Matice a determinanty

Ciele

1. Precvičiť určovanie lineárnej nezávislosti vektorov.
2. Precvičiť operácie s maticami.
3. Vysvetliť a precvičiť určovanie hodnosti matice.
4. Precvičiť výpočet deterninantu štvorcovej matice.
5. Precvičiť výpočet inverznej matice k regulárnej matici.
6. Precvičiť riešenie maticových rovníc pomocou inverznej matice.
7. Uviesť aplikácie determinantu a precvičiť ich využitie.

Úvod

Matice sú prostriedkom na zjednodušenie zápisu niektorých úloh. Sústavy lineárnych rovníc môžeme zjednodušene zapísať v maticovom tvare. Od vzťahu medzi hodnosťou matice a rozšírenej matice sústavy závisí počet riešení sústavy. Determinant matice sústavy nám dáva odpoveď na otázku, či má sústava práve jedno riešenie. Taktiež pre riešenie sústavy lineárnych rovníc pomocou Cramerovho pravidla sú potrebné determimanty. Inverzné matice slúžia na riešenie maticových rovníc, v špeciálnom prípade sa jedná o riešenie sústavy lineárnych rovníc pomocou inverznej matice.

Postup

1. Operácie s vektormi, lineárna kombinácia, zisťovanie lineárnej nezávislosti vektorov.

   Príklad: \(\def\a{&}\)\(\def\hod{{\rm h}}\) Utvorme lineárnu kombináciu vektorov \(\alpha \,\overline{x}_1+ \beta \, \overline{x}_2+ \gamma \, \overline{x}_3\), ak \[\overline{x}_1=(1,2,3),\ \overline{x}_2=(2,-1,1),\ \overline{x}_3=(1,7,9)\] pre \(\alpha =2,\ \beta =-3\) a \(\gamma =1\).

   Riešenie: \(\alpha \,\overline{x}_1+ \beta \, \overline{x}_2+ \gamma \, \overline{x}_3=2(1,2,3)-3(2,\!-1,1)+1(1,7,9)\!=\!(2,4,6)-(6,\!-3,3)+(1,7,9)\!=\\(\!-3,14,12).\)

   Zobraziť riešenieSkryť riešenie

   Príklad: Zistime, či sú vektory \(\overline{x}_1\), \(\overline{x}_2\) a \(\overline{x}_3\) lineárne závislé alebo nezávislé, ak
   a) \( \overline{x}_1=(1,2,3),\ \overline{x}_2=(2,-1,1),\ \overline{x}_3=(1,7,9).\)
   b) \( \overline{x}_1=(1,2,3),\ \overline{x}_2=(2,-1,1),\ \overline{x}_3=(1,7,8).\)

   Riešenie:
   a) Utvoríme lineárnu kombináciu \(\alpha \, \overline{x}_1+ \beta\, \overline{x}_2+ \gamma \, \overline{x}_3\). Vektory \(\overline{x}_1,\overline{x}_2,\,\overline{x}_3\) sú lineárne nezávislé, keď má rovnica \(\alpha \overline{x}_1+ \beta \overline{x}_2+ \gamma \overline{x}_3=\overline{0}\) len triviálne (nulové) riešenie. Prepisom rovnice \[ \alpha (1,2,3)+ \beta (2,-1,1)+ \gamma (1,7,9)= (0,0,0) \] dostávame sústavu lineárnych rovníc \[ \begin{array}{rrrrrrl} \alpha \a+\a2\beta \a+\a \gamma \a=\a0\\ 2\alpha\a-\a\beta \a+\a7\gamma \a=\a0\\ 3\alpha \a+\a\beta \a+\a9\gamma \a=\a0. \end{array} \] Z prvej rovnice vyjadríme \(\alpha=-2\beta-\gamma\) a dosadíme za \(\alpha\) do druhej a tretej rovnice. Po úprave dostaneme sústavu \[ \begin{array}{rrrrl} -5\beta \a+\a 5\gamma \a=\a0\\ -5\beta \a+\a6\gamma \a=\a0. \end{array} \] Odčítaním rovníc dostaneme \(\gamma=0\). Dosadením do prvej rovnice máme \(\beta=0\) a dosadením do vyjadrenia premennej \(\alpha\) dostávame \(\alpha=0\). Sústava má jediné riešenie \(\alpha=0\), \(\beta=0\) a \(\gamma=0\). Z toho vyplýva, že vektory \(\overline{x}_1,\,\overline{x}_2,\, \overline{x}_3\) sú lineárne nezávislé.
   b) Analogickým postupom ako v predošlom príklade riešime sústavu \[ \begin{array}{rrrrrrl} \alpha \a+\a2\beta \a+\a \gamma \a=\a0\\ 2\alpha\a-\a\beta \a+\a7\gamma \a=\a0\\ 3\alpha \a+\a\beta \a+\a8\gamma \a=\a0. \end{array} \] Po dosadení za \(\alpha \) do druhej a tretej rovnice dostaneme sústavu \[ \begin{array}{rrrrl} -5\beta \a+\a 5\gamma \a=\a0\\ -5\beta \a+\a5\gamma \a=\a0. \end{array} \] Dostali sme dve rovnaké rovnice,teda sústava má nekonečne veľa riešení. Ak zvolíme napr. \(\gamma=1\), tak \( \beta=1,\,\alpha=-3\). Keďže existuje netriviálna lineárna kombinácia, ktorá sa rovná nulovému vektoru, vektory \(\overline{x}_1,\,\overline{x}_2,\, \overline{x}_3\) sú lineárne závislé.

   Zobraziť riešenieSkryť riešenie
2. Operácie s maticami.

   Príklad: Pre matice \[ A=\left[\begin{array}{rrr} 2\a0\a-1\\3\a2\a0 \end{array}\right] ,\qquad B=\left[\begin{array}{rrr} 5\a 2\a 1\\1\a 0\a -1\\ 0\a 2\a 3\\ \end{array}\right] ,\qquad C=\left[\begin{array}{rrr} 0\a2\a1\\-1\a0\a4 \end{array}\right] \] vypočítajme \[ \begin{array}{lclcl} a)\ 2A-B,\a\phantom{duchduch}\a b)\ 3A+2C,\a\phantom{duchduch}\a c)\ A\cdot B,\\ d)\ B\cdot A,\a\a e)\ B^2,\a\a f)\ A^\top. \end{array} \]

   Riešenie:
   a)Najprv vypočítame matice \(2A,\,-B\). Dostávame \[ 2A=2\left[\begin{array}{rrr} 2\a0\a-1\\3\a2\a0 \end{array}\right] =\left[\begin{array}{rrr} 4\a0\a-2\\6\a4\a0 \end{array}\right]. \] \[ -B=-\left[\begin{array}{rrr} 5\a2\a1\\1\a0\a-1\\ 0\a2\a3 \end{array}\right] =\left[\begin{array}{rrr} -5\a-2\a-1\\-1\a0\a1\\ 0\a-2\a-3 \end{array}\right]. \] Keďže sčítavať môžme len matice rovnakého rozmeru, matica \(2A-B\) neexistuje.
   b) Na rozdiel od predchádzajúceho príkladu sú v tomto prípade obe matice rovnakého rozmeru, čiže všetky operácie môžeme uskutočniť. \[ 3A+2C=3\left[\begin{array}{rrr} 2\a0\a-1\\3\a2\a0 \end{array}\right] +2\left[\begin{array}{rrr} 0\a2\a1\\-1\a0\a4 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{rrr} 6\a4\a-1\\7\a6\a8 \end{array}\right]. \]
   c) Podmienkou existencie súčinu dvoch matíc je, aby počet stĺpcov prvej matice bol rovný počtu riadkov druhej matice. Keďže pre \(C=A \cdot B\) je \[c_{ij}=\sum_{k}a_{ik} \cdot b_{kj}\] dostávame \[ A\cdot B=\left[\begin{array}{rrr} 2\a0\a-1\\3\a2\a0 \end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{rrr} 5\a2\a1\\1\a0\a-1\\ 0\a2\a3 \end{array}\right]= \] \[ =\left[\begin{array}{rrr} 2\!\cdot \! 5+0\! \cdot \! 1-1\!\cdot \! 0,\a2\!\cdot \! 2+0\!\cdot \! 0-1\!\cdot \! 2,\a2\!\cdot \! 1+0\!\cdot \!(-1)-1\!\cdot \! 3\\ 3\!\cdot \! 5+2\!\cdot \! 1+0\!\cdot \! 0,\a3\!\cdot \! 2+2\!\cdot \! 0+0\!\cdot \! 2,\a3\!\cdot \! 1+2\!\cdot \! (-1)+0\!\cdot \! 3 \end{array}\right]= \left[\begin{array}{rrr} 10\a2\a-1\\17\a6\a1 \end{array}\right]. \]
   d) Počet stĺpcov matice \(B\) sa nerovná počtu riadkov matice \(A\), teda \(B\cdot A\) neexistuje.
   e)\[ B^{2}=B\cdot B=\left[\begin{array}{rrr} 5\a2\a1\\1\a0\a-1\\ 0\a2\a3 \end{array}\right]\cdot\left[\begin{array}{rrr} 5\a2\a1\\1\a0\a-1\\ 0\a2\a3 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{rrr} 27\a12\a6\\5\a0\a-2\\ 2\a6\a7 \end{array}\right] . \]
   f) Transponovaná matica k danej matici vzniká zámenou riadkov a stĺpcov. Z prvého riadku sa tak stáva prvý stĺpec a naopak, atď. \[ A^\top=\left[\begin{array}{rrr} 2\a0\a-1\\3\a2\a0 \end{array}\right]^\top = \left[\begin{array}{rr} 2\a3\\0\a2\\-1\a0 \end{array}\right]. \]

   Zobraziť riešenieSkryť riešenie
3. Určovanie hodnosti matice.

