Integrovanie racionálnych funkcií

Ciele

1. Naučiť študentov integrovanie parciálnych zlomkov.
2. Naučiť študentov integrovanie racionálnych funkcií rozkladom na súčet parciálnych zlomkov.
3. Naučiť študentov integrovanie funkcií s lineárnou iracionalitou.
4. Naučiť študentov integrovanie funkcií s lineárne lomenou iracionalitou.

Úvod

\(\def\a{&}\def\arctg{\mathop{\mathrm{arctg}}} \def\tg{\mathop{\mathrm{tg}}} \def\arccotg{\mathop{\mathrm{arccotg}}} \def\cotg{\mathop{\mathrm{cotg}}} \def\myint#1{\displaystyle\int #1 \,\mathrm{d}x} \def\e{\mathrm{e}}\) \(\myint {\frac{P\left( x \right)}{Q\left( x \right)}}\), teda integrál racionálnej funkcie počítame zvyčajne tak, že po predelení polynómu \(P\left( x \right)\) z čitateľa polynómom \(Q\left( x \right)\) z menovateľa (v prípade, že funkcia nie je rýdzoracionálna), dostaneme vo výsledku súčet polynómu a rýdzoracionálnej funkcie. Takto získanú rýdzoracionálnu funkciu rozložíme na elementárne zlomky a určíme ich neurčité integrály.

Každú rýdzoracionálnu funkciu vieme rozložiť na súčet elementárnych (parciálnych) zlomkov, ktoré môžu mať v množine \(\mathbb{R}\) tieto tvary \[ \frac{A}{x-\alpha },\qquad \frac{A}{\left( {x-\alpha } \right)^n},\qquad \frac{Mx+N}{x^2+px+q},\qquad \frac{Mx+N}{(x^2+px+q)^n}, \] kde \(A\), \(M\), \(N\), \(\alpha\), \(p\), \(q\) sú reálne čísla, \(n\) je prirodzené číslo a kvadratický trojčlen \(x^2+px+q\) nemá reálne korene. Poslednému prípadu sa nebudeme venovať.

Pri integrovaní často využívame tieto vzťahy:
1. \(\displaystyle\int{\frac{\mathrm{d}x}{x-\alpha }}=\ln \left| {x-\alpha } \right|+C\);
2. \(\displaystyle\int {\frac{\mathrm{d}x}{\left( {x-\alpha } \right)^k}} =-\frac{1}{\left(k-1 \right)\left( {x-\alpha } \right)^{k-1}}+C\) pre \(k\ne 1\), \(x\ne \alpha\), na základe substitúcie;
3. \(\displaystyle\int {\frac{\mathrm{d}x}{x^2+a^2}} =\frac{1}{a}\arctg\frac{x}{a}+C\) pre \(a\ne0\);
4. \(\myint{\frac{{f}'\left( x \right)}{f\left( x \right)}}=\ln \left| {f\left( x \right)} \right|+C\).

Postup

1. Integrovanie parciálnych zlomkov

   Príklad: Vypočítajme integrál \(\myint {\frac{1}{x+5}}\).

   Riešenie: Využitím integračného vzorca \(\displaystyle\int {\frac{\mathrm{d}x} {x-\alpha} =\ln \left| {x-\alpha } \right|+C\) je \(\myint {\frac{1}{x+5}}=\ln \left| {x+5} \right|+C\).

   Zobraziť riešenieSkryť riešenie

   Príklad: Vypočítajme integrál \(\myint {\frac{3}{2x+5}}\).

   Riešenie: Využitím integračného vzorca \(\myint {\frac{{f}'\left( x \right)}{f\left( x \right)}}=\ln \left| {f\left( x \right)} \right|+C\) je \[ \myint {\frac{3}{2x+5}}=\frac{3}{2}\myint {\frac{2}{2x+5}} =\frac{3}{2}\ln \left| {2x+5} \right|+C. \]

   Zobraziť riešenieSkryť riešenie

   Príklad: Vypočítajme integrál \(\myint {\frac{1}{\left({x+5} \right)^3}}\).

