoty sú veľmi malé alebo veľmi veľké, rovnosti (\ref{cv6_mv}) predstavujú skrátený zápis nasledujúcich nevlastných (jednostranných) limít: \begin{equation}\label{cv6_lim} \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=+0,\quad \lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x}=-0,\quad \lim_{x\to0^+}\frac{1}{x}=+\infty,\quad \lim_{x\to0^-}\frac{1}{x}=-\infty. \end{equation} Práve v takomto limitnom zmysle budeme chápať zápisy (\ref{cv6_mv}) a (\ref{cv6_lim}) ako ekvivalentné.

Podobne môžeme zapísať (premyslite si zmysel týchto zápisov): \[ a^-=a+(-0)=a+0^-=a-(+0)=a-0^+, \] \[ a^+=a+(+0)=a+0^+=a-(-0)=a-0^-. \]
Príklad: Určme všetky jednostranné limity v bodoch nespojitosti funkcie \begin{equation}\label{cv64} f(x)=\frac{x^2-4}{x^3-4x^2-3x+18}. \end{equation}

Riešenie: Najprv určíme body nespojitosti. Keďže stupeň polynómu v menovateli je 3, použijeme Hornerovu schému: \[ \begin{array}{r|r|r|r|r} \a 1 \a -4 \a -3 \a 18 \\ \hline x=-1 \a 1 \a -5 \a 2 \a 16\ne0 \\ \hline x=1 \a 1 \a -3 \a -6 \a 12\ne0 \\ \hline x=2 \a 1 \a -2 \a -7 \a 4\ne0 \\ \hline x=3 \a 1 \a -1 \a -6 \a 0 \\ \hline \end{array} \] Teda \(x_1=3\) a prípadné ďalšie problematické body určíme riešením kvadratickej rovnice \[ x^2-x-6=0, \] ktorú sme už náhodou riešili vyššie. Máme teda \[ x_{2,3}=\frac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot1\cdot(-6)}}{2\cdot1}=\frac{1\pm\sqrt{25}}{2}=\frac{1\pm25}{2}=\left\{\begin{array}{r}3,\\-2.\end{array}\right. \] Funkcia \(f(x)\) má teda dva body nespojitosti: \(x_1=3\) (dvojnásobný koreň menovateľa) a \(x_3=-2\). Skúsme do výrazu funkcie dosadiť hodnotu \(-2^-\), t. j. určme funkčnú hodnotu \(f(-2^-)\). Napriek tomu, že konkrétnu hodnotu čísla \(-2^-\) nepoznáme, môžeme usudzovať o hodnote \(f(-2^-)\). Premyslite si, význam nasledujúcej postupnosti rovností, v menovateli využijeme rozklad polynómu na súčin koreňových činiteľov: \begin{equation}\label{cv65} f(-2^-)=\frac{(-2^-)^2-4}{(-2^-+2)(-2^--3)^2}=\frac{4^+-4}{(0^-)\cdot25^+}=\frac{0^+}{0^-}. \end{equation} Dospeli sme k tzv. neurčitému výrazu typu \(\frac00\). Nula v čitateli svedčí o tom, že číslo \(x_3=-2\) je zrejme koreňom čitateľa, o čom sa môžeme jednoducho presvedčiť. Funkciu \(f(x)\) môžeme zapísať v nasledujúcom tvare: \[ f(x)=\frac{x^2-4}{x^3-4x^2-3x+18}=\frac{(x+2)(x-2)}{(x+2)(x-3)^2}. \] Zdalo by sa, že výraz \((x+2)\) môžeme jednoducho vykrátiť. Tým by sme sa dopustili chyby, pretože vo všeobecnosti neplatí, že: \[ \frac{(x+2)(x-2)}{(x+2)(x-3)^2}=\frac{(x-2)}{(x-3)^2}. \] Zdôvodnite toto tvrdenie.

Našťastie pri dosadzovaní hodnoty \(-2^-\) výraz \(x+2\) je zrejme nenulový (prečo?), a teda ho môžeme krátiť. Preto \[ f(-2^-)=\frac{(x+2)(x-2)}{(x+2)(x-3)^2}\bigg|_{x=-2^-}=\frac{(x-2)}{(x-3)^2}\bigg|_{x=-2^-}= \frac{-2^--2}{(-2^--3)^2}=\frac{-4^-}{25^+}\,\,\dot=-\frac{4}{25}. \] Podarilo sa nám ukázať, že ak budeme dosadzovať hodnoty \(x\) menšie ako \(-2\), blízke k \(-2\), budú funkčné hodnoty blízke číslu \(-4/25\).

Podobne dostaneme \[ f(-2^+)=\frac{(x+2)(x-2)}{(x+2)(x-3)^2}\bigg|_{x=-2^+}=\frac{(x-2)}{(x-3)^2}\bigg|_{x=-2^+}= \frac{-2^+-2}{(-2^+-3)^2}=\frac{-4^+}{25^-}\,\,\dot=-\frac{4}{25}. \]
Poznámka: Napriek tomu, že sa nám v tomto prípade nepodarilo určiť, či budú funkčné hodnoty väčšie alebo menšie ako \(-4/25\), môžeme smelo tvrdiť, že budú blízke tejto hodnote. Naše úvahy však boli veľmi jednoduché, aj keď je potrebné si na ne zvyknúť.