   Príklad: Určme hodnosť matice \[ A=\left[\begin{array}{rrrr} 2\a1\a3\a-1\\3\a-1\a2\a0\\1\a3\a4\a-2\\4\a-3\a1\a1 \end{array}\right]. \]

   Riešenie: Pomocou ekvivalentných riadkových (stĺpcových) úprav nájdeme ekvivalentnú stupňovitú maticu. Príslušné úpravy budeme graficky značiť do riadkov (resp. stĺpcov) za (resp. pod) upravovanú maticu. Teda \(\leftrightarrows\) v prvom a treťom riadku znamená napríklad, že sa tieto riadky navzájom vymenia. Symbol \(-3R_{1}\) za druhým riadkom znamená, že sme od druhého riadku odpočítali trojnásobok prvého riadku, atď. Výpočet končí, keď má matica stupňovitý tvar. \[ A=\left[\begin{array}{rrrr} 2\a1\a3\a-1\\3\a-1\a2\a0\\1\a3\a4\a-2\\4\a-3\a1\a1 \end{array}\right]\begin{array}{r} \leftrightarrows\\\phantom{1}\\\leftrightarrows\\\phantom{1} \end{array} \sim \left[\begin{array}{rrrr} 1\a3\a4\a-2\\3\a-1\a2\a0\\2\a1\a3\a-1\\4\a-3\a1\a1 \end{array}\right]\begin{array}{r} \phantom{1}\\-3R_{1}\\-2R_{1}\\-4R_{1} \end{array} \sim \left[\begin{array}{rrrr} 1\a3\a4\a-2\\0\a-10\a-10\a6\\0\a-5\a-5\a3\\0\a-15\a-15\a9 \end{array}\right]\begin{array}{r} \phantom{1}\\\leftrightarrows\\\leftrightarrows\\\phantom{1} \end{array}\sim\] \[\sim \left[\begin{array}{rrrr} 1\a3\a4\a-2\\0\a-5\a-5\a3\\0\a-10\a-10\a6\\0\a-15\a-15\a9 \end{array}\right]\begin{array}{r} \phantom{1}\\\phantom{1}\\-2R_{2}\\-3R_{2} \end{array}\sim \left[\begin{array}{rrrr} 1\a3\a4\a-2\\0\a-5\a-5\a3\\0\a0\a0\a0\\0\a0\a0\a0 \end{array}\right]. \] Hodnosť matice je rovná počtu nenulových riadkov stupňovitej matice, t.j. \(\hod (A)=2\).

   Zobraziť riešenieSkryť riešenie

   Príklad: V závislosti na parametri \(\alpha\) určme hodnosť matice \[ A=\left[\begin{array}{rrrr} \alpha\a1\a0\a\alpha\\1\a\alpha\a\alpha\a0\\-1\a0\a0\a1\\0\a-1\a1\a0 \end{array}\right]. \]

   Riešenie: Pomocou ekvivalentných úprav prevedieme maticu na stupňovitý tvar a urobíme úplnú diskusiu riešenia vzhľadom na parameter \(\alpha\). \[ A=\left[\begin{array}{rrrr} \alpha\a1\a0\a\alpha\\1\a\alpha\a\alpha\a0\\-1\a0\a0\a1\\0\a-1\a1\a0 \end{array}\right]\begin{array}{l} \leftrightarrows\\\phantom{1}\\\leftrightarrows\\\phantom{1} \end{array} \sim \left[\begin{array}{rrrr} -1\a0\a0\a1\\1\a\alpha\a\alpha\a0\\\alpha\a1\a0\a\alpha\\0\a-1\a1\a0 \end{array}\right]\begin{array}{l} \phantom{1}\\+R_{1}\\+\alpha R_{1}\\\phantom{1} \end{array}\sim \] \[ \sim \left[\begin{array}{rrrr} -1\a0\a0\a1\\0\a\alpha\a\alpha\a1\\0\a1\a0\a2\alpha\\0\a-1\a1\a0 \end{array}\right]\begin{array}{l} \phantom{1}\\\leftrightarrows\\\phantom{1}\\\leftrightarrows \end{array}\sim \left[\begin{array}{rrrr} -1\a0\a0\a1\\0\a-1\a1\a0\\0\a1\a0\a2\alpha\\0\a\alpha\a\alpha\a1 \end{array}\right]\begin{array}{l} \phantom{1}\\\phantom{1}\\+R_{2}\\+\alpha R_{2} \end{array}\sim \] \[ \sim \left[\begin{array}{rrrr} -1\a0\a0\a1\\0\a-1\a1\a0\\0\a0\a1\a2\alpha\\0\a0\a2\alpha\a1 \end{array}\right]\begin{array}{l} \phantom{1}\\\phantom{1}\\\phantom{1}\\-2\alpha R_{3} \end{array}\sim \left[\begin{array}{rrrc} -1\a0\a0\a1\\0\a-1\a1\a0\\0\a0\a1\a2\alpha\\0\a0\a0\a1-4\alpha ^{2} \end{array}\right]. \] Hodnosť matice je 3 alebo 4 podľa toho, či je posledný riadok nulový. Keďže riešenie rovnice \(1-4\alpha^2=0\) je \(\alpha=\pm \frac{1}{2}\), dostávame
   I.\( \alpha =\pm \frac{1}{2}\Rightarrow \hod (A)=3\).
   II.\( \alpha \neq \pm \frac{1}{2}\Rightarrow \hod (A)=4\).

   Zobraziť riešenieSkryť riešenie

   Príklad: Zistime, či sú vektory lineárne závislé alebo nezávislé \[ \begin{array}{lll} \overline{x}_1\a=\a(2,3,-1,4)\\ \overline{x}_2\a=\a(3,0,2,-2)\\ \end{array} \hspace{10mm}\begin{array}{lll} \overline{x}_3\a=\a(5,3,1,3)\\ \overline{x}_4\a=\a(4,6,-2,7). \end{array} \]

   Riešenie: Vytvoríme maticu \(A\), ktorej riadky tvoria vektory \(\overline{x}_1, \overline{x}_2, \overline{x}_3, \overline{x}_4\). Pomocou ekvivalentných riadkových, resp. stĺpcových úprav upravujeme maticu na stupňovitý tvar. Ak hodnosť matice je menšia ako počet vektorov, sú vektory lineárne závislé. V opačnom prípade sú vektory lineárne nezávislé. \[ A= \left[\begin{array}{rrrr} 2\a3\a-1\a4\\3\a0\a2\a-2\\5\a3\a1\a3\\4\a6\a-2\a7 \end{array}\right]\begin{array}{r} -R_{2}\\\phantom{1}\\\phantom{1}\\\phantom{1} \end{array} \hspace{-3mm}\sim \left[\begin{array}{rrrr} -1\a3\a-3\a6\\3\a0\a2\a-2\\5\a3\a1\a3\\4\a6\a-2\a7 \end{array}\right]\begin{array}{r} \phantom{1}\\+3R_{1}\\+5R_{1}\\+4R_{1} \end{array}\sim \] \[ \sim \left[\begin{array}{rrrr} -1\a3\a-3\a6\\0\a9\a-7\a16\\0\a18\a-14\a33\\0\a18\a-14\a31 \end{array}\right]\begin{array}{r} \phantom{1}\\\phantom{1}\\-2R_{2}\\-2R_{2} \end{array} \sim \left[\begin{array}{rrrr} -1\a3\a-3\a6\\0\a9\a-7\a16\\0\a0\a0\a1\\0\a0\a0\a-1 \end{array}\right]\begin{array}{r} \phantom{1}\\\phantom{1}\\\phantom{1}\\+R_{3} \end{array}\sim \] \[ \sim \left[\begin{array}{rrrr} -1\a3\a-3\a6\\0\a9\a-7\a16\\0\a0\a0\a1\\0\a0\a0\a0 \end{array}\right]. \] Keďže \(\hod(A)=3\), vektory \(\overline{x}_1\), \( \overline{x}_2\), \(\overline{x}_3\) a \(\overline{x}_4\) sú lineárne závislé.