   Riešenie: Využitím integračného vzorca \(\displaystyle\int {\frac{\mathrm{d}x}{\left( {x-\alpha } \right)^k}} =-\frac{1}{\left( {k-1} \right)\left( {x-\alpha } \right)^{k-1}}+C\) je \[ \myint {\frac{1}{\left( {x+5} \right)^3}}=-\frac{1}{2\,\left( {x+5} \right)^2}+C. \]

   Zobraziť riešenieSkryť riešenie

   Príklad: Vypočítajme integrál \(\myint {\frac{3}{\left( {2x+5} \right)^4}}\).

   Riešenie: V tomto prípade je najvýhodnejšie využiť pri integrovaní substitúciu, potom \[ \myint {\frac{3}{\left( {2x+5} \right)^4}}=\left| {\begin{array}{c} 2x+5=t \\ 2\mathrm{d}x=\mathrm{d}t \\ \end{array}} \right|=\frac{3}{2}\int {\frac{1}{t^4}} \,\mathrm{d}t=\frac{3}{2}\left( {\frac{t^{-3}}{-3}} \right)+C=-\frac{1}{2\,\left( {2x+5} \right)^3}+C. \]

   Zobraziť riešenieSkryť riešenie

   Príklad: Vypočítajme integrál \(\myint {\frac{2x-4}{x^2+x+1}}\).

   Riešenie: Takýto typ parciálneho zlomku sa zvyčajne integruje tak, že sa integračná funkcia rozdelí na dva zlomky. Čitateľ prvého zlomku zvolíme rovný derivácii menovateľa (alebo jej násobku) \(\dfrac{2x+1}{x^2+x+1}\) a druhý zlomok bude mať tvar \(\dfrac{-5}{x^2+x+1}\).
   
   Prvý zlomok integrujeme využitím vzťahu \(\myint {\frac{{f}'\left( x \right)}{f\left( x \right)}}=\ln \left| {f\left( x \right)} \right|+C\).
   
   Druhý zlomok po vhodných úpravách (úprava kvadratického trojčlena v menovateli na štvorec a následná substitúcia) integrujeme využitím vzťahu \(\displaystyle\int {\frac{\mathrm{d}x}{x^2+a^2}} =\frac{1}{a}\arctg\frac{x}{a}+C\). \[ \myint {\frac{2x+4}{x^2+x+1}} =\myint {\frac{2x+1}{x^2+x+1}}-\myint {\frac{5}{x^2+x+1}}=\ln \left| {x^2+x+1} \right|-\] \[ -5\myint {\frac{1}{x^2+x+1}}=\ln \left| {x^2+x+1} \right| -5\myint {\frac{1}{\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}}= \] \[ =\ln \left| {x^2+x+1} \right|-\frac{5}{\frac{\sqrt 3 }{2}}\arctg\frac{x+\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt3}{2}}+C= \ln \left| {x^2+x+1} \right|-\frac{10}{\sqrt 3 }\arctg\frac{2x+1}{\sqrt 3 }+C. \]

   Zobraziť riešenieSkryť riešenie
2. Integrovanie racionálnych funkcií

   Príklad: Vypočítajme integrál \(\myint {\frac{2x^2+3x-23}{x^3-4x^2+x+6}} \).

   Riešenie: Funkcia \(\dfrac{2x^2+3x-23}{x^3-4x^2+x+6}\) je rýdzoracionálna (stupeň polynómu v čitateli je nižší ako stupeň polynómu v menovateli), a preto ju môžeme rozložiť na súčet elementárnych zlomkov.
   
   Polynóm v menovateli je potrebné najprv rozložiť na súčin koreňových činiteľov (kanonický rozklad).
   
   S využitím Hornerovej schémy je \(x^3-4x^2+x+6=\left( {x+1} \right)\left( {x-2} \right)\left( {x-3} \right)\).
   
