Neurčitý integrál

Ciele

1. Naučiť študentov integrovanie rozkladom a úpravou využitím základných integračných vzorcov.
2. Naučiť študentov integrovanie pomocou substitučnej metódy.
3. Naučiť študentov integrovanie pomocou metódy per partes.

Úvod

\(\def\a{&}\def\arctg{\mathop{\mathrm{arctg}}} \def\tg{\mathop{\mathrm{tg}}} \def\arccotg{\mathop{\mathrm{arccotg}}} \def\cotg{\mathop{\mathrm{cotg}}} \def\myint#1{\displaystyle\int #1 \,\mathrm{d}x} \def\e{\mathrm{e}}\) Niektoré základné vzorce integrovania (vzorce platia na intervaloch, na ktorých sú funkcie definované)
1. \(\myint{x^\alpha}=\dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C\), pre \(\alpha\ne-1\);
Poznámka: \(\myint{ }=\myint{1}=x+C\) je možné chápať ako prípad \(\alpha=0\).
2. \(\myint{\dfrac{1}{x}}=\ln|x|+C\);
3. \(\myint{\e^x}=\e^x+C\);
4. \(\myint{a^x}=\dfrac{a^x}{\ln a}+C\), pre \(a>0\), \(a\ne1\);
5. \(\myint{\sin x}=-\cos x+C\);
6. \(\myint{\cos x}=\sin x+C\);
7. \(\myint{\dfrac{1}{a^2-x^2}}=\dfrac{1}{2a}\,\ln \left|\dfrac{a+x}{a-x}\right|+C\), pre \(a\ne0\);
8. \(\myint{\dfrac{1}{a^2+x^2}}=\dfrac{1}{a}\,\arctg \dfrac{x}{a}+C\), pre \(a\ne0\);
9. \(\myint{\dfrac{1}{\sqrt{x^2\pm a^2}}}=\ln\left|x+\sqrt{x^2\pm a^2}\right|+C\), pre \(a\ne0\);
10. \(\myint{\dfrac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}}=\arcsin \dfrac{x}{a}+C\), pre \(a\ne0\);
11. \(\myint{\dfrac{f^\prime(x)}{f(x)}}=\ln|f(x)|+C\).

Postup

1. Integrovanie rozkladom a úpravou

   Príklad: Vypočítajme integrál \(\displaystyle\myint{\left(\frac{2}{x}-\frac{3}{x^2}+\sqrt[3]{x^2}-\frac{2}{\sqrt x}\right)}\).

   Riešenie: Integračnú funkciu musíme v prvom rade upraviť tak, aby sme mohli následne využiť spolu s vetou o lineárnosti prvý a druhý integračný vzorec \[ \int {\left(\frac{2}{x}-\frac{3}{x^2}+\sqrt[3]{x^2}-\frac{2}{\sqrt x }\right)} =2\myint{\frac{1}{x}} -3\myint{x^{-2}}+ \myint {x^{\frac{2}{3}}}-2\myint{x^{-\,\frac{1}{2}}}= \] \[ =2\ln \left| x \right|-3\frac{x^{-1}}{-1}+\frac{x^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}}-2\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+C=2\ln \left| x \right|+\frac{3}{x}+\frac{3}{5}\sqrt[3]{x^5}-4\sqrt x +C. \]

   Zobraziť riešenieSkryť riešenie

   Príklad: Vypočítajme integrál \(\myint{x\left( {x+1} \right)\left( {x-2} \right)}\).

   Riešenie: Vo všeobecnosti neexistuje spôsob integrovania súčinu, preto je potrebné upraviť funkciu na iný tvar. V tomto prípade postačí roznásobenie, čím získame polynóm, ktorý integrujeme znova využitím vety o lineárnosti a prvého integračného vzorca \[ \myint{x\left( {x+1} \right)\left( {x-2} \right)}=\myint{(x^3-x^2-2x)} =\frac{x^4}{4}-\frac{x^3}{3}-2\frac{x^2}{2}+C=\frac{x^4}{4}-\frac{x^3}{3}-x^2+C. \]

   Zobraziť riešenieSkryť riešenie

   Príklad: Vypočítajme integrál \(\displaystyle\myint{\frac{x^2-2x+6}{\sqrt x }}\).