   Zobraziť riešenieSkryť riešenie
4. Výpočet determinanu štvorcovej matice.\(\def\det{{\rm det}}\) Determinant štvorcovej matice rádu \(n\)je číslo, ktoré označujeme \(\det\,A\) alebo \(|A|\) a definujeme nasledovne:
   
   1. Ak \(n=1\), tak \(\ \det\,A=a_{11}\).
   2. Nech \(A_{ij}\) je štvorcová matica rádu \( n-1\), ktorá vznikne z matice \(A\) vynechaním jej \(i\)-teho riadku a \(j\)-tého stĺpca. Potom pre štvorcovú maticu A platí: \begin{equation} \det\,A=a_{11}\det\,A_{11}-a_{12}\det\,A_{12}+\dots+(-1)^{n+1} \det\,A_{1n}. \end{equation}
   Pre \(n=2\) máme \[ \det A=a_{11}\det A_{11}-a_{12}\det A_{12}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} \] a pre \(n=3\) dostávame \[ \det A=a_{11}\det A_{11}-a_{12}\det A_{12}+a_{13}\det A_{13}=\] \[= a_{11}(a_{22}a_{33} -a_{23}a_{32})-a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}) +a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})=\] \[ =a_{11}a_{22}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}- a_{12}a_{21}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}. \]
   Determinanty druhého a tretieho stupňa môžeme počítať pomocou Sarusovho pravidla, ktoré bude vysvetlené v nasledujúcom príklade.

   Príklad: Vypočítajme determinanty matíc \[a)\ A=\left[\begin{array}{rr} 2\a3\\1\a4 \end{array}\right] ,\qquad b)\ B=\left[\begin{array}{rrr} 2\a3\a4\\1\a0\a2\\3\a1\a5 \end{array}\right], \] \[c)\ C=\left[\begin{array}{rrr} 1\a2\a3\\4\a5\a6\\7\a8\a9 \end{array}\right],\qquad d)\ D=\left[\begin{array}{rrrr} 0\a1\a1\a1\\1\a0\a1\a1\\1\a2\a3\a4\\4\a3\a1\a2 \end{array}\right]. \]

   Riešenie:
   a) Matica je stupňa 2, môžeme použiť krížové (Sarusovo) pravidlo, t.j. determinant sa rovná rozdielu súčinu prvkov na hlavnej diagonále a súčinu prvkov na vedľalšej diagonále. Dostávame \[ \left| A\right| =\left| \begin{array}{rr} 2\a3\\1\a4 \end{array}\right| =2\cdot 4-3\cdot 1=8-3=5. \] b) Matica je stupňa 3, môžeme opäť použiť krížové pravidlo. Ako pomôcku si podpíšeme prvé dva riadky. Výsledok bude pozostávať zo súčtu šiestich sčítancov. Prvý sčítanec vznikne súčinom prvkov na hlavnej diagonále. Pod ňou sa nachádzajú dve ďalšie "diagonály", súčinom prvkov na nich dostaneme druhý a tretí sčítanec (súčiny zľava). Podobným spôsobom vypočítame ďalšie členy, ak urobíme súčin prvkov na vedľajšej diagonále a "diagonálach" pod ňou (súčiny sprava). Súčiny zľava zoberieme so znamienkom plus a súčiny sprava so znamienkom mínus. \[ | B| =\left|\begin{array}{rrr} 2\a3\a4\\1\a0\a2\\3\a1\a5\\ 2\a3\a4\\1\a0\a2 \end{array}\right|= 2\!\cdot \! 0\!\cdot \! 5+1\!\cdot \! 1\!\cdot \! 4+3\!\cdot \! 3\!\cdot \! 2-(4\!\cdot \! 0\!\cdot \! 3+2\!\cdot \! 1\!\cdot \! 2+5\!\cdot \! 3\!\cdot \!1)=3 \] c) Podobným spôsobom vypočítame aj nasledujúci determinant. Výpočet si môžeme uľahčiť tým, že použijeme jednu z ekvivalentných úprav a síce vynásobíme tretí stĺpec \(\frac{1}{3}\). Keďže sa tým hodnota determinantu zníži na \(\frac{1}{3}\) pôvodnej hodnoty, musíme výsledok vynásobiť číslom 3. V skutočnosti teda vynímame spoločný deliteľ členov stĺpca pred determinant. \[ |C|=\left|\begin{array}{rrr} 1\a2\a3\\4\a5\a6\\7\a8\a9 \end{array}\right|=3\,\left|\begin{array}{rrr} 1\a2\a1\\4\a5\a2\\7\a8\a3\end{array}\right|=3(15+32+28-35-16-24)=0. \] d) Pre matice stupňa väčšieho ako 3 nemôžeme použiť krížové pravidlo. Použijeme ekvivalentné úpravy, aby sme dostali stĺpec (resp. riadok) s čo možno najväčším počtom núl. Následne urobíme rozvoj podľa daného stĺpca (resp. riadku). V našom prípade po odčítaní druhého riadku od tretieho a štvornásobku druhého riadku od štvrtého riadku, urobíme rozvoj podľa prvého stĺpca. Je v ňom jediný nenulový člen \(a_{21}=1\). Jeho pozícia určuje mocninu člena \((-1)\). Dostávame teda 1 krát \((-1)^{2+1}\) krát subdeterminant, ktorý vznikne vynechaním druhého riadku a prvého stĺpca. Ďalej pokračujeme krížovým pravidlom. \[ \left|D\right|=\left|\begin{array}{rrrr} 0\a1\a1\a1\\1\a0\a1\a1\\1\a2\a3\a4\\4\a3\a1\a2 \end{array}\right|\begin{array}{l} \phantom{1}\\\phantom{1}\\- R_{2}\\- 4R_{2} \end{array}= \left|\begin{array}{rrrr} 0\a1\a1\a1\\1\a0\a1\a1\\0\a2\a2\a3\\0\a3\a-3\a-2 \end{array}\right|=\] \[ =1\cdot (-1)^{1+2}\left|\begin{array}{rrr} 1\a1\a1\\2\a2\a3\\3\a-3\a-2 \end{array}\right|=-[-4-6+9-(6-9-4)]=-6. \]

   Zobraziť riešenieSkryť riešenie
5. Výpočet inverznej matice k regulárnej matici.

   Príklad: Vypočítajme inverznú maticu k matici \[ A=\left[\begin{array}{rr} 2\a3\\4\a5 \end{array}\right]. \]

   Riešenie: Determinant matice je rovný \(\left|A\right|=-2\ \), t.j. matica je regulárna a teda inverzná matica k nej existuje. Nájdeme ju pomocou adjungovanej matice. \[ A^{-1}=\frac{1}{\left|A\right|}\left[\begin{array}{rr} A_{11}\a A_{12}\\A_{21}\a A_{22}\end{array}\right]^\top, \] kde \(A_{ij}\) reprezentuje \((-1)^{i+j}\)-násobok subdeterminantu, ktorý vznikne vynechaním \(i\)-tého riadku a \(j\)-tého stĺpca v pôvodnej matici. \[ \begin{array}{lcl} A_{11}=(-1)^{1+1}a_{22}=5,\a \phantom{duchduch}\a A_{12}=(-1)^{1+2}a_{21}=-4,\\ A_{21}=(-1)^{2+1}a_{12}=-3,\a\a A_{22}=(-1)^{2+2}a_{11}=2. \end{array} \] Teda \[ A^{-1}=-\frac{1}{2}\left[\begin{array}{rr} 5\a-4\\-3\a2\end{array}\right]^\top= -\frac{1}{2}\left[\begin{array}{rr} 5\a-3\\-4\a2\end{array}\right]. \]

   Zobraziť riešenieSkryť riešenie

   Príklad: Vypočítajme inverznú maticu k matici \[ A=\left[\begin{array}{rrr} 1\a-4\a-3\\1\a-5\a-3\\-1\a6\a4 \end{array}\right]. \]

   Riešenie: Keďže determinant matice \(\left|A\right|=-1\ \), matica je regulárna. Analogicky ako v predchádzajúcom príklade nájdeme inverznú maticu pomocou adjungovanej matice. \[ {\small \begin{array}{lll} A_{11}=(-1)^{1+1}\left|\begin{array}{rr} -5\a-3\\6\a4\end{array}\right|=-2,\a A_{12}=(-1)^{1+2}\left|\begin{array}{rr} 1\a-3\\-1\a4\end{array}\right|=-1,\a A_{13}=(-1)^{1+3}\left|\begin{array}{rr} 1\a-5\\-1\a6\end{array}\right|=1,\\ A_{21}=(-1)^{2+1}\left|\begin{array}{rr} -4\a-3\\6\a4\end{array}\right|=-2,\a A_{22}=(-1)^{2+2}\left|\begin{array}{rr} 1\a-3\\-1\a4\end{array}\right|=1,\a A_{23}=(-1)^{2+3}\left|\begin{array}{rr} 1\a-4\\-1\a6\end{array}\right|=-2,\\ A_{31}=(-1)^{3+1}\left|\begin{array}{rr} -4\a-3\\-5\a-3\end{array}\right|=-3,\a A_{32}=(-1)^{3+2}\left|\begin{array}{rr} 1\a-3\\1\a-3\end{array}\right|=0,\a A_{33}=(-1)^{3+3}\left|\begin{array}{rr} 1\a-4\\1\a-5\end{array}\right|=-1. \end{array}} \] Teda \[ A^{-1}=-\frac{1}{1}\left[\begin{array}{rrr} -2\a-1\a1\\-2\a1\a-2\\-3\a0\a-1\end{array}\right]^\top\!=\! -\!\left[\begin{array}{rrr} -2\a-2\a-3\\-1\a1\a0\\1\a-2\a-1\end{array}\right]\!=\! \left[\begin{array}{rrr} 2\a2\a3\\1\a\!-1\a0\\\!-1\a2\a1\end{array}\right]. \]