   Výraz \(\dfrac{2x^2+3x-23}{x^3-4x^2+x+6}\) môžeme prepísať a vytvoriť parciálne zlomky. \[ \frac{2x^2+3x-23}{\left( {x+1} \right)\left( {x-2} \right)\left( {x-3} \right)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{x-3}. \] Tri neznáme koeficienty \(A\), \(B\) a \(C\) vypočítame, napríklad, zakrývacou metódou. Dostávame: \[ A=\frac{2x^2+3x-23}{(x-2)(x-3)}\Big|_{x=-1}=\frac{-24}{12}=-2, \] \[ B=\frac{2x^2+3x-23}{(x+1)(x-3)}\Big|_{x=2}=\frac{-9}{-3}=3, \] \[ C=\frac{2x^2+3x-23}{(x+1)(x-2)}\Big|_{x=3}=\frac{4}{4}=1. \] Rozklad na parciálne zlomky je \[ \frac{2x^2+3x-23}{\left( {x+1} \right)\left( {x-2} \right)\left( {x-3} \right)}=\frac{-2}{x+1}+\frac{3}{x-2}+\frac{1}{x-3} \] a platí \[ \myint {\frac{2x^2+3x-23}{\left( {x+1} \right)\left( {x-2} \right)\left( {x-3} \right)}}=\myint {\frac{-2}{x+1}}+\myint {\frac{3}{x-2}}+\myint{\frac{1}{x-3}}. \] Vypočítame integrály z jednotlivých zlomkov a výsledky spočítame.
   
   a) \(\myint {\frac{-2}{x+1}}=-2\ln \left|x+1\right|+C\),
   b) \(\myint {\frac{3}{x-2}}=3\ln \left|x-2\right|+C\),
   c) \(\myint {\frac{1}{x-3}}=\ln \left|x-3\right|+C\).
   
   Teda \[ \myint {\frac{2x^2+3x-23}{\left( {x+1} \right)\left( {x-2} \right)\left( {x-3} \right)}}=-2\ln \left| {x+1} \right|+3\ln \left| {x-2} \right|+\ln \left| {x-3} \right|+C= \] \[ =\ln \left| {\frac{\left( {x-2} \right)^3\left( {x-3} \right)}{\left( {x+1} \right)^2}} \right|+C. \]

   Zobraziť riešenieSkryť riešenie

   Príklad: Vypočítajme integrál \(\myint{\frac{x^3-2x+1}{x^2+x}}\).

   Riešenie: Funkcia \(\dfrac{x^3-2x+1}{x^2+x}\) nie je rýdzoracionálna (stupeň polynómu v čitateli nie je nižší ako stupeň polynómu v menovateli), takže najprv je potrebné predeliť čitateľa menovateľom. \[ \left( {x^3-2x+1} \right):\left( {x^2+x} \right)=x-1+\frac{-x+1}{x^2+x} \] Ďalej postupujeme ako v predchádzajúcom príklade, polynóm v menovateli rozložíme na súčin koreňových činiteľov (kanonický rozklad). \[ x^2+x=x\left( {x+1} \right) \] Zvyšok po delení \(\dfrac{-x+1}{x^2+x}\) je už rýdzoracionálny výraz, ktorý môžeme prepísať a vytvoriť parciálne zlomky. \[ \frac{-x+1}{x\left( {x+1} \right)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}. \] Neznáme koeficienty \(A\) a \(B\) vypočítame znova zakrývacou metódou. Dostávame: \[ A=\frac{-x+1}{x+1}\Big|_{x=0}=\frac{1}{1}=1, \] \[ B=\frac{-x+1}{x}\Big|_{x=-1}=\frac{2}{-1}=-2. \] Rozklad na parciálne zlomky je \[ \frac{x^3-2x+1}{x^2+x}=x-1+\frac{1}{x}-\frac{2}{x+1} \] a platí \[ \myint {\frac{x^3-2x+1}{x^2+x}}=\myint{\left(x-1+\frac{1}{x}-\frac{2}{x+1} \right)}=\frac{x^2}{2}-x+\ln \left| x \right|-2\ln \left| {x+1} \right|+C. \]

   Zobraziť riešenieSkryť riešenie

   Príklad: Vypočítajme integrál \(\myint {\frac{-x^2+5}{x^3-x^2-x+1}}\).

   Riešenie: Funkcia \(\dfrac{-x^2+5}{x^3-x^2-x+1}\) je rýdzoracionálna (stupeň polynómu v čitateli je nižší ako stupeň polynómu v menovateli).
   
   Polynóm v menovateli je potrebné rozložiť na súčin koreňových činiteľov (kanonický rozklad).
   