Poznámka: O správnosti našich úvah sa môžete presvedčiť tak, že nejaké číslo blízke \(-2\), napríklad \(-1{,}98=-2^+\) dosadíme do predpisu funkčnej hodnoty, t. j. tak, že vypočítame \(f(-1{,}98)\).
Výsledok, ktorý sme dosiahli, môžeme priebežne uzavrieť nasledujúcim spôsobom: bod \(x_3=-2\) je tzv. odstrániteľný bod nespojitosti, pretože ak dodefinujeme funkciu \(f(x)\) v bode \(-2\) ako \[ f(-2)\stackrel{\mathrm{def}}{=}-\frac{4}{25}, \] dostaneme funkciu spojitú v okolí bodu \(x=-2\). Uvažujme teraz jednostranné limity v bode \(x_1=3\), pričom využijeme vykrátený tvar, pretože hodnota výrazu \(x+2\) v okolí bodu 3 je blízka \(5\ne0\): \[ f(3^-)=\frac{3^--2}{(3^--3)^2}=\frac{1^-}{(-0)^2}=\frac{1^-}{+0} =+\infty, \] \[ f(3^+)=\frac{3^+-2}{(3^+-3)^2}=\frac{1^+}{(+0)^2}=\frac{1^+}{+0} =+\infty. \] Tieto úvahy sú ekvivalentné nasledujúcim výsledkom: \[ \lim_{x\to3^-}f(x)=+\infty, \qquad \lim_{x\to3^+}f(x)=+\infty. \] V tomto prípade hovoríme, že bod \(x=3\) je bodom nespojitosti druhého druhu (množina funkčných hodnôt v ľubovoľnom okolí bodu \(x=3\) je neohraničená) a priamka \(x=3\) v rovine \(x\)--\(y\) sa nazýva asymptota bez smernice funkcie \(f(x)\) v bode \(x=3\).
Poznámka: Výsledok môžeme zapísať, napríklad, aj nasledujúcim spôsobom, ktorý vyzerá vedeckejšie: \[ \lim_{x\to3^-}f(x)\stackrel{\mathrm{typ}}{=}\left[\frac{3^--2}{(3^--3)^2}=\frac{1^-}{(-0)^2}=\frac{1^-}{+0}\right]=+\infty. \]

Poznámka: Výsledok dvoch jednostranných nevlastných limít sa zvykne označovať ako obojstranná nevlastná limita: \[ \lim_{x\to3^-}f(x)=+\infty\qquad\wedge\quad \lim_{x\to3^+}f(x)=+\infty\qquad\Longleftrightarrow\qquad \lim_{x\to3}f(x)=+\infty. \]

Príklad: Určme všetky jednostranné limity v bodoch nespojitosti funkcie \begin{equation}\label{cv66} g(x)=\frac{x+4}{x^3}. \end{equation}

Riešenie: V tomto prípade je zrejmé, že jediným problematickým bodom je bod nespojitosti \(x=0\). Vyšetrime jednostranné limity v okolí tohoto bodu: \[ g(0^-)=g(-0)=\frac{(-0)^2+4}{(-0)^3}=\frac{0^++4}{-0}=\frac{4^+}{-0}=-\infty, \] \[ g(0^+)=g(+0)=\frac{(+0)^2+4}{(+0)^3}=\frac{0^++4}{+0}=\frac{4^+}{+0}=+\infty. \] Aj v tomto prípade sme ukázali, že množina funkčných hodnôt v okolí bodu \(x=0\) je neohraničená, a teda tento bod je bodom nespojitosti druhého druhu a priamka \(x=0\) je asymptota bez smernice.
Poznámka: Na rozdiel od riešenia predchádzajúcej limity sú v tomto prípade hodnoty jednostranných limít rôzne! V tomto prípade neexistuje obojstranná limita funkcie \(g(x)\) v bode \(x=0\), t. j. neexistuje \[ \lim_{x\to0} g(x) = \lim_{x\to0} \frac{x+4}{x^3}\ ! \]
Asymptoty so smernicou pomáhajú lepšie pochopiť správanie sa funkcií (nielen racionálnych) pri veľkých hodnotách nezávisle premennej \(x\). Priamka \(y=k_+\cdot x +q_+\) sa nazýva asymptota so smernicou funkcie \(f(x)\) v bode \(x=+\infty\) práve vtedy, ak \begin{equation}\label{eq:ass} \lim_{x\to\infty} \big[f(x)-(k_+\cdot x +q_+)\big]=0, \end{equation} resp. priamka \(y=k_-\cdot x +q_-\) sa nazýva asymptota so smernicou funkcie \(f(x)\) v bode \(x=-\infty\) práve vtedy, ak \begin{equation}\label{eq:assm} \lim_{x\to-\infty} \big[f(x)-(k_-\cdot x +q_-)\big]=0. \end{equation} Z definície asymptoty so smernicou (skrátene ASS) vyplývajú v prípade jej existencie nasledujúce vzorce: \begin{equation}\label{eq:kaq} k_+=\lim_{x\to+\infty} \frac{f(x)}x,\qquad q_+=\lim_{x\to+\infty}\big[f(x)-k_+\cdot x\big], \end{equation} \begin{equation}\label{eq:kaqm} k_-=\lim_{x\to-\infty} \frac{f(x)}x,\qquad q_-=\lim_{x\to-\infty}\big[f(x)-k_-\cdot x\big]. \end{equation}
Poznámka: Čísla \(k_+\), resp. \(k_-\) sú smernice priamok \(y=k_+\cdot x +q_+\), resp. \(y=k_-\cdot x +q_-\), preto majú tieto asymptoty prívlastok so smernicou. Asymptoty uvažované v predchádzajúcom oddieli typu \(x=x_*\) nie je možné zapísať v smernicovom tvare, preto majú prívlastok bez smernice.