   Riešenie: Podobne ako predchádzajúcej úlohe vo všeobecnosti neexistuje spôsob integrovania podielu, preto je potrebné upraviť funkciu na iný tvar. V tejto úlohe je možné predeliť každý člen čitateľa menovateľom, čím získame funkciu, ktorú integrujeme znova využitím vety o lineárnosti a prvého integračného vzorca \[ \myint{\frac{x^2-2x+6}{\sqrt x }}=\myint {\left(x^{\frac{3}{2}}-2x^{\frac{1}{2}}+6x^{-\,\frac{1}{2}}\right)} =\frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}-2\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+6\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+C= \] \[ =\frac{2}{5}\sqrt {x^5} -\frac{4}{3}\sqrt {x^3} +12\sqrt x +C. \]

   Zobraziť riešenieSkryť riešenie
2. Integrovanie pomocou substitúcie Pri integrovaní substitúciou využívame najčastejšie takúto schému \[ \myint{f\left[ {\varphi \left( x \right)} \right]\cdot {\varphi }'\left( x \right)}=\left| {\begin{array}{c} \varphi \left( x \right)=t \\ \;{\varphi }'\left( x \right)\,\mathrm{d}x=\mathrm{d}t\; \\ \end{array}} \right|=\int{f\left( t \right)} \,\mathrm{d}t. \]

   Príklad: Vypočítajme integrál \(\myint{2x\cdot \e^{x^2+3}}\).

   Riešenie: Za funkciu \(\varphi (x)\) je v tomto prípade vhodné zvoliť si exponent \(x^2+3\), čím získame integrál, ktorý vieme vypočítať pomocou tretieho integračného vzorca \[ \myint{2x\cdot \e^{x^2+3}} =\left| {\begin{array}{l} x^2+3=t \\ 2x\,\mathrm{d}x=\mathrm{d}t \\ \end{array}} \right|=\int{\e^t\,\mathrm{d}t} =\e^t+C=\e^{x^2+3}+C, \] pričom v poslednom kroku sme sa znova pomocou substitúcie vo výsledku vrátili k pôvodnej premennej.

   Zobraziť riešenieSkryť riešenie

   Príklad: Vypočítajme integrál \(\myint{\frac{\sqrt {2+\ln x} }{x}}\).

   Riešenie: Za funkciu \(\varphi (x)\) je v tomto prípade vhodné zvoliť si výraz pod druhou odmocninou. Po použití substitúcie získame integrál, ktorý dopočítame pomocou prvého integračného vzorca \[ \myint{\frac{\sqrt {2+\ln x} }{x}} =\left| {\begin{array}{l} 2+\ln x=t \\ \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x=\mathrm{d}t \\ \end{array}} \right|=\int{\sqrt t \,\mathrm{d}t=\int{t^{\frac{1}{2}}} \,\mathrm{d}t=\frac{t^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}} +C=\frac{2}{3}\sqrt {t^3} +C \stackrel{t=2+\ln x}{=}\frac{2}{3}\sqrt {\left( {2+\ln x} \right)^3} +C. \]

   Zobraziť riešenieSkryť riešenie

   Príklad: Vypočítajme integrál \(\myint{\frac{\sqrt {2+\ln x} }{x}} \).

   Riešenie: Za funkciu \(\varphi (x)\) je takisto ako v predchádzajúcej úlohe vhodné zvoliť si výraz pod druhou odmocninou, ale v tomto prípade tak, aby sme sa zároveň zbavili aj samotnej odmocniny. Po použití substitúcie získame integrál, ktorý dopočítame pomocou prvého integračného vzorca \[ \myint{\frac{\sqrt {2+\ln x} }{x}} =\left| {\begin{array}{l} \sqrt {2+\ln x}=t\\ 2+\ln x=t^2 \\ \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x=2t\,\mathrm{d}t \\ \end{array}} \right|=\int{2t^2\,\mathrm{d}t=\frac{2}{3}t^3} +C\stackrel{t=\sqrt{2+\ln x}}{=}\frac{2}{3}\sqrt {\left( {2+\ln x} \right)^3} +C. \]

   Zobraziť riešenieSkryť riešenie

   Príklad: Vypočítajme integrál \(\myint{\frac{x-1}{\sqrt[3]{x+1}}} \).

   Riešenie: \[ \myint{\frac{x-1}{\sqrt[3]{x+1}}} =\left| {\begin{array}{c} \sqrt[3] {x+1}=t\\ x+1=t^3\\ \mathrm{d}x=3t^2\,\mathrm{d}t \\ x-1=t^3-2 \end{array}} \right|=\int{\dfrac{(t^3-2)\cdot 3t^2}{t}\,\mathrm{d}t=\frac{3}{5}t^5}-3t^2 +C =\frac{3}{5}\sqrt[3] {(x+1)^5}-3\sqrt[3] {(x+1)2} +C. \]

   Poznámka: Pri vykonávaní substitúcie nie je možné v integráloch miešať staré a nové premenné. Preto je vyjadrenie výrazu \(x-1\) pomocou novej premennej \(t\) súčasťou substitúcie.