   Postupným vyberaním pred zátvorku je \(x^3-x^2-x+1=\left( {x-1} \right)^2\left( {x+1} \right)\).
   
   Výraz \(\dfrac{-x^2+5}{x^3-x^2-x+1}\) môžeme prepísať a vytvoriť parciálne zlomky. \[ \frac{-x^2+5}{x^3-x^2-x+1}=\frac{A}{\left( {x-1} \right)^2}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x+1}. \] Tri neznáme koeficienty \(A\), \(B\), \(C\) vypočítame dosadzovacou metódou tak, že do upravenej rovnice (po odstránení zlomkov) postupne budeme dosadzovať namiesto premennej \(x\) tri rôzne (vhodné) čísla. Využívame pritom, že hodnoty polynómov na ľavej a pravej strane rovnice sa rovnajú po dosadení ľubovoľného čísla za premennú \(x\). \[ \begin{array}{l} {\dfrac{-x^2+5}{x^3-x^2-x+1}=\dfrac{A}{\left( {x-1} \right)^2}+\dfrac{B}{x-1}+\dfrac{C}{x+1}} \quad \bigg / \quad {\left( {x-1} \right)^2}\left( {x+1} \right) \\ -x^2+5=A\left( {x+1} \right)+B\left( {x-1} \right)\left( {x+1} \right)+C\left( {x-1} \right)^2 \\ \end{array} \] \[ \begin{array}{l} x=1:\quad -1+5=A\left( {1+1} \right)+B\left( {1-1} \right)\left( {1+1} \right)+C\left( {1-1} \right)^2 \\ \quad \quad \quad \quad \quad 4=2A \\ \quad \quad \quad \quad \;\;\;\underline{\underline {A=2}} \\ \end{array} \] \[ \begin{array}{l} x=-1:\quad -1+5=A\left( {-1+1} \right)+B\left( {-1-1} \right)\left( {-1+1} \right)+C\left( {-1-1} \right)^2 \\ \quad \quad \quad \quad \quad 4=4C \\ \quad \quad \quad \quad \;\;\;\underline{\underline {C=1}} \\ \end{array} \] \[ \begin{array}{l} x=0:\quad 0+5=A\left( {0+1} \right)+B\left( {0-1} \right)\left( {0+1} \right)+C\left( {0-1} \right)^2 \\ \quad \quad \quad \quad \quad 5=2-B+1 \\ \quad \quad \quad \quad \;\;\;\underline{\underline {B=-2}} \\ \end{array} \] Rozklad na parciálne zlomky je \[ \frac{-x^2+5}{x^3-x^2-x+1}=\frac{2}{\left( {x-1} \right)^2}-\frac{2}{x-1}+\frac{1}{x+1} \] a platí \[ \myint {\frac{-x^2+5}{x^3-x^2-x+1}}=\myint {\frac{2}{\left( {x-1} \right)^2}} -\myint {\frac{2}{x-1}}+\myint {\frac{1}{x+1}}. \] \(\myint {\frac{2}{\left( {x-1} \right)^2}}\) riešime substitúciou, \[ \myint {\frac{2}{\left( {x-1} \right)^2}} =\left| {\begin{array}{c} x-1=t \\ \mathrm{d}x=\mathrm{d}t \\ \end{array}} \right|=2\int {\frac{1}{t^2}} \,\mathrm{d}t=-\frac{2}{t}+C=-\frac{2}{x-1}+C. \] Preto \[ \myint {\frac{-x^2+5}{x^3-x^2-x+1}}=-\frac{2}{x-1}-2\ln \left| {x-1} \right|+\ln \left| {x+1} \right|+C. \]

   Zobraziť riešenieSkryť riešenie

   Príklad: Vypočítajme integrál \(\myint {\frac{5x^2-7x+9}{x^3-3x^2+2x-6}}\).

   Riešenie: Funkcia \(\dfrac{5x^2-7x+9}{x^3-3x^2+2x-6}\) je rýdzoracionálna (stupeň polynómu v čitateli je nižší ako stupeň polynómu v menovateli).
   
   Polynóm v menovateli je potrebné rozložiť na súčin koreňových činiteľov (kanonický rozklad).
   