Príklad: Určme asymptoty so smernicou funkcie funkcie \[ f(x)=\frac{x^2-x+5}{x+3}. \]

Riešenie: Začneme určením ASS v bode \(x=+\infty\). Predtým ako použijeme vzorec (\ref{eq:kaq}) skúsme zjednodušiť výraz \(f(x)\) pri obrovských hodnotách \(x\). Ak si uvedomíme, že v čitateli je najväčším členom výraz \(x^2\) a v menovateli výraz \(x\) (skúste toto tvrdenie zdôvodniť), dostávame: \[ f(x)\stackrel{x\approx\infty}{\approx}\frac{x^2}{x}=x=1\cdot x, \] z čoho vyplýva, že \(k_+=k_-=1\). A teraz vedecké riešenie: \[ k_+=\lim_{x\to+\infty} \frac{f(x)}x=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2-x+5}{x(x+3)}=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2(1-1/x+5/x^2)}{x^2(1+3/x)}= \] \[ =\lim_{x\to+\infty}\frac{1-1/x+5/x^2}{1+3/x}\stackrel{\mathrm{typ}}{=} \left[\frac{1-1/(+\infty)+5/(+\infty)}{1+3/(+\infty)}=\frac{1-(+0)+(+0)}{1+3\cdot(+0)}\right]=\frac{1}{1}=1. \] Podobne sa dá určiť \(k_-=1\). \[ q_+=\lim_{x\to+\infty}\big[f(x)-k_+\cdot x\big]=\lim_{x\to+\infty}\left[\frac{x^2-x+5}{x+3}-1\cdot x\right]= \] \[ =\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2-x+5-x(x+3)}{x+3}=\lim_{x\to+\infty}\frac{-4x+5}{x+3}=\lim_{x\to+\infty}\frac{x(-4+5/x)}{x(1+3/x)}= \] \[ =\lim_{x\to+\infty}\frac{-4+5/x}{1+3/x}\stackrel{\mathrm{typ}}{=}\left[\frac{-4+5/(+\infty)}{1+3/(+\infty)}=\frac{-4+5\cdot(+0)}{1+3\cdot(+0)}\right]=\frac{-4}{1}=-4. \] Keďže obidve limity (\ref{eq:kaq}) existujú, môžeme konštatovať, že priamka \(y=x-4\) je asymptota so smernicou funkcie \(f(x)\) v bode \(x=+\infty\).
Poznámka: Dá sa ukázať, že v prípade racionálnej funkcie, ak existuje ASS v bode \(x=+\infty\), je tá istá priamka aj ASS v bode \(x=-\infty\). Teda namiesto označení \(k_+\), \(k_-\), \(q_+\), \(q_-\) stačí použiť smernicu \(k\) a koeficient \(q\). Táto vlastnosť neplatí v prípade všeobecnej funkcie \(f(x)\) – je možné, že všeobecná funkcia nemá ASS, má ASS len v jednom z bodov \(\pm\infty\), prípadne môžu existovať dve rovnaké alebo dve rôzne ASS v bodoch \(\pm\infty\).

Poznámka: Úlohu určenia ASS v prípade racionálnej funkcie je možné riešiť aj iným spôsobom, ktorý vysvetlíme pri riešení nasledujúcej úlohy.

Príklad: Určme ASS funkcie \[ r(x)=\frac{3-2x^3}{x^2+2x-4}. \]