   Zobraziť riešenieSkryť riešenie

   Príklad: Vypočítajme inverznú maticu k matici \[ A=\left[\begin{array}{rrrr} 2\a1\a1\a1\\3\a2\a1\a1\\4\a3\a2\a1\\5\a4\a3\a2 \end{array}\right]. \]

   Riešenie: Výpočet inverznej matice pomocou adjungovanej matice by znamenal vyčíslenie jedného determinantu stupňa 4 a 16 determinantov stupňa 3. Preto použijeme pre výpočet inverznej matice eliminačnú metódu. Napíšeme si blokovú maticu \((A|E)\ \), kde pred čiarou je umiestnená daná matica a za čiarou jednotková matica príslušného stupňa. Pomocou ekvivalentných riadkových operácií upravíme v prvej časti blokovú maticu na tvar, kde matica vľavo je jednotková matica. Dostaneme blokovú maticu \( (E|A^{-1}),\ \) teda vpravo bude inverzná matica. \[{\small (A|E)=\left[\begin{array}{rrrr|rrrr} 2\a1\a1\a1\a1\a0\a0\a0\\3\a2\a1\a1\a0\a1\a0\a0\\4\a3\a2\a1\a0\a0\a1\a0\\5\a4\a3\a2\a0\a0\a0\a1 \end{array}\right]\hspace{-2mm} \begin{array}{ll} -R_{2}\a\phantom{1}\\\a\phantom{1}\\\a\phantom{1}\\\a\phantom{1} \end{array}\hspace{-2mm}\sim \left[\begin{array}{rrrr|rrrr} -1\a-1\a0\a0\a1\a-1\a0\a0\\3\a2\a1\a1\a0\a1\a0\a0\\4\a3\a2\a1\a0\a0\a1\a0\\5\a4\a3\a2\a0\a0\a0\a1 \end{array}\right]\hspace{-2mm} \begin{array}{l} \phantom{1}\\+3R_{1}\\+4R_{1}\\+5R_{1}\a \end{array}\hspace{-2mm}\sim }\] \[{\small \left[\begin{array}{rrrr|rrrr} -1\a-1\a0\a0\a1\a-1\a0\a0\\0\a-1\a1\a1\a3\a-2\a0\a0\\0\a-1\a2\a1\a4\a-4\a1\a0\\0\a-1\a3\a2\a5\a-5\a0\a1 \end{array}\right]\hspace{-2mm} \begin{array}{l} \phantom{1}\\\phantom{1}\\-R_{2}\\-R_{2} \end{array}\hspace{-2mm}\sim \left[\begin{array}{rrrr|rrrr} -1\a-1\a0\a0\a1\a-1\a0\a0\\0\a-1\a1\a1\a3\a-2\a0\a0\\0\a0\a1\a0\a1\a-2\a1\a0\\0\a0\a2\a1\a2\a-3\a0\a1 \end{array}\right]\hspace{-4mm} \begin{array}{l} \phantom{1}\\\phantom{1}\\\phantom{1}\\ -2R_3 \end{array}\hspace{-2mm}\sim} \] \[{\small \left[\begin{array}{rrrr|rrrr} -1\a-1\a0\a0\a1\a-1\a0\a0\\0\a-1\a1\a1\a3\a-2\a0\a0\\0\a0\a1\a0\a1\a-2\a1\a0\\0\a0\a0\a1\a0\a1\a-2\a1 \end{array}\right]\hspace{-2mm} \begin{array}{ll} \a\\-R_{4}\a\\\a\\\a \end{array}\hspace{-2mm}\sim \left[\begin{array}{rrrr|rrrr} -1\a-1\a0\a0\a1\a-1\a0\a0\\0\a-1\a1\a0\a3\a-3\a2\a-1\\0\a0\a1\a0\a1\a-2\a1\a0\\0\a0\a0\a1\a0\a1\a-2\a1 \end{array}\right]\hspace{-2mm} \begin{array}{l} \phantom{1}\\-R_{3}\\\phantom{1}\\\phantom{1} \end{array}\hspace{-2mm}\sim}\] \({\small \left[\begin{array}{rrrr|rrrr} -1\a-1\a0\a0\a1\a-1\a0\a0\\0\a-1\a0\a0\a2\a-1\a1\a-1\\0\a0\a1\a0\a1\a-2\a1\a0\\0\a0\a0\a1\a0\a1\a-2\a1 \end{array}\right]\hspace{-2mm}} {\small \begin{array}{l} -R_{2}\\ \phantom{1}\\\phantom{1}\\\phantom{1} \end{array}\hspace{-2mm}\sim \left[\begin{array}{rrrr|rrrr} -1\a0\a0\a0\a-1\a0\a-1\a1\\0\a-1\a0\a0\a2\a-1\a1\a-1\\0\a0\a1\a0\a1\a-2\a1\a0\\0\a0\a0\a1\a0\a1\a-2\a1 \end{array}\right]\hspace{-2mm} \begin{array}{l} .(-1)\\.(-1)\\\phantom{1}\\\phantom{1} \end{array}\hspace{-2mm}\sim}\) \[{\small \left[\begin{array}{rrrr|rrrr} 1\a0\a0\a0\a1\a0\a1\a-1\\0\a1\a0\a0\a-2\a1\a-1\a1\\0\a0\a1\a0\a1\a-2\a1\a0\\0\a0\a0\a1\a0\a1\a-2\a1 \end{array}\right].} \] Teda \[ D^{-1}= \left[\begin{array}{rrrr} 1\a0\a1\a-1\\-2\a1\a-1\a1\\1\a-2\a1\a0\\0\a1\a-2\a1 \end{array}\right].\]

   Zobraziť riešenieSkryť riešenie
6. Riešenie maticových rovníc pomocou inverznej matice.

   Príklad: Pomocou inverznej matice riešme maticovú rovnicu \[ \left[\begin{array}{rr} 2\a2\\3\a-1 \end{array}\right] X\left[\begin{array}{rr} 3\a5\\0\a1 \end{array}\right]= \left[\begin{array}{rr} 1\a1\\1\a1 \end{array}\right]\]

   Riešenie: Danú maticovú rovnicu môžeme formálne zapísať v tvare \(A\cdot X\cdot B=C,\ \) kde \[ A=\left[\begin{array}{rr} 2\a2\\3\a-1 \end{array}\right],\hspace{1cm} B=\left[\begin{array}{rr} 3\a5\\0\a1 \end{array}\right] \hspace{5mm}\mbox{ a} \hspace{1cm} C=\left[\begin{array}{rr} 1\a1\\1\a1 \end{array}\right]. \] Pri výpočte využijeme fakt, že matice \(A\) a \(B\) sú regulárne, z čoho vyplýva, že k nim existujú inverzné matice. Ak teda rovnicu vynásobíme zľava maticou \(A^{-1}\) a sprava maticou \(B^{-1}\), dostávame \(A^{-1} \cdot A\cdot X\cdot B\cdot B^{-1}=A^{-1}\cdot C\cdot B^{-1}\ \) a odtiaľ \[X=A^{-1}\cdot C\cdot B^{-1}.\] Teda \[{\small X=\left[\begin{array}{rr} 2\a2\\3\a-1 \end{array}\right]^{-1}\cdot \left[\begin{array}{rr} 1\a1\\1\a1 \end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{rr} 3\a5\\0\a1 \end{array}\right]^{-1}= -\frac{1}{8}\left[\begin{array}{rr} -1\a-2\\-3\a2 \end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{rr} 1\a1\\1\a1 \end{array}\right]\cdot \frac{1}{3}\left[\begin{array}{rr} 1\a-5\\0\a3 \end{array}\right]= -\frac{1}{24}\left[\begin{array}{rr} -3\a6\\-1\a2 \end{array}\right].} \]

   Zobraziť riešenieSkryť riešenie

   Príklad: Pomocou inverznej matice riešme maticovú rovnicu \[ \left[\begin{array}{rrr} 1\a-4\a-3\\1\a-5\a-3\\-1\a6\a4 \end{array}\right]X- \left[\begin{array}{r} 1\\0\\1 \end{array}\right]= \left[\begin{array}{r} 0\\0\\0 \end{array}\right]. \]

   Riešenie: Danú maticovú rovnicu môžeme formálne zapísať v tvare \(A\cdot X-B=C\). Pripočítaním matice \(B\) k obom stranám rovnice dostávame \(AX=B+C\). Ďalej postupujeme analogicky ako v predchádzajúcom príklade, t.j. \(X=A^{-1}(B+C)\). \[{\small X=\left[\begin{array}{rrr} 1\a-4\a-3\\1\a-5\a-3\\-1\a6\a4 \end{array}\right]^{-1}\left( \left[\begin{array}{r} 1\\0\\1 \end{array}\right]+ \left[\begin{array}{r} 0\\0\\0 \end{array}\right]\right)= \left[\begin{array}{rrr} 1\a-4\a-3\\1\a-5\a-3\\-1\a6\a4 \end{array}\right]^{-1} \left[\begin{array}{r} 1\\0\\1 \end{array}\right]= \left[\begin{array}{rrr} 2\a2\a3\\1\a-1\a0\\-1\a2\a1 \end{array}\right] \left[\begin{array}{r} 1\\0\\1 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{r} 5\\1\\0 \end{array}\right].} \]

   Zobraziť riešenieSkryť riešenie
7. Aplikácie vo vektorovej algebre.