   Zobraziť riešenieSkryť riešenie

   Príklad: Vypočítajme integrál \(\myint{\e^{4x}} \).

   Riešenie: Za funkciu \(\varphi (x)\) je takisto ako v predchádzajúcej úlohe vhodné zvoliť si výraz v exponente funkcie. Po použití substitúcie získame integrál, ktorý dopočítame pomocou tretieho integračného vzorca \[ \myint{\e^{4x}} =\left| {\begin{array}{l} 4x=t \\ 4\mathrm{d}x=\mathrm{d}t \\ \end{array}} \right|=\frac{1}{4}\int{\e^t\,\mathrm{d}t} =\frac{1}{4}\e^t+C=\frac{1}{4}\e^{4x}+C. \]

   Poznámka: Využitím substitúcie môžeme ukázať, že platí: \(\myint{e^{kx+q}} =\frac{1}{k}\e^{kx+q}+C\), \[ \myint{\cos (kx+q)} =\frac{1}{k}\sin (kx+q)+C, \] \[ \myint{\sin (kx+q)} =-\frac{1}{k}\cos (kx+q)+C. \] Tieto tri typy integrálov budeme často využívať pri integrovaní pomocou metódy per partes.

   Zobraziť riešenieSkryť riešenie
3. Integrovanie pomocou per partes Pri integrovaní pomocou metódy per partes využívame vzorce \[ \myint{u\left( x \right){v}'\left( x \right)}=u\left( x \right)v\left( x \right)- \myint{{u}'\left( x \right)v\left( x \right)}, \] \[ \displaystyle\int u\cdot\mathrm{d}v=u\cdot v- \displaystyle\int v\cdot\mathrm{d}u. \] Túto metódu je možné využiť napríklad pri takýchto typoch integrálov:

   • \(\myint{P_n \left( x \right) \cdot \e^{kx+q}}\), pričom voľba funkcií \(u\left( x \right)\) a \(v\left( x \right)\) je: \(u=P_n \left( x \right)\) a \({v}'=\e^{kx+q}\) a metóda sa opakuje \(n\)-krát.
   • \(\myint{P_n \left( x \right) \cdot \sin (kx+q)}\), pričom voľba funkcií \(u\left( x \right)\) a \(v\left( x \right)\) je: \(u=P_n \left( x \right)\) a \({v}'=\sin (kx+q)\) a metóda sa opakuje \(n\)-krát.
   • \(\myint{P_n \left( x \right) \cdot \cos (kx+q)}\), pričom voľba funkcií \(u\left( x \right)\) a \(v\left( x \right)\) je: \(u=P_n \left( x \right)\) a \({v}'=\cos (kx+q)\) a metóda sa opakuje \(n\)-krát.
   • \(\myint{P_n \left( x \right) \cdot \log _a x}\), pričom voľba funkcií \(u\left( x \right)\) a \(v\left( x \right)\) je: \({v}'=P_n \left( x \right)\) a \(u=\log _a x\).
   • \(\myint{P_n \left( x \right) \cdot \arcsin x}\), pričom voľba funkcií \(u\left( x \right)\) a \(v\left( x \right)\) je: \({v}'=P_n \left( x \right)\) a \(u=\arcsin x\).
   • \(\myint{P_n \left( x \right) \cdot \arccos x}\), pričom voľba funkcií \(u\left( x \right)\) a \(v\left( x \right)\) je: \({v}'=P_n \left( x \right)\) a \(u=\arccos x\).
   • \(\myint{P_n \left( x \right) \cdot \arctg x}\), pričom voľba funkcií \(u\left( x \right)\) a \(v\left( x \right)\) je: \({v}'=P_n \left( x \right)\) a \(u=\arctg x\).
   • \(\myint{P_n \left( x \right) \cdot \arccotg x}\) pričom voľba funkcií \(u\left( x \right)\) a \(v\left( x \right)\) je: \({v}'=P_n \left( x \right)\) a \(u=\arccotg x\).

   Poznámka: Vo všetkých uvedených vzorcoch je \(P_n(x)\) polynóm \(n\)-tého stupňa.