Riešenie: Úlohu budeme riešiť delením polynómov: \[ \begin{array}{ll} ~~~(-2\,x^3+3):(x^2+2x-4)\a =-2\,x+4+\dfrac{-16\,x+19}{x^2+2x-4}\\[1mm] -(-2\,x^3-4x^2+8\,x)\\ \hline ~~~4x^2-8\,x+3 \\ -(4x^2+8\,x-16)\\ \hline -16\,x+19 \end{array} \] Racionálnu funkciu \(r(x)\) sme teda rozložili na súčet polynómu (lineárnej funkcie) a rýdzoracionálnej funkcie: \[ r(x)=\frac{3-2x^3}{x^2+2x-4}=-2\,x+4+\dfrac{-16\,x+19}{x^2+2x-4}. \] Ukážeme, že priamka \(y=-2\,x+4\) je ASS funkcie \(r(x)\). Vypočítame limitu rýdzoracionálnej zložky, napríklad, v bode \(x=-\infty\). \[ \lim_{x\to-\infty}\frac{-16\,x+19}{x^2+2x-4}=\lim_{x\to-\infty}\frac{x(-16+19/x)}{x^2(1+2/x-4/x^2)}= \lim_{x\to-\infty}\frac{-16+19/x}{x(1+2/x-4/x^2)}\stackrel{\mathrm{typ}}{=} \] \[ \stackrel{\mathrm{typ}}{=}\left[\frac{-16+19/(-\infty)}{-\infty(1+2/(-\infty)-4/(-\infty)^2)}=\frac{-16+19\cdot(-0)}{-\infty(1+2\cdot(-0)-4\cdot(+0))}=\frac{-16^-}{-\infty\cdot1^-}=+0\right]=0. \]
Poznámka: Pri poslednej úvahe nie je dôležité, či hodnoty sú \(-16^-\), resp. \(1^-\), rovnaký výsledok by bol, napríklad, v prípade \(-16^+\) alebo \(1^+\) (premyslite si, prečo).

Poznámka: Rovnaký výsledok by sme dostali v prípade ľubovoľnej rýdzoracionálnej funkcie – jej limity v bodoch \(\pm\infty\) sú vždy rovné nule!

Poznámka: Nulový výsledok limity rýdzoracionálnej funkcie dokazuje, že funkcia \(y=-2x+4\) je ASS so smernicou funkcie \(r(x)\).

Poznámka: Ak by sme chceli určiť len smernicu \(k\), stačilo by napísať: \[ f(x)\stackrel{x\approx\infty}{\approx}\frac{-2x^3}{x^2}=-2\cdot x, \] t. j. \(k=-2\) (čo je jednoduchšie ako delenie polynómov).

Príklad: Určme asymptoty so smernicou funkcie \[ g(x)=\frac{x^3}{x-5}. \]

Riešenie: Úlohu budeme riešiť pomocou delenia polynómov: \[ \begin{array}{ll} ~~~x^3:(x-5)\a =x^2+5\,x+25+\dfrac{125}{x-5}\\[1mm] -(x^3-5x^2)\\ \hline ~~~5x^2 \\ -(5x^2-25\,x)\\ \hline ~~~25\,x\\ -(25x-125)\\ \hline ~~~125\\ \end{array} \] Vidíme, že výsledný polynóm je polynóm 2. stupňa, čo znamená, že funkcia \(g(x)\) nemá asymptotu so smernicou! V tomto prípade neexistuje limita (\ref{eq:kaq}) určujúca smernicu \(k\). Na overenie sa pokúsme určiť smernicu \(k\): \[ k=\lim_{x\to\infty} \frac{f(x)}x=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^3}{x(x-5)}=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^3}{x^2(1-5/x)}= \lim_{x\to+\infty}\frac{x}{1-5/x} \stackrel{\mathrm{typ}}{=} \] \[ \stackrel{\mathrm{typ}}{=}\left[\frac{+\infty}{1-5/(+\infty)}=\frac{+\infty}{1-5\cdot(+0)}=\frac{+\infty}{1^-}\right]=\infty. \] V tomto prípade vravíme, že limita (počítaná v nevlastnom bode \(+\infty\)) je nevlastná, t. j. smernica \(k\) neexistuje.
Poznámka: Napriek tomu, že funkcia nemá ASS, môžeme tvrdiť, že má kvadratickú asymptotickú funkciu, t. j., že existuje parabola, ktorej hodnoty je možné pri veľkých hodnotách nezávisle premennej \(x\) prakticky použiť namiesto hodnôt samotnej funkcie \(g(x)\). Asymptotické funkcie sa používajú na zjednodušenie výrazov najmä vo fyzike.
Ďalším krokom pri štúdiu vlastností racionálnych funkcií je určovanie ich nulových bodov. Za nulové body považujeme priesečníky grafu funkcie \(R(x)\) so súradnicovými osami. S osou \(o_y\) môže mať graf najviac jeden priesečník, ktorý existuje vždy v prípade, ak bod 0 patrí do definičného oboru \(\mathcal{D}(R)\) funkcie \(R\). V tom prípade má funkcia \(R(x)\) nulový bod \((0;R(0))\).

Priesečníky grafu s osou \(o_x\) sú tie body grafu, v ktorých racionálna funkcia nadobúda nulové funkčné hodnoty, t. j. body \((x_0;0)\), pre tie \(x_0\), pre ktoré platí \(R(x_0)=0\).