   Príklad: Nájdime vektor \(\overline{c}\), ktorý je kolmý k obidvom vektorom \(\overline{a},\)\(\overline{b}\), ak \(\overline{a}=(3,1,-2),\,\overline{b}=(6,2,-1)\).

   Riešenie: Vektor kolmý k dvom daným vektorom vieme nájsť ako vektorový súčin. Ak \(\overline{a}=(a_1,a_2,a_3),\) \(\overline{b}=(b_1,b_2,b_3),\ \) tak vektorový súčin nájdeme nasledovne: \[ \overline{a}\times\overline{b}= \begin{array}{|ccc|}\overline{i}\a\overline{j}\a\overline{k}\\a_1\a a_2\a a_3\\ b_1\a b_2\a b_3 \end{array}=\overline{i}\ \begin{array}{|rr|}a_2\a a_3\\b_2\a b_3 \end{array}-\overline{j}\ \begin{array}{|rr|}a_1\a a_3\\b_1\a b_3 \end{array}+\overline{k}\ \begin{array}{|rr|}a_1\a a_2\\b_1\a b_2\end{array}. \] V našej úlohe dostávame: \[ \overline{a}\times\overline{b}= \begin{array}{|ccc|}\overline{i}\a\overline{j}\a\overline{k}\\3\a 1\a -2\\6\a 2\a -1 \end{array}=\overline{i}\ \begin{array}{|rr|}1\a -2\\2\a -1 \end{array}-\overline{j}\ \begin{array}{|rr|}3\a -2\\6\a -1 \end{array}+\overline{k}\ \begin{array}{|rr|}3\a 1\\6\a 2\end{array}=3\overline{i}-9\overline{j}+0\overline{k} =(3,-9,0). \]

   Zobraziť riešenieSkryť riešenie

   Príklad: Vypočítajme obsah rovnobežníka \(ABCD\), ak \(A=(2,4,1),\ B=(3,-1,1),\ C=(1,0,5).\)

   Riešenie: Vypočítame vektory \(\overline{a}=\overline{AB}=(1,-5,0),\ \overline{b}=\overline{BC}=(-2,1,4).\ \) Pre obsah rovnobežníka platí \(P=|\overline{a}\times\overline{b}|\). Vektorový súčin vypočítame postupom uvedeným v predchádzajúcej úlohe, dostaneme \(\overline{a}\times\overline{b}=(-20,4,-9).\ \) Potom \(P=\sqrt{400+16+81}=\sqrt{497}\).

   Zobraziť riešenieSkryť riešenie

   Príklad: Vypočítajme objem štvorstena \(ABCD\), ak \(A=(1,3,1),\, B=(2,1,4),\, C=(3,1,0),\) \( D=(4,-3,5)\).

   Riešenie: Objem štvorstena vypočítame podľa vzorca \[V=\frac{1}{6}|\overline{a}.(\overline{b}\times\overline{c})|\,,\] kde \(\overline{a},\overline{b},\overline{c}\) sú vektory ľubovoľných troch susedných hrán. Číslo \(\overline{a}.(\overline{b}\times\overline{c})\) nazývame zmiešaným súčinom vektorov \(\overline{a},\,\overline{b},\,\overline{c}\) a platí \[ \overline{a}\cdot(\overline{b} \times\overline{c})= \begin{array}{|ccc|}a_1\a a_2\a a_3\\ b_1\a b_2\a b_3\\ c_1\a c_2\a c_3 \end{array}. \] Nech v našej úlohe \(\overline{a}=\overline{AB}=(1,-2,3),\ \overline{b}=\overline{AC}=(2,-2,-1),\ \overline{c}=\overline{AD}=(3,-6,4)\ \).
   Vypočítame zmiešaný súčin \[ \overline{a}.(\overline{b}\times\overline{c})= \begin{array}{|rrr|}1\a -2\a 3\ \\2\a -2\a -1\ \\3\a-6\a 4\ \end{array}=-10. \] Potom \(V=\frac{1}{6}|-10|=\frac{5}{3}\,\).

   Zobraziť riešenieSkryť riešenie

   Príklad: Objem štvorstena ABCD je \(V =3\). Tri jeho vrcholy sú \(A=(1,2,3),\ B=(-2,4,1),\ C=(6,2,1)\). Vypočítajme súradnice štvrtého vrchola \(D\), ktorý leží na osi \(o_x\).

   Riešenie: Označíme súradnice vrchola \(D=(d,0,0)\ \). Vypočítame vektory \(\overline{u}\!=\!\overline{AB}\!=\!(-3,2,-2)\), \(\overline{v}\!=\!\overline{AC}\!=\!(5,0,-2),\ \overline{w}\!=\!\overline{AD}\!=\!(d-1,-2,-3)\).
   Potom zmiešaný súčin sa rovná \[ \overline{u}.(\overline{v}\times\overline{w})= \begin{array}{|rrr|}-3\a2\a-2\ \\5\a0\a-2\ \\ \ d-1\a-2\a-3\ \end{array}=-4d+66. \] Po dosadení do vzťahu pre výpočet objemu štvorstena dostávame \(\frac{1}{6}|-4d+66|=3\ \). Táto rovnica s absolútnou hodnotou má dve riešenia:\(d_1=12\), \( d_2=21\). Zadaniu príkladu vyhovujú dva body: \(D_1=(12,0,0)\ \), \( D_2=(21,0,0).\)

