Sústavy lineárnych rovníc.

Ciele

1. Precvičiť riešenie sústav lineárnych rovníc pomocou Cramerovho pravidla.
2. Precvičiť riešenie sústav lineárnych rovníc pomocou inverznej matice.
3. Precvičiť riešenie sústav lineárnych rovníc eliminačnou metódou.
4. Precvičiť riešenie sústav lineárnych rovníc s parametrom.

Úvod

S potrebou vyriešiť sústavu lineárnych rovníc sa stretávame v praxi veľmi často. Už na základnej škole sa žiaci učia riešiť sústavy 2 rovníc s dvomi neznámymi, pričom riešia len sústavy, ktoré majú práve 1 riešenie. Na strednej škole pribúdajú sústavy s tromi neznámymi, riešia sa už aj príklady, v ktorých sústava nemá riešenie alebo má nekonečne veľa riešení, pričom v druhom prípade sa ďalej neurčuje, aké sú tieto riešenia. Na tomto cvičení sa naučíme riešiť sústavy s ľubovoľným počtom rovníc aj premenných. Naučíme sa riešiť sústavy eliminačnou metódou a špeciálnych prípadoch aj pomocou Cramerovho pravidla a pomocou inverznej matice.

Postup

1. Riešenie sústav lineárnych rovníc pomocou Cramerovho pravidla.

   Príklad: \(\def\a{&}\def\hod{\rm h}\) Pomocou Cramerovho pravidla riešme sústavu lineárnych algebraických rovníc nad \(\mathbb{R}\) \[ \begin{array}{rrrrrrl} 6x_1 \a \!+\! \a3x_2 \a \!-\! \a 2x_3 \a \!=\! \a 2\\ x_1 \a \!-\! \a 3x_2 \a \!+\! \a 2x_3 \a \!=\! \a 5\\ 2x_1 \a \!+\! \a x_2 \a \!+\! \a x_3 \a \!=\! \a 9. \end{array} \]

   Riešenie: Matica sústavy je štvorcová, teda môžeme začať počítať pomocou Cramerovho pravidla. Vypočítame determinant matice sústavy \(D\) \[ D =\left|\begin{array}{rrr} 6\a3\a-2\\1\a-3\a2\\2\a1\a1 \end{array}\right|=\!-35. \] Keďže determinant matice sústavy je rôzny od nuly, môžeme pokračovať vo výpočte pomocou Cramerovho pravidla. Nahradením prvého stĺpca stĺpcom pravej strany dostaneme determinant \(D_{1}\). Analogicky vypočítame \(D_{2}\) a \(D_{3}\) \[ D_{1} =\left|\begin{array}{rrr} 2\a3\a-2\\5\a-3\a2\\9\a1\a1 \end{array}\right|=\!-35 ,\quad D_{2} =\left|\begin{array}{rrr} 6\a2\a-2\\1\a5\a2\\2\a9\a1 \end{array}\right|=\!-70 ,\quad D_{3} =\left|\begin{array}{rrr} 6\a3\a2\\1\a-3\a5\\2\a1\a9 \end{array}\right|=\!-175. \] Sústava má práve jedno riešenie \(\overline{x}\!=\!(x_{1},x_{2},x_{3})^\top\), kde \[ x_{1}=\frac{D_{1}}{D}=\frac{-\,35}{-\,35}=\,1,\quad x_{2}=\frac{D_{2}}{D}=\frac{-\,70}{-\,35}=\,2,\quad x_{3}=\frac{D_{3}}{D}=\frac{-175}{-\,35}=5. \]

   Zobraziť riešenieSkryť riešenie
2. Riešenie sústavy lineárnych rovníc pomocou inverznej matice.

   Príklad: Pomocou inverznej matice riešme nad \(\mathbb{R}\) sústavu lineárnych algebraických rovníc \[ \begin{array}{rrrrr} 2x_1 \a + \a 3x_2 \a \!=\! \a -4\\ 4x_1 \a + \a 5x_2 \a \!=\! \a -6. \end{array} \]

   Riešenie: Použijeme maticový zápis \(A\overline{x}=\overline{b}\) pre danú sústavu. Dostávame \[ \left[\begin{array}{rr} 2\a3\\4\a5 \end{array}\right] .\left[\begin{array}{r} x_{1}\\x_{2} \end{array}\right] =\left[\begin{array}{r} -4\\-6 \end{array}\right] \] Túto maticovú rovnicu riešime pomocou inverznej matice k matici sústavy. Riešenie nájdeme v tvare \(\overline{x}=A^{-1}\overline{b}.\) Dostávame \[ \overline{x}=\left[\begin{array}{rr} 2\a3\\4\a5 \end{array}\right]^{-1}\cdot \left[\begin{array}{r} -4\\-6 \end{array}\right] = -\frac{1}{2}\left[\begin{array}{rr} 5\a-3\\-4\a 2 \end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{r} -4\\-6 \end{array}\right]= -\frac{1}{2} \left[\begin{array}{r} -2\\4 \end{array}\right]= \left[\begin{array}{r} 1\\-2 \end{array}\right]. \] Riešenie sústavy je \(x_1=1,\ x_2=-2\).

   Zobraziť riešenieSkryť riešenie

   Príklad: Pomocou inverznej matice riešme nad \(\mathbb{R}\) sústavu lineárnych algebraických rovníc \[ \begin{array}{rrrrrrl} x_1 \a - \a 4x_2 \a - \a 3x_3 \a \!=\! \a 1\\ x_1 \a - \a 5x_2 \a - \a 3x_3 \a \!=\! \a 0\\ -x_1 \a \!+\! \a 6x_2 \a \!+\! \a 4x_3 \a \!=\! \a 1. \end{array} \]

   Riešenie: Použijeme maticový zápis \(A\overline{x}=\overline{b}\) pre danú sústavu. Dostávame \[ \left[\begin{array}{rrr} 1\a-4\a-3\\1\a-5\a-3\\ 1\a6\a4 \end{array}\right] x_{1}\\x_{2}\\x_{3} \end{array}\right] =\left[\begin{array}{r} 1\\0\\1 \end{array}\right] \] Túto maticovú rovnicu riešime pomocou inverznej matice k matici sústavy. \[ \overline{x}=\left[\begin{array}{rrr} 1\a-4\a-3\\1\a-5\a-3\\-1\a6\a4 \end{array}\right]^{-1}\cdot \left[\begin{array}{r} 1\\0\\1 \end{array}\right]= \left[\begin{array}{rrr} 2\a2\a3\\1\a-1\a0\\-1\a2\a1 \end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{r} 1\\0\\1 \end{array}\right]= \left[\begin{array}{r} 5\\1\\0 \end{array}\right]. \] Riešenie sústavy je \(x_1=5,\ x_2=1,\ x_3=0\).

   Zobraziť riešenieSkryť riešenie
3. Riešenie sústav rovníc eliminačnou metódou.

   Príklad: Pomocou Gaussovej eliminačnej metódy riešme sústavu lineárnych algebraických rovníc nad \(\mathbb{R}\) \[ \begin{array}{rrrrrrrrl} 2x_1 \a \!+\! \a 2x_2 \a \!-\! \a x_3 \a \!+\! \a x_4 \a\!=\! \a 4\\ 4x_1 \a \!+\! \a 3x_2 \a \!-\! \a x_3 \a \!+\! \a 2x_4 \a\!=\! \a 6\\ 8x_1 \a \!+\! \a 5x_2 \a \!-\! \a 3x_3 \a \!+\! \a 4x_4 \a\!=\! \a 12\\ 3x_1 \a \!+\! \a 3x_2 \a \!-\! \a 2x_3 \a \!+\! \a 2x_4 \a\!=\! \a 6. \end{array} \]