V prípade racionálnej funkcie v tvare \[ R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}, \] platí \[ R(x_0)=0\qquad\Longleftrightarrow\qquad P(x_0)=0\ \wedge\ Q(x_0)\ne0, \] t. j. na určenie priesečníkov s osou \(o_x\) je potrebné vyriešiť algebrickú rovnicu \[ P(x)=0 \] a overiť, či riešenie \(x_0\) patrí do definičného oboru \(\mathcal{D}(R)\), čiže či \(Q(x_0)\ne0\).
Príklad: Určme všetky nulové body funkcie (\ref{cv64}) \[ R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{x^2-4}{x^3-4x^2-3x+18}. \]

Riešenie: A) Keďže \(0\in\mathcal{D}(R)\), prvým nulovým bodom bude priesečník s osou \(o_y\): \(N_1=(0;-4/18)=(0;-2/9)\).

B) Ďalej určíme všetky riešenia rovnice \(P(x)=0\), t. j. \(x^2-4=0\) (čitateľ sa rovná nule). Dostávame \(x_{0_1}=-2\) a \(x_{0_2}=2\). Po dosadení do menovateľa dostávame \(Q(-2)=0\) a \(Q(2)=4\ne0\), t. j. funkcia má druhý nulový bod \(N_2=(2,0)\).

Poznámka: O nulových bodoch – priesečníkoch grafu s osou \(o_x\) – môžeme povedať viac, než len konštatovať, že \(R(x_0)=0\). Pri náčrte funkcií sa nám môže hodiť aj informácia o tom, či sa pri prechode nulovým bodom mení znamienko funkčných hodnôt a ako, alebo či sa znamienko nemení.

Príklad: Určme všetky nulové body funkcie \[ f(x)=\frac{x^3+10\,x^2+33\,x+36}{x} \] a skúmajme ich charakter, t. j. správanie sa funkcie v blízkosti nulových bodov.

Riešenie: A) Najprv si všimnime, že 0 nepatrí do definičného oboru a teda funkcia nemá nulový bod typu \((0;f(0))\), t. j. graf funkcie nemá priesečník s osou \(o_y\).

B) Na určenie ostatných nulových bodov je potrebné použiť na riešenie rovnice \[ x^3+10\,x^2+33\,x+36=0 \] Hornerovu schému. Ak budeme pozorní, všimneme si, že táto rovnica môže mať len záporné korene v obore reálnych čísel. Treba teda overiť podozrivé body: \(-1\); \(-2\); \(-3\); \(-4\); \(-6\); \(-12\); \(-18\) a \(-36\): \[ \begin{array}{r|c|c|c|l} \a 1 \a 10 \a 33 \a 36 \\ \hline x=-1 \a 1 \a 9 \a 24 \a 12\not=0 \\ \hline x=-2 \a 1 \a 8 \a 17 \a 2\not=0 \\ \hline x=-3 \a 1 \a 7 \a 12 \a 0 \\ \hline \end{array} \] Získali sme \(x_{0_1}=-3\) a ďalej vyriešime kvadratickú rovnicu \[ x^2+7x+12=0\qquad \Rightarrow\qquad x_{0_{2,3}}=\frac{-7\pm\sqrt{49-48}}{2}= \frac{-7\pm1}{2}=\left\{\begin{array}{r}-3,\\-4.\end{array}\right. \] Keďže všetky určené korene patria do definičného oboru, môžeme konštatovať, že graf funkcie má dva nulové body \(N_1=(-3;0)\) a \(N_3=(-4;0)\).

Zároveň si všimnime, že \(x_{0_{1,2}}=-3\) je dvojnásobný a \(x_{0_{3}}=-4\) je jednoduchý koreň uvažovanej algebrickej rovnice.

Funkciu teda môžeme prepísať na tvar: \[ f(x)=\frac{x^3+10\,x^2+33\,x+36}{x}=\frac{(x+3)^2\cdot(x+4)}{x}. \] V blízkom okolí bodov \(-3\) a \(-4\) môžeme zapísať \[ f(x)\stackrel{x\approx-3}{\approx}=\widetilde{\left[\frac{+1}{-3}\right]}\cdot(x+3)^2, \qquad f(x)\stackrel{x\approx-4}{\approx}=\widetilde{\left[\frac{+1}{-4}\right]}\cdot(x+4), \] pričom hodnota \(\widetilde{h}\) označuje hodnotu blízku hodnote \(h\), t. j. \(\widetilde{h}\approx h\).

V blízkom okolí bodu \(x=-3\) sa funkčné hodnoty prakticky zhodujú s hodnotami kvadratickej funkcie, a preto sa graf funkcie \(f(x)\) v blízkosti bodu \(x=-3\) veľmi podobá na parabolu obrátenú nahor. Podobne, v blízkosti bodu \(x=-4\) sa graf funkcie veľmi podobá na priamku.

Pri vytváraní náčrtu grafu funkcie \(f(x)\) môžeme rozdiely medzi grafmi pôvodnej funkcie a jej aproximáciami v blízkosti nulových bodov smelo zanedbať, ako sa o tom môžete presvedčiť na nasledujúcom obrázku, na ktorom sú modrou farbou načrtnuté časti priamky a paraboly a červenou farbou je načrtnutá časť grafu funkcie \(f(x)\) pre \(x\in\langle-4{,}5;-2{,}5\rangle\).