   • \(\myint{\e^{kx+q}\cdot\sin(ax+b)}\), pričom voľba funkcií je \(u=\e^{kx+q}\) a \(v'=\sin(ax+b)\) alebo \(v'=\e^{kx+q}\) a \(u=\sin(ax+b)\) a metóda sa opakuje dvakrát.
   • \(\myint{\e^{kx+q}\cdot\cos(ax+b)}\), pričom voľba funkcií je \(u=\e^{kx+q}\) a \(v'=\cos(ax+b)\) alebo \(v'=\e^{kx+q}\) a \(u=\cos(ax+b)\) a metóda sa opakuje dvakrát.
   • \(\myint{\sin(kx+q)\cdot\cos(ax+b)}\), pričom voľba funkcií je \(u=\sin(kx+q)\) a \(v'=\cos(ax+b)\) alebo \(v'=\sin(kx+q)\) a \(u=\cos(ax+b)\) a metóda sa opakuje dvakrát.
   • \(\myint{\sin(kx+q)\cdot\sin(ax+b)}\), pričom voľba funkcií je \(u=\sin(kx+q)\) a \(v'=\sin(ax+b)\) alebo \(v'=\sin(kx+q)\) a \(u=\sin(ax+b)\) a metóda sa opakuje dvakrát.
   • \(\myint{\cos(kx+q)\cdot\cos(ax+b)}\), pričom voľba funkcií je \(u=\cos(kx+q)\) a \(v'=\cos(ax+b)\) alebo \(v'=\cos(kx+q)\) a \(u=\cos(ax+b)\) a metóda sa opakuje dvakrát.
   Poznámka: Súčin sínusov a kosínusov sa efektívnejšie integruje použitím goniometrických vzorcov.

   Príklad: Vypočítajme integrál\(\myint{\left( {3x-5} \right) \cdot \e^x}\).

   Riešenie: \(\myint{\left( {3x-5} \right) \cdot \e^x}=\left| {\begin{array}{l} u=3x-5\quad {v}'=\e^x \\ {u}'=3\quad \quad \;\;v=\e^x \\ \end{array}} \right|=\left( {3x-5} \right)\cdot \e^x-3\myint{\e^x} =\left( {3x-5} \right)\cdot \e^x-3\e^x+C\).

   Poznámka: Funkciu \(v(x)\) určíme integrovaním funkcie \(v'\). Pritom môžeme integračnú konštantu voliť. Najčastejšie sa volí \(C=0\), ako sme to urobili aj v tomto prípade.

   Zobraziť riešenieSkryť riešenie

   Príklad: Vypočítajme integrál \(\myint{\left( {x^2-1} \right) \cdot \sin 4x}\).

   Riešenie: \[\myint{\left( {x^2-1} \right) \cdot \sin 4x}=\left| {\begin{array}{l} u=x^2-1\quad {v}'=\sin 4x \\ {u}'=2x\quad \quad \;\;v=-\frac{1}{4}\cos 4x \\ \end{array}} \right|=-\frac{1}{4}\left( {x^2-1} \right)\cdot \cos 4x+\] \[ +\frac{1}{2}\myint{x\cdot \cos 4x}=\left| {\begin{array}{ll} u=x\a {v}'=\cos 4x \\ {u}'=1\a v=\frac{1}{4}\sin 4x \\ \end{array}} \right|=-\frac{1}{4}\left( {x^2-1} \right)\cdot \cos 4x+ \] \[ +\frac{1}{2}\left. {\left[ {\frac{1}{4}x\cdot \sin 4x-\frac{1}{4}} \right.\myint{\sin 4x} } \right]=-\frac{1}{4}\left( {x^2-1} \right) \cdot \cos 4x+\frac{1}{8}x\cdot \sin 4x+\frac{1}{32}\cos 4x+C. \]

   Zobraziť riešenieSkryť riešenie

   Príklad: Vypočítajme neurčitý integrál \(\myint{\arctg x}\).