   Riešenie: Pomocou ekvivalentných riadkových úprav upravíme maticu sústavy rozšírenú o stĺpec pravých strán (rozšírená matica sústavy) na stupňovitý tvar. \[ (A\,|\,\overline{b})=\left[\begin{array}{rrrr|r} 2\a2\a-1\a1\a4\\4\a3\a-1\a2\a6\\8\a5\a-3\a4\a12\\3\a3\a-2\a2\a6 \end{array}\right]\begin{array}{r} -R_{4}\\ \phantom{1}\\ \phantom{1}\\ \phantom{1} \end{array} \hspace{-2mm}\sim \left[\begin{array}{rrrr|r} -1\a-1\a1\a-1\a-2\\4\a3\a-1\a2\a6\\8\a5\a-3\a4\a12\\3\a3\a-2\a2\a6 \end{array}\right]\begin{array}{r} \phantom{1}\\\!+\!4R_{1}\\\!+\!8R_{1}\\\!+\!3R_{1} \end{array}\sim \] \[ \sim \left[\begin{array}{rrrr|r} -1\a-1\a1\a-1\a-2\\0\a-1\a3\a-2\a-2\\0\a-3\a5\a-4\a-4\\0\a0\a1\a-1\a0 \end{array}\right]\begin{array}{r} \phantom{1}\\ \phantom{1}\\-3R_{2}\\ \phantom{1} \end{array}\hspace{-2mm}\sim \left[\begin{array}{rrrr|r} -1\a-1\a1\a-1\a-2\\0\a-1\a3\a-2\a-2\\0\a0\a-4\a2\a2\\0\a0\a1\a-1\a0 \end{array}\right]\begin{array}{r} \phantom{1}\\ \phantom{1}\\\leftrightarrows\\\leftrightarrows \end{array}\hspace{-2mm}\sim \] \[\sim \left[\begin{array}{rrrr|r} -1\a-1\a1\a-1\a-2\\0\a-1\a3\a-2\a-2\\0\a0\a1\a-1\a0\\0\a0\a-4\a2\a2 \end{array}\right]\hspace{-2mm}\begin{array}{r} \phantom{1}\\ \phantom{1}\\ \phantom{1}\\+\!4R_{3} \end{array}\hspace{-2mm}\sim \left[\begin{array}{rrrr|r} -1\a-1\a1\a-1\a-2\\0\a-1\a3\a-2\a-2\\0\a0\a1\a-1\a0\\0\a0\a0\a-2\a2 \end{array}\right]. \] Keďže hodnosť matice sústavy je rovná hodnosti rozšírenej matice sústavy \(\hod (A)=\hod (A^{\star})=4\), sústava má riešenie. Zároveň počet neznámych je rovný hodnosti \(n=\hod(A)=4\), z toho vyplýva, že sústava má práve jedno riešenie. Z poslednej rovnice vypočítame hodnotu \(x_{4}\). Postupným dosadzovaním do predchádzajúcich rovníc dostaneme hodnoty ostatných neznámych. \[\begin{array}{rrrrrrrrrr} \!-\!x_1 \a \!-\! \a x_2 \a \!+\! \a x_3 \a \!-\! \a x_4 \a\!=\! \a -2\a\\ \a \!-\! \a x_2 \a \!+\! \a 3x_3 \a \!-\! \a 2x_4 \a\!=\! \a -2\a\\ \a \a \a \a x_3 \a \!-\! \a x_4 \a\!=\! \a 0\a\\ \a \a \a \a \a \!-\! \a 2x_4 \a\!=\! \a 2\a \end{array} \] Zo štvrtej rovnice dostávame \(x_4=-1\).
   Z tretej rovnice dostávame \(x_3-x_{4}=0\quad \Rightarrow x_{3}=-1\).
   Z druhej rovnice dostávame \(-x_2+3x_3-2x_{4}=-2\quad \Rightarrow x_{2}=1\).
   Z prvej rovnice dostávame \(-x_1-x_2+x_3-x_{4}=-2\quad \Rightarrow x_{1}=1\).
   Riešením sústavy je vektor \(\overline{x}=(1,1,-1,-1)^\top.\)

   Zobraziť riešenieSkryť riešenie

   Príklad: Pomocou Gaussovej eliminačnej metódy riešme sústavu lineár-nych algebraických rovníc nad \(\mathbb{R}\) \[ \begin{array}{rrrrrrrrl} 4x_1 \a \!-\! \a 3x_2 \a \!+\! \a 2x_3 \a \!-\! \a x_4 \a\!=\! \a 8\\ 3x_1 \a \!-\! \a 2x_2 \a \!+\! \a x_3 \a \!-\! \a 3x_4 \a\!=\! \a 7\\ 2x_1 \a \!-\! \a x_2 \a \a \a \!+\! \a 5x_4 \a\!=\! \a 6\\ 5x_1 \a \!-\! \a 3x_2 \a \!+\! \a x_3 \a \!-\! \a 8x_4 \a\!=\! \a 1. \end{array} \]

   Riešenie: Pomocou ekvivalentných riadkových úprav upravíme rozšírenú maticu sústavy na stupňovitý tvar. \[ (A\,|\,\overline{b})=\left[\begin{array}{rrrr|r} 4\a-3\a2\a-1\a8\\3\a-2\a1\a-3\a7\\2\a-1\a0\a5\a6\\5\a-3\a1\a-8\a1 \end{array}\right]\begin{array}{r} -R_{2}\\ \phantom{1}\\ \phantom{1}\\ \phantom{1} \end{array} \hspace{-2mm}\sim \left[\begin{array}{rrrr|r} 1\a-1\a1\a2\a1\\3\a-2\a1\a-3\a7\\2\a-1\a0\a5\a6\\5\a-3\a1\a-8\a1 \end{array}\right]\begin{array}{r} \phantom{1}\\-3R_{1}\\-2R_{1}\\-5R_{1} \end{array}\hspace{-2mm}\sim \] \[\sim \left[\begin{array}{rrrr|r} 1\a-1\a1\a2\a1\\0\a1\a-2\a-9\a4\\0\a1\a-2\a1\a4\\0\a2\a-4\a-18\a-4 \end{array}\right]\begin{array}{r} \phantom{1}\\ \phantom{1}\\-R_{2}\\-2R_{2} \end{array}\hspace{-2mm}\sim \left[\begin{array}{rrrr|r} 1\a-1\a1\a2\a1\\0\a1\a-2\a-9\a4\\0\a0\a0\a10\a0\\0\a0\a0\a0\a-12 \end{array}\right].\] Keďže hodnosť matice sústavy sa nerovná hodnosti rozšírenej matice sústavy \(\hod (A)=3\neq \hod (A^{\star})=4\), sústava nemá riešenie.

   Zobraziť riešenieSkryť riešenie

   Príklad: Pomocou Gaussovej eliminačnej metódy riešme sústavu lineárnych algebraických rovníc nad \(\mathbb{R}\) \[ \begin{array}{rrrrrrrrrrl} 2x_1 \a \!-\! \a x_2 \a \!+\! \a x_3 \a \!+\! \a 2x_4 \a \!+\! \a 3x_5 \a\!=\! \a 2\\ 6x_1 \a \!-\! \a 3x_2 \a \!+\! \a 2x_3 \a \!+\! \a 4x_4 \a \!+\! \a 5x_5 \a\!=\! \a 3\\ 6x_1 \a \!-\! \a 3x_2 \a \!+\! \a 4x_3 \a \!+\! \a 8x_4 \a \!+\! \a13x_5 \a\!=\! \a 9\\ 4x_1 \a \!-\! \a 2x_2 \a \!+\! \a x_3 \a \!+\! \a x_4 \a \!+\! \a 2x_5 \a\!=\! \a 1. \end{array} \]

   Riešenie: Pomocou ekvivalentných riadkových úprav upravíme rozšírenú maticu sústavy na stupňovitý tvar. \[ \left[\begin{array}{rrrrr|r} 2\a-1\a1\a2\a3\a2\\6\a-3\a2\a4\a5\a3\\6\a-3\a4\a8\a13\a9\\4\a-2\a1\a1\a2\a1 \end{array}\right]\begin{array}{r} \phantom{1}\\-3R_{1}\\-3R_{1}\\-2R_{1} \end{array} \hspace{-2mm}\sim \left[\begin{array}{rrrrr|r} 2\a-1\a1\a2\a3\a2\\0\a0\a-1\a-2\a-4\a-3\\0\a0\a1\a2\a4\a3\\0\a0\a-1\a-3\a-4\a-3 \end{array}\right]\begin{array}{r} \phantom{1}\\ \phantom{1}\\\!+\!R_{2}\\-R_{2} \end{array}\hspace{-2mm}\sim \] \[\sim \left[\begin{array}{rrrrr|r} 2\a-1\a1\a2\a3\a2\\0\a0\a-1\a-2\a-4\a-3\\0\a0\a0\a0\a0\a0\\0\a0\a0\a-1\a0\a0 \end{array}\right]\begin{array}{rr} \phantom{1}\a\\ \cdot (-1)\a \\\leftrightarrows\a \\ \cdot(-1) \a\leftrightarrows \end{array}\hspace{-2mm}\sim \left[\begin{array}{rrrrr|r} 2\a-1\a1\a2\a3\a2\\0\a0\a1\a2\a4\a3\\0\a0\a0\a1\a0\a0\\0\a0\a0\a0\a0\a0 \end{array}\right]. \] Keďže hodnosť matice sústavy sa rovná hodnosti rozšírenej matice sústavy \(\hod (A)=\hod (A^{\star})=3\), sústava má riešenie. Zároveň počet neznámych je väčší ako hodnosť matice \(n=5>\hod(A)=3\), z čoho vyplýva, že sústava má nekonečne veľa riešení. Počet voľných premenných určíme na základe vzťahu \(n-\hod(A)=5-3=2\). Prepíšeme si poslednú maticu späť do sústavy rovníc. Dostávame \[\begin{array}{rrrrrrrrrrl} 2x_1 \a \!-\! \a x_2 \a \!+\! \a x_3 \a \!+\! \a 2x_4 \a \!+\! \a 3x_5 \a\!=\! \a 2\\ \a \a \a \a x_3 \a \!+\! \a 2x_4 \a \!+\! \a 4x_5 \a\!=\! \a 3\\ \a \a \a \a \a \a x_4 \a \a \a\!=\! \a 0. \end{array} \] Volíme dve voľné premenné. Keďže \(x_4=0\), vzhľadom na druhú rovnicu z dvojice \(x_3\), \(x_5\) vyberieme jednu voľnú premennú a z dvojice \(x_1\), \(x_2\) vyberieme druhú voľnú premennú. Nech \(x_5=t\) a \(x_1=s\). Z druhej rovnice dostávame: \[x_3+x_4+4x_5=3\,\, \Rightarrow x_3=3-4t.\] Nakoniec dosadíme vypočítané hodnoty do prvej rovnice a určíme \(x_2\) \[2x_1-x_2+x_3+2x_4+3x_5=2\,\, \Rightarrow x_2=1-t+2s.\] Riešením sústavy je vektor \(\overline{x}=(s,1-t+2s,3-4t,0,t)^\top\) pre \(s,t\in\mathbb{R}.\)