Obr.: : Zjednodušenie funkcie v okolí nulového bodu

Poznámka: Môžeme si všimnúť, že ak je násobnosť bodu \(x_0\) nepárna (za predpokladu, že patrí do definičného oboru), bude nulový bod \((x_0;0)\) pretínať os \(o_x\) – vtedy budeme hovoriť o pretínacom nulovom bode – pri prechode cez tento bod sa mení znamienko funkčných hodnôt. Ak je násobnosť párna, budeme hovoriť o odrážacom nulovom bode – pri prechode cez tento bod sa zachováva znamienko funkčných hodnôt.

Poznámka: Aj v prípade určovania asymptot bez smernice rozhoduje o zmene znamienka pri prechode cez bod nespojitosti jeho násobnosť v menovateli (za predpokladu, že nie je zároveň koreňom čitateľa). V prípade párnej násobnosti sa znamienka nemenia, v prípade nepárnej násobnosti sa znamienka menia. Tento fakt je možné efektívne využiť pri konštrukcii nárčtu grafu racionálnych (ale nielen racionálnych) funkcií.
Zvládnutie predchádzajúcich cieľov nám už umožňuje vytváranie náčrtov racionálnych funkcií.
Príklad: Načrtnime graf funkcie \[ g(x)={{x^3-4\,x^2+5\,x-2}\over{x^3+11\,x^2+35\,x+25}} \]

Riešenie: Začneme určením definičného oboru a nulových bodov. Body nespojitosti, ktoré nepatria do definičného oboru, sú korene menovateľa, nulové body čitateľa nám zasa pomôžu určiť nulové body grafu funkcie \(g(x)\). Obidve úlohy spočívajú v riešení algebrických rovníc 3. stupňa, teda použijeme Hornerovu schému. Rovnaké znamienka koeficientov v menovateli vylučujú kladné korene (teda overíme len \(-1\); \(-5\) a \(-25\)), podobne, striedajúce sa znamienka v čitateli vylučujú záporné korene (teda overíme len \(1\) a \(2\)). \[ \begin{array}[t]{r|c|c|c|l} \a 1 \a 11 \a 35 \a 25 \\ \hline x=-1 \a 1 \a 10 \a 25 \a 0 \\ \hline \end{array} \qquad\qquad\qquad \begin{array}[t]{r|c|c|c|r} \a 1 \a -4 \a 5 \a -2 \\ \hline x=1 \a 1 \a -3 \a 2 \a 0 \\ \hline \end{array} \] Teda \(x_{n_1}=-1\) a \(x_{0_1}=1\) Ďalej vyriešime kvadratickú rovnice rovnice: \[ x_n^2+10x_n+25=0 \qquad \Rightarrow\qquad x_{n_{2,3}}=\frac{-10\pm\sqrt{100-100}}{2}=-5 \] a \[ x_0^2-3x_0+2=0 \qquad \Rightarrow\qquad x_{0_{2,3}}=\frac{3\pm\sqrt{9-8}}{2}=\frac{3\pm1}{2}= \left\{\begin{array}{r}2,\\1.\end{array}\right. \] Funkcia má teda dva body nespojitosti \(x_{n_1}=-1\) a \(x_{n_{2,3}\), pričom násobnosť druhého je 2. Definičný obor je množina \(\mathcal{D}(g)=(-\infty;-5)\cup(-5;-1)\cup(-1;\infty)\), pričom priamky \(x=-5\) a \(x=-1\) sú asymptoty bez smernice (ABS).

Priesečníky s osou \(o_x\) sú v bodoch \(x_{0_{1,2}}=1\) a \(x_{0_3}=2\). Keďže nulové body sú rôzne od bodov nespojitosti, má graf funkcie \(g(x)\) 3 nulové body: \(N_1=(0;-1/2)\), \(N_2=(1;0)\) a \(N_3=(2;0)\).

Predtým, ako sa pokúsime načrtnúť hypotézu grafu funkcie \(g(x)\), oťukáme ešte asymptotu so smernicou. Mohli by sme deliť čitateľa menovateľom (vyskúšajte to!), ale v tomto prípade stačí aj jednoduchšia úvaha: \[ g(x) \stackrel{x\approx\pm\infty}{\approx}\frac{x^3}{x^3}=1, \] z čoho vyplýva, že priamka \(y=1\) je asymptota so smernicou (ASS).

Náčrt hypotézy grafu funkcie začneme vyznačením osí, asymptot (čiarkovane) a nulových bodov.