   Zobraziť riešenieSkryť riešenie

Zdroje

1. M. Molnárová, H. Myšková: Úvod do lineárnej algebry
2. M. Bučko, J. Buša, Š. Schrotter: Lineárna algebra

Doplňujúce úlohy

Príklad: Dané sú matice \[ A=\left[\begin{array}{rrr} 2\a0\a-1\\3\a2\a0\\5\a-4\a2 \end{array}\right] ,\qquad B=\left[\begin{array}{rrr} 5\a 2\a 1\\1\a 0\a -1\\ 0\a 2\a 3\\ \end{array}\right]. \] Vypočítajte \(A\cdot B,\,B\cdot A.\)
Riešenie: \[{\small A\cdot B=\left[\begin{array}{rrr} 2\a0\a-1\\3\a2\a0\\5\a-4\a2 \end{array}\right]\cdot\left[\begin{array}{rrr} 5\a 2\a 1\\1\a 0\a -1\\ 0\a 2\a 3\\ \end{array}\right]=\left[\begin{array}{rrr} 10+0+0\a 4+0-2\a2+0-3\\15+2+0\a 6+0+0\a 3-2+0\\25-4+0\a10+0+4\a 5+4+6 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{rrr} 10\a 2\a -1\\17\a 6\a 1\\21\a14\a 15 \end{array}\right], } \] \[{\small B\cdot A=\left[\begin{array}{rrr} 5\a 2\a 1\\1\a 0\a -1\\ 0\a 2\a 3\\ \end{array}\right]\cdot\left[\begin{array}{rrr} 2\a0\a-1\\3\a2\a0\\5\a-4\a2 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{rrr} 10+6+3\a 0+4-4\a-5+0+2\\2+0-5\a 0+0+4\a -1+0-2\\0+6+15\a 0+4-12\a 0+0+6 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{rrr} 19\a 0\a -3\\-3\a 4\a -3\\21\a-8\a 6 \end{array}\right].} \] Vidíme, že \(A\cdot B\neq B\cdot A\), teda pre násobenie matíc neplatí komutatívny zákon.
Zobraziť riešenieSkryť riešenie
Príklad: Určte hodnosť matice \(A\), ak \[ A=\left[\begin{array}{rrr} 0\a2\a-4\\-1\a-4\a5\\3\a1\a7\\0\a5\a-10\\2\a3\a0 \end{array}\right]. \]
Riešenie: \[\left[\begin{array}{rrr} 0\a2\a-4\\-1\a-4\a5\\3\a1\a7\\0\a5\a-10\\2\a3\a0 \end{array}\right]\hspace{-2mm} \begin{array}{r} \leftrightarrows\\ \leftrightarrows\\ \\ \\ \ \end{array} \sim\left[\begin{array}{rrr} -1\a-4\a5\\ 0\a2\a-4\\3\a1\a7\\0\a5\a-10\\2\a3\a0 \end{array}\right]\hspace{-2mm} \begin{array}{r} \\ \\ +3R_1\\ \\ +2R_1 \end{array} \sim \left[\begin{array}{rrr} -1\a-4\a5\\ 0\a2\a-4\\0\a-11\a22\\0\a5\a -10\\0\a-5\a 10 \end{array}\right]\hspace{-2mm} \begin{array}{r} \\ :2\\ :11\\ :5\\ :5 \end{array}\sim \] \[ \sim \left[\begin{array}{rrr} -1\a-4\a5\\ 0\a1\a-2\\0\a-1\a2\\0\a1\a -2\\0\a-1\a 2 \end{array}\right]\hspace{-2mm} \begin{array}{r} \\ \\ +R_2\\ -R_2\\ +R_2 \end{array}\sim \left[\begin{array}{rrr} -1\a-4\a5\\ 0\a1\a-2\\0\a0\a0\\0\a0\a 0\\0\a0\a 0 \end{array}\right] \] Hodnosť matice je rovná počtu nenulových riadkov stupňovitej matice, t.j. \(\hod (A)=2\).
Zobraziť riešenieSkryť riešenie
Príklad: Určte hodnosť matice \(A\) v závislosti od parametra \(\alpha\), ak \[ A=\left[\begin{array}{rrrr} 1\a1\a-2\a3 \\0\a4\a2\a-3\\3\a\alpha \a-4\a12\\2\a-1\a0\a3 \end{array}\right]. \]
Riešenie: \[{\small \left[\begin{array}{rrrr} 1\a1\a-2\a3 \\0\a4\a2\a-3\\3\a\alpha \a-4\a12\\2\a-1\a0\a3 \end{array}\right]\hspace{-2mm} \begin{array}{r} \\ \\ -3R_1\\ -2R_1 \end{array}\sim \left[\begin{array}{rrrr} 1\a1\a-2\a3 \\0\a4\a2\a-3\\0\a\alpha -3\a 2\a 3\\0\a-3\a 4\a-3 \end{array}\right]\hspace{-2mm} \begin{array}{r} \\ +R_4\\ \\ \ \end{array}\sim \left[\begin{array}{rrrr} 1\a1\a-2\a3 \\0\a 1\a6 \a-6\\0\a\alpha -3\a 2\a 3\\0\a-3\a 4\a-3 \end{array}\right]\hspace{-2mm} \begin{array}{r} \\ \\ +(3-\alpha)R_2\\ +3R_2 \end{array}\sim} \] \[{\small\sim \left[\begin{array}{rrrr} 1\a1\a-2\a3 \\0\a 1\a6 \a-6\\0\a 0\a 20-6\alpha\a -15+6\alpha\\0\a0\a 22\a-21 \end{array}\right]\hspace{-2mm} \begin{array}{l} \\ \\ \cdot 22\\ \cdot(6\alpha-20) \end{array}\sim \left[\begin{array}{rrrr} 1\a1\a-2\a3 \\0\a 1\a6 \a-6\\0\a 0\a 440-132\alpha\a -330+132\alpha\\0\a0\a 132\alpha-440\a-126\alpha+420 \end{array}\right]\hspace{-2mm} \begin{array}{l} \\ \\ \\ +R_3 \end{array}\sim} \] \[{\small\sim \left[\begin{array}{rrrr} 1\a1\a-2\a3 \\0\a 1\a6 \a-6\\0\a 0\a 440-132\alpha\a -330+132\alpha\\0\a0\a 0\a-6\alpha+90 \end{array}\right].} \] Hodnosť matice sa rovná 3, ak je posledný riadok nulový, ináč sa rovná 4. Riešenie rovnice \(-6\alpha+90=0\) je \(\alpha=15\), teda
I. \(\alpha=15\Rightarrow\hod(A)=3,\)
II. \(\alpha\neq15\Rightarrow\hod(A)=4.\)
Zobraziť riešenieSkryť riešenie
Príklad: Pomocou inverznej matice riešme maticovú rovnicu \[ \left[\begin{array}{rr} 2\a2\\3\a-1 \end{array}\right] X\left[\begin{array}{rr} 3\a5\\0\a1 \end{array}\right]= \left[\begin{array}{rr} 1\a1\\1\a1 \end{array}\right]\]
Riešenie: Danú maticovú rovnicu môžeme formálne zapísať v tvare \(A\cdot X\cdot B=C\), kde \[ A=\left[\begin{array}{rr} 2\a2\\3\a-1 \end{array}\right],\hspace{1cm} B=\left[\begin{array}{rr} 3\a5\\0\a1 \end{array}\right] \hspace{5mm}\mbox{ a} \hspace{1cm} C=\left[\begin{array}{rr} 1\a1\\1\a1 \end{array}\right]. \] Pri výpočte využijeme fakt, že matice \(A\) a \(B\) sú regulárne, z čoho vyplýva, že k nim existujú inverzné matice. Ak teda rovnicu vynásobíme zľava maticou \(A^{-1}\) a sprava maticou \(B^{-1}\), dostávame \(A^{-1} \cdot A\cdot X\cdot B\cdot B^{-1}=A^{-1}\cdot C\cdot B^{-1}\) a odtiaľ \[X=A^{-1}\cdot C\cdot B^{-1}.\] Teda \[{\small X=\left[\begin{array}{rr} 2\a2\\3\a-1 \end{array}\right]^{-1}\cdot \left[\begin{array}{rr} 1\a1\\1\a1 \end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{rr} 3\a5\\0\a1 \end{array}\right]^{-1}= -\frac{1}{8}\left[\begin{array}{rr} -1\a-2\\-3\a2 \end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{rr} 1\a1\\1\a1 \end{array}\right]\cdot \frac{1}{3}\left[\begin{array}{rr} 1\a-5\\0\a3 \end{array}\right]= -\frac{1}{24}\left[\begin{array}{rr} -3\a6\\-1\a2 \end{array}\right].} \]
Zobraziť riešenieSkryť riešenie
Príklad: Pomocou inverznej matice riešme maticovú rovnicu \[ \left[\begin{array}{rrr} 1\a-4\a-3\\1\a-5\a-3\\-1\a6\a4 \end{array}\right]X- \left[\begin{array}{r} 1\\0\\1 \end{array}\right]= \left[\begin{array}{r} 0\\0\\0 \end{array}\right]. \]
Riešenie: Danú maticovú rovnicu môžeme formálne zapísať v tvare \(A\cdot X-B=C\). Pripočítaním matice \(B\) k obom stranám rovnice dostávame \(AX=B+C\). Ďalej postupujeme analogicky ako v predchádzajúcom príklade, t.j. \(X=A^{-1}(B+C)\). \[{\small X=\left[\begin{array}{rrr} 1\a-4\a-3\\1\a-5\a-3\\-1\a6\a4 \end{array}\right]^{-1}\left( \left[\begin{array}{r} 1\\0\\1 \end{array}\right]+ \left[\begin{array}{r} 0\\0\\0 \end{array}\right]\right)= \left[\begin{array}{rrr} 1\a-4\a-3\\1\a-5\a-3\\-1\a6\a4 \end{array}\right]^{-1} \left[\begin{array}{r} 1\\0\\1 \end{array}\right]= \left[\begin{array}{rrr} 2\a2\a3\\1\a-1\a0\\-1\a2\a1 \end{array}\right] \left[\begin{array}{r} 1\\0\\1 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{r} 5\\1\\0 \end{array}\right].} \]
Zobraziť riešenieSkryť riešenie
Príklad: V množine \(\mathbb{C}\) riešte rovnicu \[\left|\begin{array}{rrr} x\a0\a0\\0\a x-2\a4\\0\a-2\a x+2 \end{array}\right|=0\]
Riešenie: Vypočítame determinant pomocou Sarusovho pravidla. Dostávame \[D=x(x-2)(x+2)-4x(-2)=x^3-4x+8x=x^3+4x.\] Po dosadení do rovnice dostávame
\[x(x^2+4)=0\Leftrightarrow x_1=0,\, x_2=2i,\,x_3=-2i.\]