   Použitím Hornerovej schémy je \(x^3-3x^2+2x-6=\left( {x-3} \right)\left( {x^2+2} \right)\).
   
   Výraz \(\dfrac{5x^2-7x+9}{x^3-3x^2+2x-6}\) môžeme prepísať a vytvoriť parciálne zlomky. \[ \frac{5x^2-7x+9}{x^3-3x^2+2x-6}=\frac{A}{x-3}+\frac{Bx+C}{x^2+2}. \] Tri neznáme koeficienty \(A\), \(B\), \(C\) vypočítame dosadzovacou metódou tak, že do upravenej rovnice (po odstránení zlomkov) postupne budeme dosadzovať namiesto premennej \(x\) tri rôzne (vhodné) čísla. Využívame pritom, že hodnoty polynómov na ľavej a pravej strane rovnice sa rovnajú po dosadení ľubovoľného čísla za premennú \(x\). \[ {\frac{5x^2-7x+9}{x^3-3x^2+2x-6}=\frac{A}{x-3}+\frac{Bx+C}{x^2+2}} \quad \bigg / \quad {\left( {x-3} \right)\left( {x^2+2} \right)} \] \[ 5x^2-7x+9=A\left( {x^2+2} \right)+\left( {Bx+C} \right)\left( {x-3} \right) \] \[ \begin{array}{l} x=3:\quad 45-21+9=A\left( {9+2} \right)+\left( {3B+C} \right)\left( {3-3} \right) \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \;\,33=11A \\ \quad \quad \quad \quad \;\;\quad \;\;\,\;\underline{\underline {A=3}} \\ \end{array} \] \[ \begin{array}{l} x=0:\quad 9=3\left( {0+2} \right)+\left( {0\cdot B+C} \right)\left( {0-3} \right) \\ \quad \quad \quad \;9=6-3C \\ \quad \quad \quad \underline{\underline {C=-1}} \\ \end{array} \] \[ \begin{array}{l} x=1:\quad 5-7+9=3\left( {1+2} \right)+\left( {B-1} \right)\left( {1-3} \right) \\ \quad \quad \quad \quad \quad \;\;\;7=9-2B+2 \\ \quad \quad \quad \quad \;\;\;\underline{\underline {\quad B=2}} \\ \end{array} \] Rozklad na parciálne zlomky je \[ \frac{5x^2-7x+9}{x^3-3x^2+2x-6}=\frac{3}{x-3}+\frac{2x-1}{x^2+2} \] a platí \[ \myint{\frac{5x^2-7x+9}{x^3-3x^2+2x-6}} =\myint{\frac{3}{x-3}} +\myint{\frac{2x-1}{x^2+2}}. \] \[ \myint {\frac{2x-1}{x^2+2}}=\myint {\frac{2x}{x^2+2}}-\myint {\frac{1}{x^2+2}}=\ln \left| {x^2+2} \right|-\frac{1}{\sqrt 2}\arctg\frac{x}{\sqrt 2 }+C. \]

   Zobraziť riešenieSkryť riešenie

   Príklad: Vypočítajme integrál \(\myint {\frac{4x^2+8x+16}{x^3+4x^2+9x+6}}\).

   Riešenie: Funkcia \(\dfrac{4x^2+8x+16}{x^3+4x^2+9x+6}\) je rýdzoracionálna (stupeň polynómu v čitateli je nižší ako stupeň polynómu v menovateli).
   
   Polynóm v menovateli je potrebné rozložiť na súčin koreňových činiteľov (kanonický rozklad).
   
   Použitím Hornerovej schémy je \(x^3+4x^2+9x+6=\left( {x+1} \right)(x^2+3x+6)\).
   