Obr.: : Vyznačenie asymptot a nulových bodov

Ďalej pridáme pomocné čiaročky nasledovne, pričom sa snažíme vyhnúť výpočtom (každý krok sa dá overiť prípadne aj neskôr). Postupujeme, napríklad, zľava doprava a všímame si významné body. Prvé dva sú \(-\infty\) – ľavý kraj definičného oboru a bod nespojitosti \(x_{n_{2,3}}=-5\). Pri pohľade na asymptoty vidíme, že by sme sa mali od ASS \(y=1\) v okolí \(-\infty\) dostať ku ABS (teda hore alebo dole) \(x=-5\). Ale na to, aby sme sa dostali dole, nemáme k dispozícii žiaden nulový bod, cez ktorý by sme prešli z hornej polroviny do spodnej. Preto vieme, že sa k ABS musíme priblížiť hore. Súčasne bude jednoduchšie, ak sa vyberieme z hornej strany ASS. Tak vzniknú prvé dve červené čiarky zľava na nasledujúcom obrázku. Pokračujeme ďalej: pri prechode z ľavej strany ABS \(x=-5\) na pravú ostane čiaročka hore, pretože nulový bod menovateľa \(x_{n_{2,3}}=-5\) je dvojnásobný, a teda v menovateli je výraz \((x+5)^2\), ktorý pri prechode cez bod \(x=-5\) nemení znamienko (zvážte, prečo ostatné výrazy v zadaní funkcie \(g(x)\) tiež nemenia znamienko). Ďalej sa budeme presúvať od bodu nespojitosti \(x_{n_{2,3}}=-5\) k bodu nespojitosti \(x_{n_{1}}=-1\). Keďže znova nemáme na intervale \((-5;-1)\) nulový bod, musíme k ABS \(x=-1\) pristáť hore. Tak vznikla 4. čiarka zľava. Pri prechode cez bod nespojitosti \(x_{n_{1}}=-1\), ktorý je jednoduchým koreňom (jednonásobným s nepárnou mocninou \((x+1)^1\)) menovateľa, sa zmení znamienko funkčných hodnôt funkcie \(g(x)\), a preto nakreslíme ďalšiu čiaročku dole napravo od ABS \(x=-1\). Pri ďalšom pohybe od bodu \(x=-1\) doprava nás čaká prechod cez 3 nulové body, pričom si uvedomíme, že bod \(x_{0_{1,2}}=1\) je odrážací a bod \(x_{0_{3}}=2\) je pretínací. Tak vznikajú ďalšie tri čiaročky (druhá je oblúčik) na nasledujúcom grafe. Po prechode cez nulový bod \(x_{0_{3}}=2\) sme sa dostali do hornej polroviny tesne nad os \(o_x\) a teda poslednú čiarku umiestnime ku ASS \(y=1\) zdola.
Poznámka: Umiestnenie čiaročiek môžeme overiť/zdôvodniť aj výpočtom. Napríklad \[ g(-1^-)={{(-2^-)^2(-3^-)}\over{(4^-)^2(0^-)}}= {{4^+\cdot(-3^-)}\over{16^-\cdot(0^-)}}={{-12^-}\over{16^-\cdot(0^-)}}= {{-\widetilde{\left[\frac34\right]}}\over{-0}}=+\infty, \] teda naľavo od ABS \(x=-1\) má byť čiaročka hore.

Podobne \[ g(1^{\pm})=\left.{{(x-1)^2(-1^{\pm})}\over{(6^{\pm})^2(2^{\pm})}}\right|_{x=1^{\pm}}=-\widetilde{\left[\frac1{72}\right]}\cdot(x-1)^2|_{x=1^{\pm}}, \] teda v okolí bodu \(x=1\) môžeme graf nahradiť parabolou obrátenou nahor (oblúčik zdola), alebo inými slovami \(g(1^{\pm})=-\widetilde{\left[\frac1{72}\right]}\cdot(\pm1)^2=-0=0^-\).

Obr.: : Vyznačenie pomocných informácií o správaní sa funkcie

Vytvorenie hypotézy náčrtu grafu ukončíme kultúrnym/plynulým spojením pripravených čiaročiek, bodiek a oblúčikov. Výsledok vidíte na nasledujúcom obrázku, náčrt grafu je vyznačený modrou farbou.

Obr.: : Hypotéza grafu funkcie \(g(x)\)

Poznámka: Náčrt grafu nám umožňuje získať rôzne užitočné informácie o funkcii. Napríklad: funkcia \(g(x)\) je zdola aj zhora neohraničená, obor funkčných hodnôt je \(\mathcal{H}(g)=(-\infty;1)\cup(1;\infty)\), funkcia má dve lokálne minimá a lokálne maximum (v bode \(x=1\)!), funkcia nie je ani párna, ani nepárna, nie je periodická atď.
Napriek uvedenému vyššie je potrebné si uvedomiť dva fakty: 1) zostrojili sme len hypotézu náčrtu (ktorú sa v ďalšom snažíme potvrdiť doplňujúcimi výpočtami) a 2) náčrt sa môže výrazne líšiť od skutočného grafu (ale má s ním spoločné kvalitatívne vlastnosti).

Na druhej strane nasledujúce 4 obrázky nás môžu presvedčiť o tom, že nie vždy je možné nakresliť graf tak, aby boli jasné všetky jeho vlastnosti (a náčrt je teda v istom zmysle lepší ako samotný graf).

Obr.: : Celkový pohľad na graf funkcie

Ak na počítači nakreslíme celkový graf je veľmi náročné vidieť napr. hodnoty ASS, prípadne nulové body. Ak chcem napr. presnejšie vidieť polohu ABS, je potrebné zmeniť horizontálny rozsah obrázku (viď nasledujúci obrázok).