   Zobraziť riešenieSkryť riešenie

   Príklad: Pomocou Gaussovej eliminačnej metódy riešme sústavu lineárnych algebraických rovníc nad \(\mathbb{R}\) \begin{array}{rrrrrrrrrrr} 4x_1 \a \!+\! \a 3x_2 \a \!-\! \a x_3 \a \!+\! \a x_4 \a \!+\! \a x_5 \a \! =\! \a 15\\ x_1 \a \!-\! \a x_2 \a \!+\! \a x_3 \a \!-\! \a x_4 \a \! +\! \a x_5 \a \!=\! \a 2\\ 3x_1 \a \!-\! \a 2x_2 \a \!+\! \a x_3 \a \!-\! \a x_4 \a \!-\! \a 2x_5 \a \!=\! \a 5\\ 2x_1 \a \a \a \!+\! \a 3x_3 \a \a \a \a \a \!=\! \a 0\\ \a \a x_2 \a \a \a \!+\! \a x_4 \a \a \a \!=\! \a 0 \end{array}

   Riešenie: \[ \left[\begin{array}{rrrrr|r} 4\a3\a-1\a1\a1\a15\\1\a-1\a1\a-1\a1\a2\\3\a-2\a1\a-1\a-2\a5\\2\a0\a3\a0\a0\a0\\ 0\a1\a0\a1\a0\a0 \end{array}\right]\begin{array}{r}\hspace{-2mm} \leftrightarrows\\ \leftrightarrows\\ \\ \\ \end{array} \hspace{-2mm}\sim \left[\begin{array}{rrrrr|r} 1\a-1\a1\a-1\a1\a2\\4\a3\a-1\a1\a1\a15\\3\a-2\a1\a-1\a-2\a5\\2\a0\a3\a0\a0\a0\\ 0\a1\a0\a1\a0\a0 \end{array}\right]\begin{array}{r}\hspace{-2mm} \phantom{duch}\\ -4R_1\\-3R_1\\-2R_1\\\phantom{duch} \end{array} \hspace{-2mm}\sim \] \[ \left[\begin{array}{rrrrr|r} 1\a-1\a1\a-1\a1\a2\\0\a7\a-5\a5\a-3\a7\\0\a1\a-2\a2\a-5\a-1\\0\a2\a1\a2\a-2\a-4\\ 0\a1\a0\a1\a0\a0 \end{array}\right]\begin{array}{r}\hspace{-1mm} \\ \leftrightarrows\\ \\ \\ \leftrightarrows \end{array} \hspace{-1mm}\sim \left[\begin{array}{rrrrr|r} 1\a-1\a1\a-1\a1\a2\\ 0\a1\a0\a1\a0\a0\\0\a1\a-2\a2\a-5\a-1\\0\a2\a1\a2\a-2\a-4\\ 0\a7\a-5\a5\a-3\a7 \end{array}\right]\begin{array}{r}\hspace{-1mm} \phantom{duch} \\ \\-R_2 \\-2R_2 \\ -7R_2 \end{array} \hspace{-1mm}\sim \] \[ \left[\begin{array}{rrrrr|r} 1\a-1\a1\a-1\a1\a2\\ 0\a1\a0\a1\a0\a0\\0\a0\a-2\a1\a-5\a-1\\0\a0\a1\a0\a-2\a-4\\ 0\a0\a-5\a-2\a-3\a7 \end{array}\right]\begin{array}{r} \phantom{duch} \\ \\ \leftrightarrows \\ \leftrightarrows \\ \end{array} \hspace{-1mm}\sim \left[\begin{array}{rrrrr|r} 1\a-1\a1\a-1\a1\a2\\ 0\a1\a0\a1\a0\a0\\0\a0\a1\a0\a-2\a-4\\0\a0\a-2\a1\a-5\a-1\\ 0\a0\a-5\a-2\a-3\a7 \end{array}\right]\begin{array}{r}\hspace{-1mm} \phantom{duch} \\ \\ \\+2R_3 \\ +5R_3 \end{array} \hspace{-1mm}\sim \] \[ \left[\begin{array}{rrrrr|r} 1\a-1\a1\a-1\a1\a2\\ 0\a1\a0\a1\a0\a0\\0\a0\a1\a0\a-2\a-4\\0\a0\a0\a1\a-9\a-9\\ 0\a0\a0\a-2\a-13\a-13 \end{array}\right]\begin{array}{r}\hspace{-1mm} \phantom{duch} \\ \\ \\\\ +2R_4 \end{array} \hspace{-1mm}\sim \left[\begin{array}{rrrrr|r} 1\a-1\a1\a-1\a1\a2\\ 0\a1\a0\a1\a0\a0\\0\a0\a1\a0\a-2\a-4\\0\a0\a0\a1\a-9\a-9\\ 0\a0\a0\a0\a-31\a-31 \end{array}\right] \] Keďže hodnosť matice sústavy je rovná hodnosti rozšírenej matice sústavy \(\hod (A)=\hod (A^{\star})=5\), sústava má riešenie. Zároveň počet neznámych je rovný hodnosti \(n=\hod(A)=5\), z toho vyplýva, že sústava má práve jedno riešenie. Posledný riadok matice zodpovedá rovnici \(-31x_5=-31\), odtiaľ \(x_{5}=1\).
   Zo štvrtého riadku máme \(x_4-9x_5=-9\), po dosadení za \(x_5\) dostávame \(x_4=0\).
   Z tretieho riadku máme \(x_3-2x_5=-4\), po dosadení za \(x_5\) dostávame \(x_3=-2\).
   Z druhého riadku máme \(x_2+x_4=0\), po dosadení za \(x_4\) dostávame \(x_2=0\).
   Z prvého riadku máme \(x_1-x_2+x_3-x_4+x_5=2\), po dosadení známych hodnôt dostávame \(x_1=3\).
   Riešením sústavy je vektor \(\overline{x}=(3,0,-2,0,1)^\top.\)

   Zobraziť riešenieSkryť riešenie

   Príklad: Pomocou Gaussovej eliminačnej metódy riešme homogénnu sústavu lineárnych algebraických rovníc nad \(\mathbb{R}\) \[ \begin{array}{rrrrrrrrl} \!-\!x_1 \a \!+\! \a x_2 \a \!-\! \a x_3 \a \!+\! \a x_4 \a\!=\! \a 0\\ \!-\!2x_1 \a \!+\! \a x_2 \a \!+\! \a x_3 \a \!-\! \a 3x_4 \a\!=\! \a 0\\ x_1 \a \!+\! \a 2x_2 \a \!-\! \a 3x_3 \a \!+\! \a x_4 \a\!=\! \a 0\\ 2x_1 \a \!+\! \a 3x_2 \a \!+\! \a 4x_3 \a \!-\! \a x_4 \a\!=\! \a 0. \end{array} \]

   Riešenie: Pomocou ekvivalentných riadkových úprav upravíme maticu sústavy na stupňovitý tvar. Keďže lineárna kombinácia núl je opäť nula, nie je potrebné zapisovať vektor pravej strany. \[ A=\left[\begin{array}{rrrr} -1\a1\a-1\a1\\-2\a1\a1\a-3\\1\a2\a-3\a1\\2\a3\a4\a-1 \end{array}\right]\hspace{-2mm}\begin{array}{r} \phantom{1}\\-2R_{1}\\\!+\!R_{1}\\\!+\!2R_{1} \end{array} \hspace{-2mm}\sim \left[\begin{array}{rrrr} -1\a1\a-1\a1\\0\a-1\a3\a-5\\0\a3\a-4\a2\\0\a5\a2\a1 \end{array}\right]\begin{array}{r} \phantom{1}\\ \phantom{1}\\\!+\!3R_{2}\\\!+\!5R_{2} \end{array}\hspace{-2mm}\sim \] \[ \sim \left[\begin{array}{rrrr} -1\a1\a-1\a1\\0\a-1\a3\a-5\\0\a0\a5\a-13\\0\a0\a17\a-24 \end{array}\right]\begin{array}{r} \phantom{1}\\ \phantom{1}\\ \phantom{1}\\5R_4-17R_{3} \end{array}\hspace{-2mm}\sim \left[\begin{array}{rrrr} -1\a1\a-1\a1\\0\a-1\a3\a-5\\0\a0\a5\a-13\\0\a0\a0\a101 \end{array}\right]. \] Keďže hodnosť matice sústavy je u homogénnych sústav vždy rovná hodnosti rozšírenej matice sústavy, homogénna sústava má vždy aspoň jedno riešenie a tým je nulový vektor (triviálne riešenie). Počet neznámych tejto sústavy je rovný hodnosti \(n=\hod(A)=4\), z toho vyplýva, že sústava má práve jedno riešenie. Teda \(\overline{x}=(0,0,0,0)^\top\).