Zobraziť riešenieSkryť riešenie
Úloha: Vypočítajte vektor \(\overline{x}=\alpha \,\overline{x}_1+ \beta \, \overline{x}_2+ \gamma \, \overline{x}_3\), ak \[\overline{x}_1=(3,-1,0,2),\ \overline{x}_2=(2,0,3,1),\ \overline{x}_3=(-2,2,0,3)\] pre nasledujúce hodnoty \(\alpha,\,\beta,\, \gamma\)
a) \(\alpha =3,\ \beta =1,\ \gamma =-1,\)
b) \(\alpha =1,\ \beta =1,\ \gamma =0,\)
c) \(\alpha =2,\ \beta =0,\ \gamma =2,\)
d) \(\alpha =0,\ \beta =1,\ \gamma =1\).
Výsledok: \(a)\, \overline{x}=(13,-5,3,4),\quad b)\,\overline{x}=(2,2,0,10),\quad c) \,\overline{x}=(5,-1,3,3),\quad d) \,\overline{x}=(0,2,3,4). \)
Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha: Zistite, či sú lineárne závislé alebo nezávislé vektory \[ \overline{x}_1=(-2,1,0),\quad \overline{x}_2=(1,2,0),\quad \overline{x}_3=(-1,3,0). \]
Výsledok: lineárne závislé
Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha: Zistite, či sú lineárne závislé alebo nezávislé vektory \[ \overline{x}_1=(1,2,0,3),\quad \overline{x}_2=(-1,-2,0,2),\quad \overline{x}_3=(2,4,0,11). \]
Výsledok: lineárne závislé
Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha: Zistite, či sú lineárne závislé alebo nezávislé vektory \[ \overline{x}_1=(-3,3,2),\quad \overline{x}_2=(2,1,0),\quad \overline{x}_3=(1,5,-2). \]
Výsledok: lineárne nezávislé
Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha: Zistite, či sú lineárne závislé alebo nezávislé vektory \[ \overline{x}_1=(-2,2,0,1),\quad \overline{x}_2=(-4,4,1,2),\quad \overline{x}_3=(2,-2,-1,1). \]
Výsledok: lineárne nezávislé
Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha: Vypočítajte determinanty matíc \[ A=\left[\begin{array}{rrr} 6\a3\a2\\1\a-3\a5\\2\a1\a9 \end{array}\right] ,\qquad B=\left[\begin{array}{rrr} 2\a-3\a1\\1\a2\a-1\\2\a1\a1 \end{array}\right]. \]
Výsledok: \(|A|=-25,\quad |B|=12\)
Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha: Vypočítajte determinanty matíc \[ C=\left[\begin{array}{rrrr} 2\a1\a-1\a2\\2\a3\a-3\a4\\6\a2\a1\a0\\2\a3\a0\a-5 \end{array}\right],\qquad D=\left[\begin{array}{rrrr} -1\a3\a2\a4\\2\a5\a1\a0\\2\a0\a-3\a1\\-2\a6\a8\a9 \end{array}\right]. \]
Výsledok: \(|C|=-48,\quad |D|=223\)
Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha: Určte hodnosť matice \[ A=\left[\begin{array}{rrrr} 3\a1\a2\a-2\\4\a2\a1\a5\\1\a3\a-2\a18\\2\a1\a1\a1 \end{array}\right]. \]
Výsledok: \(\hod(A)=3\)
Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha: Určte hodnosť matice \[ A=\left[\begin{array}{rrrr} 2\a0\a2\a0\\0\a1\a0\a1\\2\a1\a0\a2\\0\a1\a-2\a2 \end{array}\right]. \]
Výsledok: \(\hod(A)=3\)
Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha: Určte hodnosť matice \[ A=\left[\begin{array}{rrr} 27\a26\a25\\19\a18\a17\\12\a11\a10 \end{array}\right]. \]
Výsledok: \(\hod(A)=2\)
Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha: Určte hodnosť matice \[ A=\left[\begin{array}{rrr} 1\a2\a3\\2\a-1\a1\\1\a7\a8 \end{array}\right]. \]
Výsledok: \(\hod(A)=2\)
Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha: Určte hodnosť matice \[ A=\left[\begin{array}{rrrr} 1\a0\a3\a2\\-2\a1\a0\a-1\\-1\a1\a3\a1\\-1\a2\a9\a4 \end{array}\right]. \]
Výsledok: \(\hod(A)=2\)
Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha: Určte hodnosť matice \[ A=\left[\begin{array}{rrrr} 1\a3\a5\a-1\\2\a-1\a-3\a4\\5\a1\a-1\a7\\7\a7\a9\a1 \end{array}\right]. \]
Výsledok: \(\hod(A)=3\)
Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha: Určte hodnosť matice \[ A=\left[\begin{array}{rrr} 0\a2\a-4\\-1\a-4\a5\\3\a1\a7\\0\a5\a-10\\2\a3\a0 \end{array}\right]. \]
Výsledok: \(\hod(A)=2\)
Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha: Určte hodnosť matice \[ A=\left[\begin{array}{rrrrr} 4\a3\a-5\a2\a3\\8\a6\a-7\a4\a2\\4\a3\a-8\a2\a7\\4\a3\a1\a2\a-5\\8\a6\a-1\a4\a-6 \end{array}\right]. \]
Výsledok: \(\hod(A)=2\)
Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha: Určte hodnosť matice v závislosti od parametra \(\alpha\) \[ A=\left[\begin{array}{rrrr} 3\a1\a2\a-2\\\alpha \a2\a1\a5\\1\a3\a-2\a18\\2\a1\a1\a1 \end{array}\right]. \]
Výsledok: \(\alpha=3\Rightarrow \hod(A)=2,\quad \alpha\neq 3\Rightarrow \hod(A)=3.\)
Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha: Určte hodnosť matice v závislosti od parametra \(\alpha\) \[ A=\left[\begin{array}{rrrr} 3\a1\a1\a4 \\\alpha \a4\a10\a1\\1\a7\a17\a3\\2\a2\a4\a3 \end{array}\right]. \]
Výsledok: \(\alpha=0\Rightarrow \hod(A)=2,\quad \alpha\neq 0\Rightarrow \hod(A)=3.\)
Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha: Určte hodnosť matice v závislosti od parametra \(\alpha\) \[ A=\left[\begin{array}{rrrr} 1\a1\a1\a\alpha \\1\a1\a\alpha \a1\\1\a\alpha \a1\a1\\\alpha \a1\a1\a1 \end{array}\right]. \]
Výsledok: \(\alpha=1\Rightarrow \hod(A)=1,\quad \alpha=- 3\Rightarrow \hod(A)=3,\\ \alpha\neq 1\wedge \alpha\neq -3\Rightarrow \hod(A)=4. \)
Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha: Určte hodnosť matice v závislosti od parametra \(\alpha\) \[ A=\left[\begin{array}{rrrr} 1\a2\a-1\a1 \\4\a-1\a3\a0\\5\a1\a\alpha -1\a1\\3\a\alpha \a4\a-1 \end{array}\right]. \]
Výsledok: \(\alpha=\pm 3\Rightarrow \hod(A)=3,\quad \alpha\neq \pm 3\Rightarrow \hod(A)=4.\)
Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha: Určte hodnosť matice v závislosti od parametra \(\alpha\) \[ A=\left[\begin{array}{rrrr} 2\a2\a2\a-\alpha \\2\a2\a-\alpha \a2\\2\a-\alpha \a2\a2\\-\alpha \a2\a2\a2 \end{array}\right]. \]
Výsledok: \(\alpha=-2\Rightarrow \hod(A)=1,\quad \alpha=6\Rightarrow \hod(A)=3,\\ \alpha\neq -2\wedge \alpha\neq 6\Rightarrow \hod(A)=4. \)
Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha: Určte hodnosť matice v závislosti od parametra \(\alpha\) \[ A=\left[\begin{array}{rrrr} \alpha \a1\a2\a3 \\1\a2\a4\a0\\\alpha \a4\a-8\a10\\1\a1\a3\a2 \end{array}\right]. \]
Výsledok: \(\alpha=1\Rightarrow \hod(A)=3,\quad \alpha\neq 1\Rightarrow \hod(A)=4.\)
Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha: Vypočítajte inverznú maticu k matici \[ A=\left[\begin{array}{rrr} 1\a-2\a1\\3\a-5\a-2\\7\a-3\a1 \end{array}\right] \]
Výsledok: \(A^{-1}=\frac{1}{49}\left[\begin{array}{rrr} -11\a-1\a9\\-17\a-6\a5\\26\a-11\a1 \end{array}\right] \)
Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha: Vypočítajte inverznú maticu k matici \[ A=\left[\begin{array}{rrr} 2\a5\a7\\6\a3\a4\\5\a-2\a-3 \end{array}\right]. \]
Výsledok: \(A^{-1}=\left[\begin{array}{rrr} 1\a-1\a1\\-38\a41\a-34\\27\a-29\a24 \end{array}\right] \)
Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha: Vypočítajte inverznú maticu k matici \[ A=\left[\begin{array}{rr} 3\a2\\6\a4 \end{array}\right]. \]
Výsledok: \(A^{-1} neexistuje\)
Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha: Vypočítajte inverznú maticu k matici \[ A=\left[\begin{array}{rr} 3\a2\\6\a5 \end{array}\right]. \]