Obr.: : Zobrazenie asymptot bez smernice \(x=-5\) a \(x=-1\)

Chceme lepšie vidieť ASS? Pre zmenu zmeníme vertikálny rozsah a horizontálny znova vrátime späť. Nemáme však pritom šancu pochopiť charakter nulových bodov.

Obr.: : Zobrazenie asymptoty so smernicou \(y=1\)

Nakoniec, ak zvolíme vhodne horizontálny aj vertikálny rozsah, pochopíme správanie sa funkcie v blízkosti dvoch nulových bodov (tretí sa do obrázka nezmestil), pričom na tomto obrázku nemáme šancu precítiť, že funkcia má dve ABS a jednu ASS.

Obr.: : Zobrazenie nulových bodov \(x_{0_{1,2}}=1\) a \(x_{0_{3}}=2\)

Na záver sa ešte raz pozrite na náčrt hypotézy grafu a myslím, že budete súhlasiť s tým, že napriek nepresne naneseným funkčným hodnotám poskytuje náčrt viac informácií ako samotný graf!

Príklad: Načrtnime graf funkcie \[ h(x)={{x^2-x-6}\over{x^2}} \]

Riešenie: Pokúste sa zopakovať postup zostrojenia hypotézy náčrtu grafu z predchádzajúcej úlohy. Začnite asymptotami, nulovými bodmi, pomocnými čiaročkami a ďalej vytvorte samotný náčrt.

Riešenie:

Obr.: : Zobrazenie asymptot a nulových bodov

Riešenie:

Obr.: : Vyznačenie pomocných informácií o správaní sa funkcie

Riešenie:

Obr.: : Hypotéza nárčtu grafu

Poznámka: V tomto prípade sa ukazuje, že hypotéza náčrtu grafu je nesprávna, t. j. nevystihuje všetky kvalitatívne vlastnosti samotného grafu. Napríklad funkcia \(h(x)\) má lokálne maximum, hypotéza grafu nie. Presnejší náčrt grafu vidíte na nasledujúcom obrázkoch.

Riešenie:

Obr.: : Graf funkcie presahuje zhora asymptotu so smernicou \(y=1\)

Obr.: : Naľavo od priesečníka grafu funkcie s ASS \(y=1\) sa nachádza lokálne maximum

Príklad: Načrtnime graf funkcie \[ f(x)={{x^2+1}\over{x-2}} \]

Riešenie: Postupujeme rovnako ako pri riešení predchádzajúcich dvoch úloh. V tomto prípade však najprv určíme ASS pomocou delenia polynómov: \[ \begin{array}{ll} ~~~x^2+1:(x-2)\a =x+2+\dfrac{5}{x-2}\\[1mm] -(x^2-2x)\\ \hline ~~~~~~~~~~2x+1 \\ ~~~~~~~-(2x-4)\\ \hline ~~~~~~~~~~~~~~~~~5\\ \end{array} \] Teda priamka \(y=x+2\) je asymptota so smernicou. Ďalej postupujte samostatne.

Riešenie:

Obr.: : Zobrazenie asymptot a nulových bodov

Riešenie:

Obr.: : Zobrazenie pomocných informácií o správaní sa funkcie

Riešenie:

Obr.: : Hypotéza náčrtu grafu

Doplňujúce úlohy

Úloha: Určte asymptoty so smernicou funkcie \[ f(x)=\frac{x^2-x+5}{x+3} \] metódou delenia polynómov.

Úloha: Určte asymptoty so smernicou a bez smernice, nulové body a vytvorte hypotézu náčrtu grafu funkcie \[ f(x)=\frac{x}{x^2+1}. \]

Úloha: Určte asymptoty so smernicou a bez smernice, nulové body a vytvorte hypotézu náčrtu grafu funkcie \[ g(x)=\frac{x^2+1}{x+1}. \]

Úloha: Určte asymptoty so smernicou a bez smernice, nulové body a vytvorte hypotézu náčrtu grafu funkcie \[ h(x)=\frac{x^2-x-2}{x^3-7x-6}. \]

Úloha: Určte asymptoty so smernicou a bez smernice, nulové body a vytvorte hypotézu náčrtu grafu funkcie \[ f(x)=\frac{x^2-4}{x^3-4x^2-3x+18} \]

Úloha: Určte asymptoty so smernicou a bez smernice, nulové body a vytvorte hypotézu náčrtu grafu funkcie \[ g(x)=\frac{(x+4)^2}{x^4}. \]

Úloha: Určte asymptoty so smernicou a bez smernice, nulové body a vytvorte hypotézu náčrtu grafu funkcie \[ f(x)=\frac{x^2-x+5}{2x+3}. \]

Úloha: Určte asymptoty so smernicou a bez smernice, nulové body a vytvorte hypotézu náčrtu grafu funkcie \[ r(x)=\frac{3-2x^3}{x^2+2x-4}. \]

Náčrt grafov jednoduchých racionálnych funkcií

Ciele

Úvod

Postup

Doplňujúce úlohy

Doplňujúce zdroje