   Riešenie: Je zrejmé, že tento integrál \(\myint{1\cdot\arctg x}\) je možné určiť metódou per partes. \begin{equation}\label{pp} \myint{1\cdot \arctg x}=\left| {\begin{array}{ll} u=\arctg x\a {v}'=1 \\ {u}'=\dfrac{1}{1+x^2}\a v=x \\ \end{array}} \right|=x\cdot\arctg x-\myint{\frac{x}{1+x^2}}. \end{equation} Integrál na pravej strane vypočítame substitučnou metódou: \[ \myint{\frac{x}{1+x^2}}=\left|\begin{array}{c} 1+x^2=t\\ 2x\,\mathrm{d}x=\mathrm{d}t\\ x\,\mathrm{d}x=\dfrac{1}{2}\mathrm{d}t \end{array}\right|= \dfrac{1}{2}\int{\dfrac{1}{t}}\,\mathrm{d}t=\dfrac{1}{2}\,\ln|t|=\dfrac{1}{2}\,\ln|1+x^2|-C. \] Po dosadení výsledku do vzťahu \eqref{pp} dostávame konečný výsledok: \[ \myint{\arctg x}=x\cdot\arctg x-\dfrac{1}{2}\,\ln|1+x^2|+C. \]

   Zobraziť riešenieSkryť riešenie

   Príklad: Vypočítajme integrál \(\myint{\e^{2x+3}\cdot\cos\left(1-\frac{x}{2}\right)}\).

   Riešenie: V tomto prípade vieme dopredu, že je potrebné metódu per partes použiť dvakrát za sebou. Pritom ak v prvom prípade zvolíme ako funkciu \(u(x)\) exponenciálnu funkciu, musíme túto voľbu zopakovať aj v druhom prípade. Pri riešení využijeme výsledky uvedené v poznámke vyššie: \[ \myint{\e^{2x+3}\cdot\cos\left(1-\textstyle\frac{x}{2}\right)}=\left| {\begin{array}{ll} u=\e^{2x+3} \a {v}'=\cos\left(1-\textstyle\frac{x}{2}\right) \\ {u}'=2\e^{2x+3}\a v=-2\sin\left(1-\textstyle\frac{x}{2}\right) \\ \end{array}} \right|= \] \[ =-2\sin\left(1-\textstyle\frac{x}{2}\right)\cdot\e^{2x+3}+4 \myint{\e^{2x+3}\cdot\sin\left(1-\textstyle\frac{x}{2}\right)}=\left| {\begin{array}{ll} u=\e^{2x+3} \a {v}'=\sin\left(1-\textstyle\frac{x}{2}\right) \\ {u}'=2\e^{2x+3}\a v=2\cos\left(1-\textstyle\frac{x}{2}\right) \\ \end{array}} \right|= \] \begin{equation}\label{pp2} =-2\sin\left(1-\textstyle\frac{x}{2}\right)\cdot\e^{2x+3}+8\cos\left(1-\textstyle\frac{x}{2}\right)\cdot\e^{2x+3}- 16\myint{\e^{2x+3}\cdot\cos\left(1-\textstyle\frac{x}{2}\right)}. \end{equation} Namiesto určenia zadaného integrálu sme ten istý integrál znovu dostali aj na druhej strane. Zdanlivo nám to nepomohlo. Avšak z rovnosti \eqref{pp2} môžeme integrál vyjadriť tak, že ho prehodíme na ľavú stranu. Pritom je potrebné na pravej strane pridať integračnú konštantu, napríklad \(17C\). Dostávame \[ \myint{\e^{2x+3}\cdot\cos\left(1-\textstyle\frac{x}{2}\right)}= \left[\textstyle\frac{8}{17}\cos\left(1-\textstyle\frac{x}{2}\right)- \textstyle\frac{2}{17}\sin\left(1-\textstyle\frac{x}{2}\right)\right]\cdot\e^{2x+3}+C. \]

   Zobraziť riešenieSkryť riešenie

Doplňujúce úlohy

Úloha: Vypočítajte neurčité integrály:
1. \(\myint{ (5x^5+6x^2-7x+12)}\).
   Výsledok: \(\frac{5}{6}x^6+2x^3-\frac{7}{2}x^2+12x+C\)

   Zobraziť výsledokSkryť výsledok
2. \(\myint{\left( {\frac{1}{3}\cdot x^4+\frac{x^2}{2}+\frac{3}{5}} \right)}\).
   Výsledok: \(\frac{1}{15}x^5+\frac{1}{6}x^3+\frac{3}{5}x+C\)

   Zobraziť výsledokSkryť výsledok
3. \(\myint{\left( {\frac{2}{x}-\frac{3}{x^2}+\frac{2}{3x^3}} \right)}\).
   Výsledok: \(2\ln \left| x \right|+\frac{3}{x}-\frac{1}{3x^2}+C\)

   Zobraziť výsledokSkryť výsledok
4. \(\myint{\left( {\sqrt {x^3} +2\sqrt x -3\sqrt[4]{x^5}} \right)}\).
   Výsledok: \(\frac{2}{5}\sqrt {x^5} +\frac{4}{3}\sqrt {x^3} -\frac{4}{3}\sqrt[4]{x^9}+C\)