   Zobraziť riešenieSkryť riešenie

   Príklad: Pomocou Gaussovej eliminačnej metódy riešme homogénnu sústavu lineárnych algebraických rovníc nad \(\mathbb{R}\) \[ \begin{array}{rrrrrrrrrrl} 3x_1 \a \!-\! \a x_2 \a \!-\! \a 2x_3 \a \!+\! \a x_4 \a \!+\! \a 8x_5 \a\!=\! \a 0\\ 9x_1 \a \!-\! \a 3x_2 \a \!+\! \a 4x_3 \a \!+\! \a 8x_4 \a \!+\! \a 9x_5 \a\!=\! \a 0\\ 3x_1 \a \!-\! \a x_2 \a \!+\! \a 2x_3 \a \!+\! \a 3x_4 \a \!+\! \a 2x_5 \a\!=\! \a 0\\ 3x_1 \a \!-\! \a x_2 \a \!+\! \a 4x_3 \a \!+\! \a 4x_4 \a \!-\! \a x_5 \a\!=\! \a 0. \end{array} \]

   Riešenie: Pomocou ekvivalentných riadkových úprav upravíme maticu sústavy na stupňovitý tvar. Keďže počet rovníc je menší než počet neznámych, môžeme hneď na začiatku vidieť, že sústava bude mať aj netriviálne riešenia, teda nekonečne veľa riešení. \[ A=\left[\begin{array}{rrrrr} 3\a-1\a-2\a1\a8\\9\a-3\a4\a8\a9\\3\a-1\a2\a3\a2\\3\a-1\a4\a4\a-1 \end{array}\right]\begin{array}{r} \phantom{1}\\-3R_{1}\\-R_{1}\\-R_{1} \end{array} \hspace{-2mm}\sim \left[\begin{array}{rrrrr} 3\a-1\a-2\a1\a8\\0\a0\a10\a5\a-15\\0\a0\a4\a2\a-6\\0\a0\a6\a3\a-9 \end{array}\right]\begin{array}{r} \phantom{1}\\:5\\:2\\:3 \end{array}\hspace{-2mm}\sim \] \[\sim \left[\begin{array}{rrrrr} 3\a-1\a-2\a1\a8\\0\a0\a2\a1\a-3\\0\a0\a2\a1\a-3\\0\a0\a2\a1\a-3 \end{array}\right]\begin{array}{r} \phantom{1}\\ \phantom{1}\\-R_{2} \phantom{1}\\-R_{2} \end{array}\hspace{-2mm}\sim \left[\begin{array}{rrrrr} 3\a-1\a-2\a1\a8\\0\a0\a2\a1\a-3\\0\a0\a0\a0\a0\\0\a0\a0\a0\a0 \end{array}\right]. \] Počet neznámych tejto sústavy je väčší ako hodnosť \(n=5>\hod(A)=2\), z toho vyplýva, že sústava má nekonečne veľa riešení. Počet voľných premenných bude rovný číslu \(n-\hod(A)=5-2=3\). \[\begin{array}{rrrrrrrrrrl} 3x_1 \a \!-\! \a x_2 \a \!-\! \a 2x_3 \a \!+\! \a x_4 \a \!+\! \a 8x_5 \a\!=\! \a 0\\ \a \a \a \a 2x_3 \a \!+\! \a x_4 \a \!-\! \a 3x_5 \a\!=\! \a 0. \end{array} \] Vzhľadom na druhú rovnicu vyberieme z trojice \(x_3,\,x_4,\,x_5\) nanajvýš dve voľné premenné. Výhodné je zobrať práve dve premenné. Z dvojice \(x_1\), \(x_2\) zvolíme poslednú voľnú premennú. Nech \(x_3=t\), \(x_5=u\) a \(x_1=s\), tak z druhej rovnice dostávame \[2x_3+x_4-3x_5=0\,\, \Rightarrow x_4=3u-2t.\] Nakoniec dosadíme vypočítané hodnoty do prvej rovnice a určíme \(x_2\). \[3x_1-x_2-2x_3+x_4+8x_5=0\,\, \Rightarrow x_2=3s-4t+11u.\] Riešením sústavy je vektor \(\overline{x}\!=\!(s,3s-4t+11u,t,3u-2t,u)^\top\) pre \(s,t,u\in\mathbb{R}.\)

   Zobraziť riešenieSkryť riešenie
4. Riešenie sústav lineárnych rovníc s parametrom.

   Príklad: Pomocou Cramerovho pravidla riešme nad \(\mathbb{R}\) sústavu lineárnych algebraických rovníc s parametrom \[ \begin{array}{rrrrrrl} x_1 \a \!+\! \a x_2 \a \!+\! \a ax_3 \a \!=\! \a 1\\ x_1 \a \!+\! \a ax_2 \a \!+\! \a x_3 \a \!=\! \a 1\\ ax_1 \a \!+\! \a x_2 \a \!+\! \a x_3 \a \!=\! \a 1. \end{array} \]

   Riešenie: Pod riešením sústavy s parametrom sa myslí úplná diskusia riešiteľnosti vzhľadom na \(a\in \mathbb{R}\). Parameter sa nachádza v matici sústavy, ktorá je štvorcová, preto je výhodné použiť Cramerovo pravidlo. \[ D =\left|\begin{array}{rrr} 1\a1\a a\\1\a a\a1\\a\a1\a1 \end{array}\right|=-a^{3}+3a-2 \] Riešiteľnosť sústavy závisí od hodnoty determinantu. To vedie ku riešeniu algebraickej rovnice \[-a^{3}+3a-2=0\,\,\Leftrightarrow\,\,a^{3}-3a+2=0\Leftrightarrow(a-1)^2(a+2)=0.\] Môžu nastať tri prípady.
   I. Nech \(a\neq 1\) a \(a\neq -2\). Determinant matice sústavy je vtedy rôzny od nuly a sústava má práve jedno riešenie, ktoré nájdeme pomocou Cramerovho pravidla. Nahradením prvého stĺpca stĺpcom pravých strán dostaneme determinant \(D_{1}\). Analogicky vypočítame \(D_{2}\) a \(D_{3}\) \[ D_{1} =\left|\begin{array}{rrr} 1\a1\a a\\1\a a\a1\\1\a1\a1 \end{array}\right|=-(a-1)^2 ,\quad D_{2} =\left|\begin{array}{rrr} 1\a1\a a\\1\a1\a1\\a\a1\a1 \end{array}\right|=-(a-1)^2 ,\] \[ D_{3} =\left|\begin{array}{rrr} 1\a1\a1\\1\a a\a1\\a\a1\a1 \end{array}\right|=-(a-1)^2. \] Sústava má práve jedno riešenie \(\overline{x}=(x_{1},x_{2},x_{3})^\top\), kde \[x_{1}=\frac{D_{1}}{D}=\frac{-(a-1)^2}{-a^{3}+3a-2}= \frac{1}{a+2}, \] \[x_{2}=\frac{D_{2}}{D}=\frac{-(a-1)^2}{-a^{3}+3a-2}= \frac{1}{a+2}, \] \[ x_{3}=\frac{D_{3}}{D}=\frac{-(a-1)^2}{-a^{3}+3a-2}= \frac{1}{a+2}.\] II. Nech \(a=1\). Determinant matice sústavy je vtedy rovný nule a sústava má buď nekonečne veľa riešení alebo nemá riešenie. To zistíme, keď dosadíme \(a=1\) do sústavy a pomocou Gaussovej eliminácie vyriešime. V tomto prípade vidíme, že všetky tri rovnice majú tvar \[x_1 + x_2 + x_3 = 1.\] Keďže hodnosť matice sústavy je rovná hodnosti rozšírenej matici sústavy \(\hod (A)=\hod (A^{\star})=1\), sústava má riešenie. Navyše \(n=3>\hod (A)=1\), z čoho vyplýva, že sústava má nekonečne veľa riešení a počet voľných premenných je rovný \(n-\hod (A)=3-1=2\).
   Nech \(x_2=s\), \(x_3=t\).
   Potom \(x_1=1-s-t\) pre \(s,t\in\mathbb{R}\).
   Riešením je vektor \(\overline{x}=(1-s-t,s,t)^\top\), \(s,t\in\mathbb{R}\).
   III. Nech \(a=-2\). Analogicky ako v predchádzajúcom prípade je determinant matice sústavy rovný nule a sústava má buď nekonečne veľa riešení alebo nemá riešenie. To zistíme, keď dosadíme \(a=-2\) do sústavy a pomocou Gaussovej eliminácie vyriešime. Teda riešime nasledujúcu sústavu \[ \begin{array}{rrrrrrl} x_1 \a \!+\! \a x_2 \a \!-\! \a 2x_3 \a \!=\! \a 1\\ x_1 \a \!-\! \a 2x_2 \a \!+\! \a x_3 \a \!=\! \a 1\\ \!-\!2x_1 \a \!+\! \a x_2 \a \!+\! \a x_3 \a \!=\! \a 1. \end{array}\] Pomocou ekvivalentných riadkových operácií upravíme rozšírenú maticu sústavy na stupňovitý tvar. \[ \left[\begin{array}{rrr|r} 1\a1\a-2\a1\\1\a-2\a1\a1\\-2\a1\a1\a1 \end{array}\right]\begin{array}{r} \phantom{1}\\-R_{1}\\\!+\!2R_{1} \end{array} \hspace{-2mm}\sim \left[\begin{array}{rrr|r} 1\a1\a-2\a1\\0\a-3\a3\a0\\0\a3\a-3\a3 \end{array}\right]\begin{array}{r} \phantom{1}\\ \phantom{1}\\\!+\!R_{2} \end{array}\hspace{-3mm}\sim \left[\begin{array}{rrr|r} 1\a1\a-2\a1\\0\a-3\a3\a0\\0\a0\a0\a3 \end{array}\right]. \] Keďže hodnosť matice sústavy sa nerovná hodnosti rozšírenej matice sústavy \(\hod (A)=2\neq\hod (A^{\star})=3\), sústava nemá riešenie.