Výsledok: \(A^{-1}=\frac{1}{3}\left[\begin{array}{rr} 5\a-2\\-6\a3 \end{array}\right] \)
Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha: Vypočítajte inverznú maticu k matici \[ A=\left[\begin{array}{rr} -3\a2\\-2\a4 \end{array}\right]. \]
Výsledok: \(A^{-1}=-\frac{1}{8}\left[\begin{array}{rr} 4\a-2\\2\a-3 \end{array}\right] \)
Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha: Vypočítajte inverznú maticu k matici \[ A=\left[\begin{array}{rrr} 3\a2\a-1\\-1\a3\a2\\2\a-1\a4 \end{array}\right]. \]
Výsledok: \(A^{-1}=\frac{1}{63}\left[\begin{array}{rrr} 14\a-7\a7\\8\a14\a-5\\-5\a7\a11 \end{array}\right] \)
Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha: Vypočítajte inverznú maticu k matici \[ A=\left[\begin{array}{rrr} 1\a1\a1\\6\a5\a4\\13\a10\a8 \end{array}\right]. \]
Výsledok: \( A^{-1}=\left[\begin{array}{rrr} 0\a-2\a1\\-4\a5\a-2\\5\a-3\a1 \end{array}\right] \)
Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha: Vypočítajte inverznú maticu k matici \[ A=\left[\begin{array}{rrr} 9\a17\a8\\18\a34\a17\\10\a19\a8 \end{array}\right]. \]
Výsledok: \( A^{-1}=\left[\begin{array}{rrr} 51\a-16\a-17\\-26\a8\a9\\-2\a1\a0 \end{array}\right] \)
Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha: Vypočítajte inverznú maticu k matici \[ A=\left[\begin{array}{rrr} 1\a1\a-1\\2\a1\a0\\1\a-1\a0 \end{array}\right]. \]
Výsledok: \( A^{-1}=\frac{1}{3}\left[\begin{array}{rrr} 0\a1\a1\\0\a1\a-2\\-3\a2\a-1 \end{array}\right] \)
Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha: Vypočítajte inverznú maticu k matici \[ A=\left[\begin{array}{rrr} 2\a1\a4\\-5\a-2\a-1\\3\a1\a1 \end{array}\right]. \]
Výsledok: \( A^{-1}=\frac{1}{4}\left[\begin{array}{rrr} -1\a3\a7\\2\a-10\a-18\\1\a1\a1 \end{array}\right] \)
Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha: Vypočítajte inverznú maticu k matici \[ A=\left[\begin{array}{rrrr} 1\a1\a1\a1\\1\a1\a-1\a-1\\1\a-1\a1\a-1\\1\a-1\a-1\a1 \end{array}\right]. \]
Výsledok: \( A^{-1}=\frac{1}{4}\left[\begin{array}{rrrr} 1\a1\a1\a1\\1\a1\a-1\a-1\\1\a-1\a1\a-1\\1\a-1\a-1\a1 \end{array}\right] \)
Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha: Pomocou inverznej matice riešte maticovú rovnicu \[ \left[\begin{array}{rr} 3\a2\\-1\a0 \end{array}\right] X= \left[\begin{array}{rr} -1\a2\\1\a4 \end{array}\right]. \]
Výsledok: \( X=\left[\begin{array}{rr} -1\a-4\\1\a7 \end{array}\right] \)
Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha: Pomocou inverznej matice riešte maticovú rovnicu \[ X \left[\begin{array}{rr} 2\a3\\1\a0 \end{array}\right]= \left[\begin{array}{rr} 2\a1\\1\a2 \end{array}\right]. \]
Výsledok: \( X=\frac{1}{3}\left[\begin{array}{rr} 1\a4\\2\a-1 \end{array}\right] \)
Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha: Pomocou inverznej matice riešte maticovú rovnicu \[ \left[\begin{array}{rr} 3\a2\\-1\a0 \end{array}\right] X\left[\begin{array}{rr} 2\a0\\2\a1 \end{array}\right]= \left[\begin{array}{rr} 1\a1\\1\a1 \end{array}\right]. \]
Výsledok: \( X=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{rr} 1\a-2\\-2\a4 \end{array}\right] \)
Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha: Pomocou inverznej matice riešte maticovú rovnicu \[ X\left[\begin{array}{rrr} 2\a1\a4\\-5\a-2\a-1\\3\a1\a1 \end{array}\right]= \left[\begin{array}{rrr} 10\a4\a6\\7\a3\a5 \end{array}\right]. \]
Výsledok: \( X=\left[\begin{array}{rrr} 1\a-1\a1\\1\a-1\a0 \end{array}\right] \)
Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha: Pomocou inverznej matice riešte maticovú rovnicu \[ \left[\begin{array}{rrr} 1\a-2\a1\\3\a-5\a-2\\7\a-3\a1 \end{array}\right] X= \left[\begin{array}{r} 0\\-3\\16 \end{array}\right]. \]
Výsledok: \( X=(\begin{array}{r} 3,2,1 \end{array})^\top \)
Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha: Pomocou inverznej matice riešte maticovú rovnicu \[ X\left[\begin{array}{rrr} 1\a1\a-1\\2\a1\a0\\2\a-1\a0 \end{array}\right]= \left[\begin{array}{rrr} 1\a-1\a3\\4\a3\a4\\1\a-2\a5 \end{array}\right]. \]
Výsledok: \( X=\left[\begin{array}{rrr} -3\a2\a0\\-4\a5\a-2\\-5\a3\a0 \end{array}\right] \)
Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha: Pomocou inverznej matice riešte maticovú rovnicu \[ \left[\begin{array}{rrrr} 2 \a - 2 \a 0 \a 0\\ 0 \a 2 \a- 2 \a 0\\ 0 \a 0 \a 2 \a- 2\\ 0 \a 0 \a 0 \a 2 \end{array}\right]X = \left[ \begin{array}{rrrr} 1 \a 0 \a 1 \a 0\\ 0 \a 1 \a 0 \a 1\\ 1 \a 0 \a 1 \a 0\\ 0 \a 1 \a 0 \a 1 \end{array} \right]. \]
Výsledok: \( X=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{rrrr} 2\a2\a2\a2\\1\a2\a1\a2\\1\a1\a1\a1\\0\a1\a0\a1 \end{array}\right] \)
Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha: Pomocou inverznej matice riešte maticovú rovnicu \[ \left[\begin{array}{rr} 3\a2\\-1\a0 \end{array}\right] X\left[\begin{array}{rr} 2\a0\\2\a1 \end{array}\right]- \left[\begin{array}{rr} 2\a0\\0\a2 \end{array}\right]= \left[\begin{array}{rr} -1\a1\\1\a-1 \end{array}\right].\]
Výsledok: \( X=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{rr} 1\a-2\\-2\a4 \end{array}\right] \)
Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha: Pomocou inverznej matice riešte maticovú rovnicu \[ \left[\begin{array}{rrr} 3\a2\a-1\\-1\a3\a2\\2\a-1\a4 \end{array}\right] X= \left[\begin{array}{r} 8\\3\\-4 \end{array}\right]. \]
Výsledok: \( X=\left[\begin{array}{r} 1,2,-1 \end{array}\right]^\top \)
Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha: Vypočítajte obsah rovnobežníka \(ABCD\), ak jeho tri za sebou idúce vrcholy sú
a)\(\quad(A=(7,-5,6),\ B=(9,-4,8),\ C=(6,0,6)\),
b)\(\quad(A=(-2,4,6),\ B=(2,5,4),\ C=(1,-5,3)\),
c)\(\quad(A=(2,-1,7),\ B=(11,-5,8),\ C=(7,-4,-1)\),
d)\(\quad (A=(-3,1,-2),\ B=(4,-4,2),\ C=(-2,1,0)\),
e)\(\quad(A=(9,-4,-4),\ B=(11,-5,-4),\ C=(11,0,-9)\),
f)\(\quad(A=(-1,9,0),\ B=(4,5,0),\ C=(0,0,0)\).
Výsledok: \( a)15,\,\quad b)\,3\sqrt{222},\quad c)\,49\sqrt{3},\quad d)\,15,\quad e)\,15, \quad f)\,41\,.\)
Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha: Vypočítajte objem štvorstena \(ABCD\), ak
a)\(\quad A=(1,2,3),\ B=(-1,0,0),\ C=(0,-2,0),\ D=(0,0,-3)\),
b)\(\quad A=(1,2,-1),\ B=(3,5,4),\ C=(-2,1,0),\ D=(4,2,3)\).
Výsledok: a)\(\quad V=4\), b)\(\quad V=\frac{26}{3}\).
Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha: Objem štvorstena \(ABCD\) je \(V=5\). Tri jeho vrcholy sú \(A=(2,1,-1),\ B=(3,0,1),\ C=(2,-1,3)\). Vypočítajte súradnice vrchola \(D\), ktorý leží na osi \(o_y\).
Výsledok: \(D_1=(0,8,0),\ D_2=(0,-7,0)\)
Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha: Štvorsten \(ABCD\) má objem \(V=2\). Jeho tri vrcholy sú \(A=(2,1,3),\ B=(3,3,2),\ C=(1,2,4)\). Vypočítajte súradnice vrchola \(D\), ktorý leží na osi \(o_z\).
Výsledok: \(D_1=(0,0,1),\ D_2=(0,0,9)\).
Zobraziť výsledokSkryť výsledok

Doplňujúce zdroje

1. M. Bučko, J. Buša, Š. Schrotter: Lineárna algebra