   Zobraziť výsledokSkryť výsledok
5. \(\myint{\left( {\frac{1}{3}\sqrt[3]{x^2}+3x^2\cdot \sqrt x } \right)}\).
   Výsledok: \(\frac{1}{5}\sqrt[3]{x^5}+\frac{6}{7}\sqrt {x^7} +C \)

   Zobraziť výsledokSkryť výsledok
6. \(\myint{\left( {\frac{x^2}{\sqrt x }-\frac{\sqrt x }{\sqrt[3]{x}}} \right)}\).
   Výsledok: \(\frac{2}{5}\sqrt {x^5} -\frac{6}{7}\sqrt[6]{x^7}+C\)

   Zobraziť výsledokSkryť výsledok
7. \(\myint{\left( {5e^x-\sqrt 3 \cdot x^5+\frac{3}{1-x^2}} \right)}\).
   Výsledok: \(5e^x-\frac{\sqrt 3 }{6}x^6+\frac{3}{2}\mbox{ln}\left| {\frac{\mbox{1}+x}{\mbox{1-}x}} \right|+C \)

   Zobraziť výsledokSkryť výsledok
8. \(\myint{x\left( {x+1} \right)\left( {x-2} \right)}\).
   Výsledok: \(\frac{1}{4}x^4-\frac{1}{3}x^3-x^2+C \)

   Zobraziť výsledokSkryť výsledok
9. \(\myint{\left( {3\sqrt x -2x} \right)^2}\).
   Výsledok: \(\frac{9}{2}x^2-\frac{24}{5}\sqrt {x^5} +\frac{4}{3}x^3+C \)

   Zobraziť výsledokSkryť výsledok
10. \(\myint{\frac{\left( {x+1} \right)^2}{x^3}}\).
    Výsledok: \(\ln \left| x \right|-\frac{2}{x}-\frac{1}{2x^2}+C \)

    Zobraziť výsledokSkryť výsledok
11. \(\myint{\frac{\sqrt[3]{x}-2\sqrt x +x^2-2}{x^2}}\).
    Výsledok: \(-\frac{3}{2\sqrt[3]{x^2}}+\frac{4}{\sqrt x }+x+\frac{2}{x}+C \)

    Zobraziť výsledokSkryť výsledok
12. \(\myint{\frac{x^2-5x+6}{x-2}}\).
    Výsledok: \(\frac{1}{2}x^2-3x+C\)

    Zobraziť výsledokSkryť výsledok
13. \(\myint{\frac{x^3-1}{x-1}}\).
    Výsledok: \(\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2+x+C \)

    Zobraziť výsledokSkryť výsledok
14. \(\myint{\mathrm{e}^x\left( 2-\frac{\mathrm{e}^{-x}}{x}\right)}\).
    Výsledok: \(2\,\mathrm{e}^x-\ln \left| x \right|+C\)

    Zobraziť výsledokSkryť výsledok
15. \(\myint{\frac{5}{8x^2-32}}\).
    Výsledok: \(\frac{5}{32}\ln \left| {\frac{2-x}{2+x}} \right|+C \)

    Zobraziť výsledokSkryť výsledok
16. \(\myint{\frac{3}{9-3x^2}}\).
    Výsledok: \(\frac{1}{2\sqrt 3 }\ln \left| {\frac{\sqrt 3 +x}{\sqrt 3 -x}} \right|+C \)

    Zobraziť výsledokSkryť výsledok
17. \(\myint{\frac{x^2}{x^3+1}}\).
    Výsledok: \(\frac{1}{3}\ln \left| {x^3+1} \right|+C\)

    Zobraziť výsledokSkryť výsledok
18. \(\myint{\frac{\mathrm{e}^x}{3+\mathrm{e}^x}}\).
    Výsledok: \(\ln \left| {3+\mathrm{e}^x} \right|+C\)

    Zobraziť výsledokSkryť výsledok
19. \(\myint{\frac{1}{x\left(4+\ln x\right)}}\).
    Výsledok: \(\ln \left| {4+\ln x} \right|+C \)

    Zobraziť výsledokSkryť výsledok
20. \(\myint{\cotg x}\).
    Výsledok: \(\ln \left| {\sin x} \right|+C\)

    Zobraziť výsledokSkryť výsledok
21. \(\myint{\frac{1}{\arcsin x \cdot\sqrt {\strut 1-x^2} }}\).
    Výsledok: \(\ln \left| {\arcsin x} \right|+C \)

    Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha: Pomocou substitúcií vypočítajte neurčité integrály:
1. \(\myint{\left(4x-2\right)^{13}}\).
   Výsledok: \(\frac{1}{56}\left( {4x-2} \right)^{14}+C\)

   Zobraziť výsledokSkryť výsledok
2. \(\myint{\frac{2}{\left( {x+17} \right)^5}}\).
   Výsledok: \(-\frac{1}{2\left( {x+17} \right)^4}+C \)

   Zobraziť výsledokSkryť výsledok
3. \(\myint{\sqrt {3x-2}}\).
   Výsledok: \(\frac{2}{9}\sqrt {\left( {3x-2} \right)^3} +C\)

   Zobraziť výsledokSkryť výsledok
4. \(\myint{\sqrt[3]{\left( {2x+1} \right)^4}}\).
   Výsledok: \(\frac{3}{14}\sqrt[3]{\left( {2x+1} \right)^7}+C \)

   Zobraziť výsledokSkryť výsledok
5. \(\myint{\frac{1}{\sqrt {2-5x} }}\).
   Výsledok: \(-\frac{2}{5}\sqrt {2-5x} +C\)

   Zobraziť výsledokSkryť výsledok
6. \(\myint{x^2\cdot \,\left( {x^3+4} \right)^6}\).
   Výsledok: \(\frac{1}{21}\left( {x^3+4} \right)^7+C \)

   Zobraziť výsledokSkryť výsledok
7. \(\myint{x\,\cdot \sqrt {x^2+5}}\).
   Výsledok: \(\frac{1}{3}\sqrt {\left( {x^2+5} \right)^3} +C\)

   Zobraziť výsledokSkryť výsledok
8. \(\myint{x^2\cdot \sqrt[6]{x^3+2}}\).
   Výsledok: \(\frac{2}{7}\sqrt[6]{\left( {x^3+2} \right)^7}+C\)

   Zobraziť výsledokSkryť výsledok
9. \(\myint{\frac{x}{\sqrt {4-5x^2}}}\).
   Výsledok: \(-\frac{1}{5}\sqrt {4-5x^2} +C\)

   Zobraziť výsledokSkryť výsledok
10. \(\myint{\mathrm{e}^{4x}}\).
    Výsledok: \(\frac{1}{4}\cdot \mathrm{e}^{4x}+C \)

    Zobraziť výsledokSkryť výsledok
11. \(\myint{\mathrm{e}^{\frac{x}{3}}}\).
    Výsledok: \(3\mathrm{e}^{\frac{x}{3}}+C\)

    Zobraziť výsledokSkryť výsledok
12. \(\myint{x\,\mathrm{e}^{1+x^2}}\).
    Výsledok: \(\frac{1}{2}\mathrm{e}^{1+x^2}+C \)

    Zobraziť výsledokSkryť výsledok
13. \(\myint{5x^2\,\mathrm{e}^{x^3-2}}\).
    Výsledok: \(\frac{5}{3}\mathrm{e}^{x^3-2}+C\)

    Zobraziť výsledokSkryť výsledok
14. \(\myint{\frac{\mathrm{e}^{1+\sqrt x }}{\sqrt x }}\).
    Výsledok: \(2\mathrm{e}^{1+\sqrt x }+C \)

    Zobraziť výsledokSkryť výsledok
15. \(\myint{\frac{dx}{x\,\left( {3+\ln x} \right)^2}}\).
    Výsledok: \(-\frac{1}{3+\ln x}+C\)

    Zobraziť výsledokSkryť výsledok
16. \(\myint{\frac{\sqrt {2+\ln x} }{x}}\).
    Výsledok: \(\frac{2}{3}\sqrt {\left( {2+\ln x} \right)^3} +C\)

    Zobraziť výsledokSkryť výsledok
17. \(\myint{\frac{\ln x-2}{x\sqrt {\ln x} }}\).
    Výsledok: \(\frac{2}{3}\sqrt {\ln^3x} -4\sqrt {\ln x} +C\)

    Zobraziť výsledokSkryť výsledok
18. \(\myint{\frac{\ln x}{x}\cdot\mathrm{e}^{\,\ln^2x-1}}\).
    Výsledok: \(\frac{1}{2}\,\mathrm{e}^{\,\ln^2x-1}+C\)

    Zobraziť výsledokSkryť výsledok
19. \(\myint{\frac{\ln \left( {\arctg x} \right)}{\left( {1+x^2} \right)\,\arctg x}}\).
    Výsledok: \(\frac{\ln ^2(\arctg x)}{2}+C\)

    Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha: Pomocou metódy per partes vypočítajte neurčité integrály:
1. \(\myint{\left( {3x-1} \right)\,\mathrm{e}^x}\).
   Výsledok: \(\left( {3x-1} \right)\mathrm{e}^x-3\mathrm{e}^x+C\)

   Zobraziť výsledokSkryť výsledok
2. \(\myint{\left( {3x+1} \right)\,\mathrm{e}^{3x}}\).
   Výsledok: \(\frac{1}{3}\left( {3x+1} \right)\mathrm{e}^{3x}-\frac{1}{3}\mathrm{e}^{3x}+C \)

   Zobraziť výsledokSkryť výsledok
3. \(\myint{\left( {2x+3} \right)\,\mathrm{e}^{\frac{x}{4}}}\).
   Výsledok: \(\left( {8x+12} \right)\mathrm{e}^{\frac{x}{4}}-32\mathrm{e}^{\frac{x}{4}}+C\)

   Zobraziť výsledokSkryť výsledok
4. \(\myint{\left( {x^2-4x} \right)\cdot\mathrm{e}^x}\).
   Výsledok: \(\left( {x^2-6x+6} \right)\,\,\mathrm{e}^x+C\)

   Zobraziť výsledokSkryť výsledok
5. \(\myint{\left( {3x-4} \right)\cdot\sin x}\).
   Výsledok: \(\left( {4-3x} \right)\cos x+3\sin x+C\)

   Zobraziť výsledokSkryť výsledok
6. \(\myint{\left( {x-3} \right)\,\cos (4x)}\).
   Výsledok: \(\frac{1}{4}\left( {x-3} \right)\sin (4x)+\frac{1}{4}\cos (4x)+C\)

   Zobraziť výsledokSkryť výsledok
7. \(\myint{\left( {3-x} \right)\,\sin \frac{x}{2}}\).
   Výsledok: \(\left( {2x-6} \right)\cos \frac{x}{2}-4\sin \frac{x}{2}+C\)

   Zobraziť výsledokSkryť výsledok
8. \(\myint{\left( {x^2+1} \right)\,\sin x}\).
   Výsledok: \(-\left( {x^2+1} \right)\cos x+2x\sin x+2\cos x+C \)

   Zobraziť výsledokSkryť výsledok
9. \(\myint{\ln x}\).
   Výsledok: \(x\cdot\ln x-x+C\)

   Zobraziť výsledokSkryť výsledok
10. \(\myint{x^2\cdot\ln x}\).
    Výsledok: \(\frac{1}{3}\,x^3\,\ln x-\frac{1}{9}x^3+C\)

    Zobraziť výsledokSkryť výsledok
11. \(\myint{x\cdot\arctg x}\).
    Výsledok: \(\frac{1}{2}\left( x^2+1 \right)\arctg x-\frac{x}{2}+C\)

    Zobraziť výsledokSkryť výsledok
12. \(\myint{x^2\cdot\arctg x}\).
    Výsledok: \(\frac{x^3}{3}\,\arctg x-\frac{x^2}{6}+\frac{1}{6}\ln \left( {1+x^2} \right)+C\)

    Zobraziť výsledokSkryť výsledok
13. \(\myint{\arcsin x}\).
    Výsledok: \(x\arcsin x+\sqrt {1-x^2} +C \)

    Zobraziť výsledokSkryť výsledok
14. \(\myint{x\cdot\ln ^2x }\).
    Výsledok: \(\frac{1}{2}x^2\left( {\ln ^2x-\ln x+\frac{1}{2}} \right)+C\)

    Zobraziť výsledokSkryť výsledok
15. \(\myint{x\cdot\ln \left( {x^2+3} \right) }\).
    Výsledok: \(\frac{1}{2}\left( {x^2+3} \right)\,\left[ {\ln \left( {x^2+3} \right)-1} \right]+C \)

    Zobraziť výsledokSkryť výsledok
16. \(\myint{\frac{\ln x}{x^2} }\).
    Výsledok: \(-\frac{1}{x}\ln x-\frac{1}{x}+C\)

    Zobraziť výsledokSkryť výsledok

Doplňujúce zdroje

1. Stránka predmetu Matematika 1 .
2. Džurina, Grinčová, Pirč: Úvod do predmetu Matematika 1 .
3. Baculíková, Grinčová: Matematika 1. Vzorové a neriešené úlohy .