   Zobraziť riešenieSkryť riešenie

   Príklad: Pomocou Gaussovej eliminačnej metódy riešme nad \(\mathbb{R}\) sústavu lineárnych algebraických rovníc s parametrom \[ \begin{array}{rrrrrrrrl} 12x_1 \a \!-\! \a 6x_2 \a \!+\! \a 9x_3 \a \!+\! \a21x_4 \a \!=\! \a 3\!+\!a\\ 11x_1 \a \!-\! \a 5x_2 \a \!+\! \a10x_3 \a \!+\! \a24x_4 \a \!=\! \a 1\!+\!a\\ 7x_1 \a \!-\! \a 3x_2 \a \!+\! \a 7x_3 \a \!+\! \a17x_4 \a \!=\! \a a\\ 8x_1 \a \!-\! \a 6x_2 \a \!-\! \a x_3 \a \!-\! \a 5x_4 \a \!=\! \a 9. \end{array} \]

   Riešenie: Parameter sa v tejto sústave nachádza len vo vektore pravých strán, preto nie je výhodné počítať determinant matice sústavy. Pomocou Gaussovej eliminácie upravíme na stupňovitý tvar rozšírenú maticu sústavy. \[ \left[\begin{array}{rrrr|r} 12\a-6\a9\a21\a3\!+\!a\\11\a-5\a10\a24\a1\!+\!a\\7\a-3\a7\a17\a a\\8\a-6\a-1\a-5\a9 \end{array}\right]\begin{array}{r} -R_{2}\\ \phantom{1}\\ \phantom{1}\\ \phantom{1} \end{array} \hspace{-2mm}\sim \left[\begin{array}{rrrr|r} 1\a-1\a-1\a-3\a2\\11\a-5\a10\a24\a1\!+\!a\\7\a-3\a7\a17\a a\\8\a-6\a-1\a-5\a9 \end{array}\right]\begin{array}{r} \phantom{1}\\-11R_{1}\\-7R_{1}\\-8R_{1} \end{array}\hspace{-2mm}\sim \] \[ \sim \left[\begin{array}{rrrr|r} 1\a-1\a-1\a-3\a2\\0\a6\a21\a57\a a-21\\0\a4\a14\a38\a a-14\\0\a2\a7\a19\a-7 \end{array}\right]\begin{array}{r} \phantom{1}\\\leftrightarrows\\\a\\\leftrightarrows \end{array}\hspace{-2mm}\sim \left[\begin{array}{rrrr|r} 1\a-1\a-1\a-3\a2\\0\a2\a7\a19\a-7\\0\a4\a14\a38\a a-14\\0\a6\a21\a57\a a-21 \end{array}\right]\begin{array}{r} \phantom{1}\\ \phantom{1}\\-2R_{2}\\-3R_{2} \end{array}\hspace{-5mm}\sim \] \[\sim \left[\begin{array}{rrrr|r} 1\a-1\a-1\a-3\a2\\0\a2\a7\a19\a-7\\0\a0\a0\a0\a a\\0\a0\a0\a0\a a \end{array}\right]. \] Hodnosť matice sústavy \(\hod (A)=2\). Hodnosť rozšírenej matice sústavy \(\hod (A^{\star})\) závisí na hodnote \(a\). Môžu nastať dva prípady.
   I. Nech \(a=0\). Potom \(\hod (A)=2=\hod (A^{\star})\), z čoho vyplýva, že sústava má riešenie. Navyše platí \(n=4>\hod (A)=2\), z čoho vyplýva, že sústava má nekonečne veľa riešení a počet voľných premenných je rovný \(n-\hod (A)=4-2=2\). \[\begin{array}{rrrrrrrrl} x_1 \a \!-\! \a x_2 \a \!-\! \a x_3 \a \!-\! \a 3x_4 \a\!=\! \a 2\\ \a \a 2x_2 \a \!+\! \a 7x_3 \a \!+\! \a19x_4 \a\!=\! \a \!-\!7. \end{array} \] Vzhľadom na druhú rovnicu vyberieme z trojice \(x_2,\,x_3,\,x_4\) dve voľné premenné. Nech \(x_3=s\), \(x_4=t\). Z druhej rovnice dostávame \[2x_2+7x_3+19x_4=-7\,\, \Rightarrow x_2=\frac{1}{2}(-7-7s-19t).\] Nakoniec dosadíme vypočítané hodnoty do prvej rovnice a určíme \(x_1\). Dostaneme \[x_1-x_2-x_3-3x_4=2\,\, \Rightarrow x_1=\frac{1}{2}(-3-5s-13t).\] Riešením sústavy je vektor \(\overline{x}=(\frac{1}{2}(-3-5s-13t),\frac{1}{2}(-7-7s-19t),s,t)^\top\) pre \(s,t\in\mathbb{R}\).
   II. Nech \(a\neq0\). Hodnosť rozšírenej matice sa nerovná hodnosti matice sústavy \(\hod (A)=2\neq\hod (A^{\star})=3\). Z toho vyplýva, že sústava nemá riešenie.

   Zobraziť riešenieSkryť riešenie

Zdroje

1. M. Molnárová, H.Myšková, Úvod do lineárnej algebry
2. M. Bučko, J. Buša, Š. Schrotter: Lineárna algebra

Doplňujúce úlohy

Úloha: Pomocou Cramerovho pravidla riešte sústavu rovníc \[ \begin{array}{rrrrrrr} x_1 \a \!+\! \a 3x_2 \a \!+\! \a 2x_3 \a \!=\! \a 4\\ 2x_1 \a \!+\! \a 6x_2 \a \!+\! \a x_3 \a \!=\! \a 2\\ 4x_1 \a \!+\! \a 8x_2 \a \!-\! \a x_3 \a \!=\! \a 2 \end{array} \]
Výsledok: \(\overline{x}=(3,-1,2)^\top\)
Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha: Pomocou Cramerovho pravidla riešte sústavu rovníc \[ \begin{array}{rrrrrrr} x_1 \a \!-\! \a 2x_2 \a \!+\! \a 3x_3 \a \!=\! \a 9\\ \!-\!x_1 \a \!+\! \a 3x_2 \a \!-\! \a x_3 \a \!=\! \a -6\\ 2x_1 \a \!-\! \a 5x_2 \a \!+\! \a 5x_3 \a \!=\! \a 17 \end{array} \]
Výsledok: \(\overline{x}=(1,-1,2)^\top\)
Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha: Pomocou Cramerovho pravidla riešte sústavu rovníc \[ \begin{array}{rrrrrrr} 3x_1 \a \!+\! \a 3x_2 \a \!+\! \a 5x_3 \a \!=\! \a 1\\ 3x_1 \a \!+\! \a 5x_2 \a \!+\! \a 9x_3 \a \!=\! \a 0\\ 5x_1 \a \!+\! \a 9x_2 \a \!+\! \a 17x_3 \a \!=\! \a 0 \end{array} \]
Výsledok: \(\overline{x}=(1,-\frac{3}{2},\frac{1}{2})^\top\)
Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha: Pomocou Cramerovho pravidla riešte sústavu rovníc \[ \begin{array}{rrrrrrr} 2x_1 \a \!+\! \a 3x_2 \a \!+\! \a 3x_3 \a \!=\! \a 3\\ 6x_1 \a \!+\! \a 6x_2 \a \!+\! \a12x_3 \a \!=\! \a 13\\ 12x_1 \a \!+\! \a 9x_2 \a \!-\! \a x_3 \a \!=\! \a 2 \end{array} \]
Výsledok: \(\overline{x}=(\frac{1}{2},-\frac{1}{3},1)^\top\)
Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha: Pomocou inverznej matice riešte sústavu rovníc \[ \begin{array}{rrrrrrr} 2x_1 \a \!+\! \a 3x_2 \a \!+\! \a x_3 \a \!=\! \a \!-\!1\\ 3x_1 \a \!+\! \a 3x_2 \a \!+\! \a x_3 \a \!=\! \a 1\\ 2x_1 \a \!+\! \a 4x_2 \a \!+\! \a x_3 \a \!=\! \a \!-\!2 \end{array} \]
Výsledok: \(\overline{x}=(2,-1,-2)^\top\)
Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha: Pomocou inverznej matice riešte sústavu rovníc \[ \begin{array}{rrrrrrr} 2x_1 \a \!+\! \a 3x_2 \a \!+\! \a x_3 \a \!=\! \a 4\\ 3x_1 \a \!+\! \a 3x_2 \a \!+\! \a x_3 \a \!=\! \a 8\\ 2x_1 \a \!+\! \a 4x_2 \a \!+\! \a x_3 \a \!=\! \a 5 \end{array} \]
Výsledok: \(\overline{x}=(4,1,-7)^\top\)
Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha: Eliminačnou metódou riešte sústavu rovníc \[ \begin{array}{rrrrrrrrr} 2x_1 \a \!+\! \a 5x_2 \a \!+\! \a 4x_3 \a \!+\! \a x_4 \a\!=\! \a 20\\ x_1 \a \!+\! \a 3x_2 \a \!+\! \a 2x_3 \a \!+\! \a x_4 \a\!=\! \a 11\\ 2x_1 \a \!+\! \a10x_2 \a \!+\! \a 9x_3 \a \!+\! \a 7x_4 \a\!=\! \a 40\\ 3x_1 \a \!+\! \a 8x_2 \a \!+\! \a 9x_3 \a \!+\! \a 2x_4 \a\!=\! \a 37 \end{array} \]
Výsledok: \(\overline{x}=(1,2,2,0)^\top\)
Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha: Eliminačnou metódou riešte sústavu rovníc \[ \begin{array}{rrrrrrrrr} 2x_1 \a \!+\! \a 3x_2 \a \!+\! \a11x_3 \a \!+\! \a 5x_4 \a\!=\! \a 2\\ x_1 \a \!+\! \a x_2 \a \!+\! \a 5x_3 \a \!+\! \a 2x_4 \a\!=\! \a 1\\ 2x_1 \a \!+\! \a x_2 \a \!+\! \a 3x_3 \a \!+\! \a 2x_4 \a\!=\! \a-3\\ x_1 \a \!+\! \a x_2 \a \!+\! \a 3x_3 \a \!+\! \a 4x_4 \a\!=\! \a-3 \end{array} \]
Výsledok: \(\overline{x}=(-2,0,1,-1)^\top\)
Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha: Eliminačnou metódou riešte sústavu rovníc \[ \begin{array}{rrrrrrrrr} 7x_1 \a \!+\! \a 9x_2 \a \!+\! \a 4x_3 \a \!+\! \a 2x_4 \a\!=\! \a 2\\ 2x_1 \a \!-\! \a 2x_2 \a \!+\! \a x_3 \a \!+\! \a x_4 \a\!=\! \a 6\\ 5x_1 \a \!+\! \a 6x_2 \a \!+\! \a 3x_3 \a \!+\! \a 2x_4 \a\!=\! \a 3\\ 2x_1 \a \!+\! \a 3x_2 \a \!+\! \a x_3 \a \!+\! \a x_4 \a\!=\! \a 0 \end{array} \]
Výsledok: \(\overline{x}=(\frac{3}{5},-\frac{6}{5},\frac{17}{5},1)^\top\)
Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha: Eliminačnou metódou riešte sústavu rovníc \[ \begin{array}{rrrrrrrrr} 3x_1 \a \!+\! \a 4x_2 \a \!+\! \a x_3 \a \!+\! \a 2x_4 \a\!=\! \a -3\\ 3x_1 \a \!+\! \a 5x_2 \a \!+\! \a 3x_3 \a \!+\! \a 5x_4 \a\!=\! \a -6\\ 6x_1 \a \!+\! \a 8x_2 \a \!+\! \a x_3 \a \!+\! \a 5x_4 \a\!=\! \a -8\\ 3x_1 \a \!+\! \a 5x_2 \a \!+\! \a 3x_3 \a \!+\! \a 7x_4 \a\!=\! \a -8 \end{array} \]
Výsledok: \(\overline{x}=(2,-2,1,-1)^\top\)
Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha: Eliminačnou metódou riešte sústavu rovníc \[ \begin{array}{rrrrrrrrr} x_1 \a \!+\! \a 2x_2 \a \!-\! \a x_3 \a \!-\! \a 2x_4 \a\!=\! \a -2\\ 2x_1 \a \!+\! \a x_2 \a \!+\! \a x_3 \a \!+\! \a x_4 \a\!=\! \a 8\\ x_1 \a \!-\! \a x_2 \a \!-\! \a x_3 \a \!+\! \a x_4 \a\!=\! \a 1\\ x_1 \a \!+\! \a 2x_2 \a \!+\! \a 2x_3 \a \!-\! \a x_4 \a\!=\! \a 4 \end{array} \]
Výsledok: \(\overline{x}=(1,2,1,3)^\top\)
Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha: Eliminačnou metódou riešte sústavu rovníc \[ \begin{array}{rrrrrrrrr} 5x_1 \a \!+\! \a 3x_2 \a \!+\! \a 3x_3 \a \!+\! \a x_4 \a\!=\! \a 11\\ x_1 \a \!-\! \a x_2 \a \!+\! \a x_3 \a \a \a\!=\! \a -2\\ 3x_1 \a \!+\! \a 3x_2 \a \!+\! \a 2x_3 \a \!+\! \a x_4 \a\!=\! \a 10\\ 4x_1 \a \!+\! \a x_2 \a \!+\! \a 3x_3 \a \!+\! \a x_4 \a\!=\! \a 8\\ x_1 \a \!-\! \a 3x_2 \a \!+\! \a 2x_3 \a \a \a\!=\! \a -7 \end{array} \]
Výsledok: \(\overline{x}=(3,0,-5,11)^\top\)
Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha: Eliminačnou metódou riešte sústavu rovníc \[ \begin{array}{rrrrrrrrrrr} x_1 \a \!+\! \a x_2 \a \!+\! \a x_3 \a \!+\! \a x_4 \a \a \a\!=\! \a 1\\ 2x_1 \a \!+\! \a 2x_2 \a \!+\! \a 2x_3 \a \a \a \a \a\!=\! \a 1\\ x_1 \a \!+\! \a x_2 \a \!+\! \a 5x_3 \a \!-\! \a x_4 \a \!+\! \a 6x_5 \a\!=\! \a 1\\ x_1 \a \!+\! \a x_2 \a \!-\! \a 3x_3 \a \!+\! \a x_4 \a \!-\! \a 6x_5 \a\!=\! \a -1 \end{array} \]
Výsledok: sústava nemá riešenie
Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha: Eliminačnou metódou riešte sústavu rovníc \[ \begin{array}{rrrrrrrrrrr} 4x_1 \a \!+\! \a 3x_2 \a \!-\! \a x_3 \a \!+\! \a x_4 \a \!+\! \a x_5 \a\!=\! \a 15\\ x_1 \a \!-\! \a x_2 \a \!+\! \a x_3 \a \!-\! \a x_4 \a \!+\! \a x_5 \a\!=\! \a 2\\ 3x_1 \a \!-\! \a 2x_2 \a \!+\! \a x_3 \a \!-\! \a x_4 \a \!-\! \a 2x_5 \a\!=\! \a 5\\ 2x_1 \a \a \a \!+\! \a 3x_3 \a \a \a \a \a\!=\! \a 0\\ \a \a x_2 \a \a \a \!+\! \a x_4 \a \a \a\!=\! \a 0 \end{array} \]
Výsledok: \(\overline{x}=(3,0,-2,0,1)^\top\)
Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha: Eliminačnou metódou riešte sústavu rovníc \[ \begin{array}{rrrrrrrrr} x_1 \a \!+\! \a 2x_2 \a \!-\! \a 3x_3 \a \!+\! \a x_4 \a\!=\! \a -2\\ 3x_1 \a \!-\! \a 5x_2 \a \!+\! \a 2x_3 \a \!+\! \a x_4 \a\!=\! \a 3\\ 4x_1 \a \!+\! \a 3x_2 \a \!-\! \a 7x_3 \a \!+\! \a 2x_4 \a\!=\! \a -5\\ \!-\!x_1 \a \!+\! \a 2x_2 \a \!-\! \a x_3 \a \!+\! \a 3x_4 \a\!=\! \a 2\\ 3x_1 \a \!+\! \a x_2 \a \!-\! \a 4x_3 \a \!+\! \a 2x_4 \a\!=\! \a -2 \end{array} \]
Výsledok: \(\overline{x}=(t,t,1+t,1)^\top,\ t\in\mathbb{R}\)
Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha: Eliminačnou metódou riešte sústavu rovníc \[ \begin{array}{rrrrrrrrr} \!-\!2x_1 \a \!+\! \a 2x_2 \a \a \a \a \a\!=\! \a -6\\ x_1 \a \!+\! \a 8x_2 \a \!+\! \a 2x_3 \a \!+\! \a x_4 \a\!=\! \a -3\\ 3x_1 \a \!+\! \a10x_2 \a \!+\! \a 2x_3 \a \!-\! \a x_4 \a\!=\! \a -2\\ 2x_1 \a \a \a \a \a \!-\! \a x_4 \a\!=\! \a 1\\ 4x_1 \a \!+\! \a 3x_2 \a \!+\! \a x_3 \a \!+\! \a x_4 \a\!=\! \a 5 \end{array} \]
Výsledok: sústava nemá riešenie
Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha: Eliminačnou metódou riešte homogénnu sústavu rovníc \[ \begin{array}{rrrrrrr} x_1 \a \!+\! \a 3x_2 \a \!+\! \a 2x_3 \a \!=\! \a 0\\ 2x_1 \a \!-\! \a x_2 \a \!+\! \a 3x_3 \a \!=\! \a 0\\ 3x_1 \a \!-\! \a 5x_2 \a \!+\! \a 4x_3 \a \!=\! \a 0\\ x_1 \a \!+\! \a17x_2 \a \!+\! \a 4x_3 \a \!=\! \a 0 \end{array} \]
Výsledok: \(\overline{x}=(-\frac{11}{7}t,-\frac{1}{7}t,t)^\top,\ t\in\mathbb{R}\)
Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha: Eliminačnou metódou riešte homogénnu sústavu rovníc \[ \begin{array}{rrrrrrrrr} x_1 \a \!-\! \a 3x_2 \a \!-\! \a26x_3 \a \!+\! \a22x_4 \a\!=\! \a 0\\ x_1 \a \a \a \!-\! \a 8x_3 \a \!+\! \a 7x_4 \a\!=\! \a 0\\ x_1 \a \!+\! \a x_2 \a \!-\! \a 2x_3 \a \!+\! \a 2x_4 \a\!=\! \a 0\\ 4x_1 \a \!+\! \a 5x_2 \a \!-\! \a 2x_3 \a \!+\! \a 3x_4 \a\!=\! \a 0 \end{array} \]
Výsledok: \(\overline{x}=(8s-7t,5t-6s,s,t)^\top,\ s,\,t\in\mathbb{R}\)
Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha: Eliminačnou metódou riešte homogénnu sústavu rovníc \[ \begin{array}{rrrrrrrrrrrrr} \!-\!x_1 \a \!+\! \a x_2 \a \a \a \!+\! \a x_4 \a \a \a \a \a\!=\! \a 0\\ \a \a \a \a x_3 \a \a \a \!-\! \a x_5 \a \!+\! \a x_6 \a\!=\! \a 0\\ \a \!-\! \a x_2 \a \!+\! \a x_3 \a \!-\! \a x_4 \a \a \a \!-\! \a x_6 \a\!=\! \a 0\\ \a \a x_2 \a \a \a \!+\! \a x_4 \a \!-\! \a x_5 \a \a \a\!=\! \a 0\\ \!-\!x_1 \a \a \a \!+\! \a x_3 \a \a \a \a \a \!+\! \a x_6 \a\!=\! \a0 \end{array} \]
Výsledok: \(\overline{x}=(t,t-3,t,s,t,0)^\top,\ t,\,s\in\mathbb{R}\)
Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha: Eliminačnou metódou riešte homogénnu sústavu rovníc \[ \begin{array}{rrrrrrrrrrr} 3x_1 \a \a \a \!-\! \a x_3 \a \!-\! \a 2x_4 \a \!-\! \a 4x_5 \a\!=\! \a 0\\ 4x_1 \a \!+\! \a x_2 \a \!-\! \a 2x_3 \a \!-\! \a x_4 \a \!-\! \a 5x_5 \a\!=\! \a 0\\ 6x_1 \a \!-\! \a 3x_2 \a \a \a \!-\! \a 9x_4 \a \!-\! \a 3x_5 \a\!=\! \a 0\\ 10x_1 \a \!+\! \a x_2 \a \!-\! \a 4x_3 \a \!-\! \a 5x_4 \a \!-\! \a13x_5 \a\!=\! \a 0\\ x_1 \a \!+\! \a 4x_2 \a \!-\! \a 3x_3 \a \!+\! \a 6x_4 \a \a \a\!=\! \a 0 \end{array} \]
Výsledok: \(\overline{x}=(\frac{t+s}{3},\frac{2t-5s}{3},t,s,0)^\top,\ t\in\mathbb{R}\)
Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha: Eliminačnou metódou riešte homogénnu sústavu rovníc \[ \begin{array}{rrrrrrrrrrr} x_1 \a \!-\! \a x_2 \a \!+\! \a 2x_3 \a \!+\! \a 2x_4 \a \!+\! \a 6x_5 \a\!=\! \a 0\\ 3x_1 \a \!-\! \a 2x_2 \a \!+\! \a 4x_3 \a \!+\! \a 4x_4 \a \!+\! \a12x_5 \a\!=\! \a 0\\ \a \a x_2 \a \!-\! \a x_3 \a \!-\! \a x_4 \a \!-\! \a 3x_5 \a\!=\! \a 0\\ 2x_1 \a \!-\! \a 2x_2 \a \!+\! \a 4x_3 \a \!+\! \a 5x_4 \a \!+\! \a15x_5 \a\!=\! \a 0\\ 2x_1 \a \!-\! \a 2x_2 \a \!+\! \a 4x_3 \a \!+\! \a 4x_4 \a \!+\! \a13x_5 \a\!=\! \a 0 \end{array} \]
Výsledok: \(\overline{x}=(0,0,0,0,0)^\top\)
Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha: Riešte sústavu lineárnych rovníc s parametrom \[ \begin{array}{rrrrrrr} x_1 \a \!+\! \a x_2 \a \!+\! \a x_3 \a \!=\! \a 2\\ 2x_1 \a \!+\! \a 3x_2 \a \!+\! \a 4x_3 \a \!=\! \a 3\\ 3x_1 \a \!+\! \a 2x_2 \a \!+\! \a ax_3 \a \!=\! \a 6 \end{array} \]
Výsledok: \(a\neq 1\Rightarrow\overline{x}=(\frac{3a-4}{a-1},\frac{3-a}{a-1},-\frac{1}{a-1})^\top,\\ a= 1\Rightarrow\text{sústava nemá riešenie} \)
Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha: Riešte sústavu lineárnych rovníc s parametrom \[ \begin{array}{rrrrrrrrr} 2x_1 \a \!-\! \a x_2 \a \!+\! \a x_3 \a \!+\! \a x_4 \a\!=\! \a 1\\ x_1 \a \!+\! \a 2x_2 \a \!-\! \a x_3 \a \!+\! \a 4x_4 \a\!=\! \a 2\\ x_1 \a \!+\! \a 7x_2 \a \!-\! \a 4x_3 \a \!+\! \a11x_4 \a\!=\! \a a \end{array} \]
Výsledok: \(a=5\Rightarrow\overline{x}=(1-\frac{5}{3}t-\frac{1}{3}s,s,-1+\frac{7}{3}t,t)^\top,\\ a\neq 5\Rightarrow\text{sústava nemá riešenie} \)
Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha: Riešte sústavu lineárnych rovníc s parametrom \[ \begin{array}{rrrrrrr} ax_1 \a \!+\! \a x_2 \a \!+\! \a x_3 \a \!=\! \a 1\\ x_1 \a \!+\! \a ax_2 \a \!+\! \a x_3 \a \!=\! \a a\\ x_1 \a \!+\! \a x_2 \a \!+\! \a ax_3 \a \!=\! \a a^2 \end{array} \]
Výsledok: \(a\neq 1\wedge a\neq -2\Rightarrow\overline{x}=(-\frac{a+1}{a+2},\frac{1}{a+2},-\frac{(a+1)^2}{a+2})^\top,\\ a= -2\Rightarrow\text{sústava nemá riešenie},\\ a=1\Rightarrow \overline{x}=(t,s,1-s-t)^\top,\ t,s\in\mathbb{R}. \)
Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha: Riešte sústavu lineárnych rovníc s parametrom \[ \begin{array}{rrrrrrrrr} x_1 \a \!+\! \a x_2 \a \!+\! \a x_3 \a \!+\! \a x_4 \a\!=\! \a 4\\ 2x_1 \a \!-\! \a 3x_2 \a \!+\! \a x_3 \a \!-\! \a x_4 \a\!=\! \a -1\\ 3x_1 \a \!+\! \a 4x_2 \a \!-\! \a 2x_3 \a \!+\! \a 6x_4 \a\!=\! \a 11\\ 5x_1 \a \a \a \!+\! \a 4x_3 \a \!+\! \a 2x_4 \a\!=\! \a a \end{array} \]
Výsledok: \(a=11\Rightarrow\overline{x}=(\frac{8-5t}{3},\frac{5-3t}{2},t,\frac{13t-7}{6})^\top,\ t\in\mathbb{R}, \\ a\neq 11\Rightarrow\text{sústava nemá riešenie} \)
Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha: Riešte sústavu lineárnych rovníc s parametrom \[ \begin{array}{rrrrrrrrr} x_1 \a \!+\! \a x_2 \a \!+\! \a x_3 \a \!+\! \a x_4 \a\!=\! \a 4\\ 2x_1 \a \!-\! \a 3x_2 \a \!+\! \a x_3 \a \a \a\!=\! \a 0\\ 3x_1 \a \!+\! \a 4x_2 \a \!-\! \a 2x_3 \a \!+\! \a 6x_4 \a\!=\! \a 11\\ 5x_1 \a \a \a \!+\! \a 4x_3 \a \!+\! \a 3x_4 \a\!=\! \a a \end{array} \]
Výsledok: \(a=12\Rightarrow\overline{x}=(3-2t,2-t,t,1-2t)^\top,\ t\in\mathbb{R}, \\ a\neq 12\Rightarrow\text{sústava nemá riešenie} \)
Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha: Riešte sústavu lineárnych rovníc s parametrom \[ \begin{array}{rrrrrrrrr} x_1 \a \!-\! \a x_2 \a \!-\! \a x_3 \a \!-\! \a 3x_4 \a\!=\! \a 2\\ 4x_1 \a \!-\! \a 2x_2 \a \!+\! \a 3x_3 \a \!+\! \a 7x_4 \a\!=\! \a 1\\ x_1 \a \!-\! \a 3x_2 \a \!-\! \a 8x_3 \a \!-\! \a22x_4 \a\!=\! \a 9\\ 7x_1 \a \!-\! \a 3x_2 \a \!+\! \a 7x_3 \a \!+\! \a17x_4 \a\!=\! \a a \end{array} \]
Výsledok: \(a=0\Rightarrow\overline{x}=(\frac{-3-5t-13s}{2},\frac{-7-7t-19s}{2},t,s)^\top,\ t,\,s\in\mathbb{R}, \\ a\neq 0\Rightarrow\text{sústava nemá riešenie} \)
Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha: Riešte sústavu lineárnych rovníc s parametrom \[ \begin{array}{rrrrrrrrr} x_1 \a \!-\! \a x_2 \a \!+\! \a x_3 \a \!+\! \a x_4 \a\!=\! \a 0\\ 2x_1 \a \!+\! \a x_2 \a \!-\! \a x_3 \a \!-\! \a x_4 \a\!=\! \a 1\\ 3x_1 \a \!+\! \a 3x_2 \a \!-\! \a 3x_3 \a \!-\! \a 3x_4 \a\!=\! \a a\\ 4x_1 \a \!+\! \a 5x_2 \a \!-\! \a 5x_3 \a \!-\! \a 5x_4 \a\!=\! \a 3 \end{array} \]
Výsledok: \(a=2\Rightarrow\overline{x}=(\frac{1}{3},\frac{1}{3}+s+t,s,t)^\top,\ t,\,s\in\mathbb{R}, \\ a\neq 2\Rightarrow\text{sústava nemá riešenie} \)
Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha: \[ \begin{array}{rrrrrrr} (2\!-\!a)x_1 \a \!+\! \a x_2 \a \!+\! \a x_3 \a \!=\! \a 0\\ x_1 \a \!+\! \a (a\!-\!2)x_2 \a \!+\! \a x_3 \a \!=\! \a 0\\ x_1 \a \!+\! \a x_2 \a \!+\! \a (a\!-\!2)x_3 \a \!=\! \a 0 \end{array} \]
Výsledok: \(a=3\Rightarrow\overline{x}=(0,-t,t)^\top,\ t\in\mathbb{R}, \\ a\neq 3\Rightarrow\overline{x}=(0,0,0)^\top \)
Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha: Riešte sústavu lineárnych rovníc s parametrom \[ \begin{array}{rrrrrrr} x_1 \a \!+\! \a 2x_2 \a \!+\! \a 3x_3 \a \!=\! \a 4\\ 2x_1 \a \!+\! \a 5x_2 \a \!+\! \a 8x_3 \a \!=\! \a 6\\ \!-\!7x_1 \a \a \a \!+\! \a 7x_3 \a \!=\! \a 8\!-\!a \end{array} \]
Výsledok: \(a=64\Rightarrow\overline{x}=(8+t,-2-2t,t)^\top,\ t\in\mathbb{R}, \\ a\neq 64\Rightarrow\overline{x}=(0,0,0)^\top \)
Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha: Riešte sústavu lineárnych rovníc s parametrom \[ \begin{array}{rrrrrrr} ax_1 \a \!+\! \a x_2 \a \!+\! \a x_3 \a \!=\! \a 1\\ x_1 \a \!+\! \a ax_2 \a \!+\! \a x_3 \a \!=\! \a 1\\ x_1 \a \!+\! \a x_2 \a \!+\! \a ax_3 \a \!=\! \a a^2 \end{array} \]
Výsledok: \(a=1\Rightarrow\overline{x}=(1-s-t,t,s)^\top,\ t,\,s\in\mathbb{R}, \\ a\neq 1\wedge a\neq -2\Rightarrow\overline{x}=(-\frac{a}{a+2},-\frac{a}{a+2},1)^\top, \\ a=-2\Rightarrow\text{sústava nemá riešenie.} \)
Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha: Riešte sústavu lineárnych rovníc s parametrom \[ \begin{array}{rrrrrrr} 4x_1 \a \!+\! \a 4x_2 \a \!+\! \a 4x_3 \a \!=\! \a 1\!+\!a\\ 8x_1 \a \!+\! \a 6x_2 \a \!+\! \a 4x_3 \a \!=\! \a 1\\ \!-\!3x_1 \a \!-\! \a 2x_2 \a \!-\! \a x_3 \a \!=\! \a 1 \end{array} \]
Výsledok: \(a=5\Rightarrow\overline{x}=(t-4,\frac{11}{2}-2t,t)^\top,\ t\in\mathbb{R}, \\ a\neq 5\Rightarrow\text{sústava nemá riešenie.} \)
Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha: Riešte sústavu lineárnych rovníc s parametrom \[ \begin{array}{rrrrrrr} ax_1 \a \!+\! \a x_2 \a \!+\! \a x_3 \a \!=\! \a 0\\ x_1 \a \!+\! \a ax_2 \a \!+\! \a x_3 \a \!=\! \a 0\\ x_1 \a \!+\! \a x_2 \a \!+\! \a ax_3 \a \!=\! \a 0 \end{array} \]
Výsledok: \(a=1\Rightarrow\overline{x}=(-s-t,t,s)^\top,\ t,\,s\in\mathbb{R}, \\ a\neq 1\wedge a\neq -2\Rightarrow\overline{x}=(0,0,0)^\top, \\ a=-2\Rightarrow\overline{x}=(t,t,t)^\top \)
Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha: Riešte sústavu lineárnych rovníc s parametrom \[ \begin{array}{rrrrrrr} ax_1 \a \!-\! \a 2x_2 \a \!+\! \a x_3 \a \!=\! \a 0\\ 3x_1 \a \!+\! \a2ax_2 \a \!-\! \a x_3 \a \!=\! \a 0\\ \!-\!a^2x_1 \a \!-\! \a x_2 \a \!+\! \a (1\!-\!a)x_3 \a \!=\! \a 0 \end{array} \]
Výsledok: \(a=\frac{3}{7}\Rightarrow\overline{x}=(t,3t,\frac{39}{7}t)^\top,\ t\in\mathbb{R}, \\ a\neq \frac{3}{7}\Rightarrow\overline{x}=(0,0,0)^\top \)
Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha: Riešte sústavu lineárnych rovníc s parametrom \[ \begin{array}{rrrrrrr} x_1 \a \!+\! \a x_2 \a \!+\! \a x_3 \a \!=\! \a 1\\ x_1 \a \!+\! \a x_2 \a \!+\! \a ax_3 \a \!=\! \a a\\ x_1 \a \!+\! \a ax_2 \a \!+\! \a x_3 \a \!=\! \a a \end{array} \]
Výsledok: \(a=1\Rightarrow\overline{x}=(1-s-t,t,s)^\top,\ t,\,s\in\mathbb{R}, \\ a\neq 1\Rightarrow\overline{x}=(-1,1,1)^\top \)
Zobraziť výsledokSkryť výsledok

Doplňujúce zdroje

1. M. Bučko, J. Buša, Š. Schrotter: Lineárna algebra