   Výraz \(\dfrac{4x^2+8x+16}{x^3+4x^2+9x+6}\) môžeme prepísať a vytvoriť parciálne zlomky. \[ \frac{4x^2+8x+16}{x^3+4x^2+9x+6}=\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^2+3x+6}. \] Tri neznáme koeficienty \(A\), \(B\), \(C\) vypočítame dosadzovacou metódou tak, že do upravenej rovnice (po odstránení zlomkov) postupne budeme dosadzovať namiesto premennej \(x\) tri rôzne (vhodné) čísla. Využívame pritom, že hodnoty polynómov na ľavej a pravej strane rovnice sa rovnajú po dosadení ľubovoľného čísla za premennú \(x\). \[ {\frac{4x^2+8x+16}{x^3+4x^2+9x+6}=\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^2+3x+6}} \quad \bigg / \quad (x+1)(x^2+3x+6) \] \[ 4x^2+8x+16=A\left( {x^2+3x+6} \right)+\left( {Bx+C} \right)\left( {x+1} \right) \] \[ \begin{array}{l} x=-1:\quad 4-8+16=A\left( {1-3+6} \right)+\left( {-B+C} \right)\left( {-1+1} \right) \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \;\,12=4A \\ \quad \quad \quad \quad \;\;\quad \;\;\,\;\underline{\underline {A=3}} \\ \end{array} \] \[ \begin{array}{l} x=0:\quad 16=3\left( {0+0+6} \right)+\left( {0\cdot B+C} \right)\left( {0+1} \right) \\ \quad \quad \quad \;16=18+C \\ \quad \quad \quad \underline{\underline {C=-2}} \\ \end{array} \] \[ \begin{array}{l} x=1:\quad 4+8+16=3\left( {1+3+6} \right)+\left( {B-2} \right)\left( {1+1} \right) \\ \quad \quad \quad \quad \quad \;\;\;28=30+2B-4 \\ \quad \quad \quad \quad \;\;\;\underline{\underline {\quad B=1}} \\ \end{array} \] Rozklad na parciálne zlomky je \[ \frac{4x^2+8x+16}{x^3+4x^2+9x+6}=\frac{x-2}{x^2+3x+6}+\frac{3}{x+1} \] a platí \[ \myint {\frac{4x^2+8x+16}{x^3+4x^2+9x+6}}=\myint {\frac{x-2}{x^2+3x+6}} +\myint {\frac{3}{x+1}}. \] \[ \myint {\frac{x-2}{x^2+3x+6}}=\frac{1}{2}\myint{\!\frac{2x+3}{x^2+3x+6}}-\frac{7}{2}\myint {\!\frac{1}{x^2+3x+6}}= \] \[ =\frac{1}{2}\ln \left| {x^2+3x+6} \right|-\frac{7}{2}\myint {\!\frac{1}{\big[ {x+\frac{3}{2}} \big]^2+\frac{15}{4}}}= \] \[ =\frac{1}{2}\ln \left| {x^2+3x+6} \right|-\frac{7}{2}\cdot \frac{2}{\sqrt {15} }\arctg\frac{2x+3}{\sqrt {15}}+C. \] Teda \[ \myint {\frac{4x^2+8x+16}{x^3+4x^2+9x+6}}=\frac{1}{2}\ln \left| {x^2+3x+6} \right|- \frac{7}{2}\cdot \frac{2}{\sqrt {15} }\arctg\frac{2x+3}{\sqrt {15}}+3\ln|x+1|+C. \]

   Zobraziť riešenieSkryť riešenie
3. Lineárna iracionalita
   
   Integrál typu \(\myint {R[x,\;\sqrt[{k_1 }]{Ax+B},\;\sqrt[{k_2 }]{Ax+B},\;\ldots ,\;\sqrt[{k_n }]{Ax+B}]}\), kde \(R\) je racionálna funkcia a \(k_1\), \(k_2\), \(\dots\), \(,k_n\) sú prirodzené čísla, riešime pomocou substitúcie \[ Ax+B=t^k, \] kde \(k\) je najmenší spoločný násobok čísel \(k_1\), \(k_2\), \(\dots\), \(k_n\). Pomocou tejto substitúcie prevedieme daný integrál na integrál racionálnej funkcie.

   Príklad: Vypočítajme integrál \(\myint {\frac{\sqrt[3]{x}}{x+\sqrt[6]{x^5}}}\).

   Riešenie: Integrál riešime použitím substitúcie \(x=t^6\), čím prevedieme iracionálnu funkciu na racionálnu. \[ \myint {\frac{\sqrt[3]{x}}{x+\sqrt[6]{x^5}}}=\;\left| {\begin{array}{l} \;\;x=t^6 \\ \;\mathrm{d}x=6t^5\mathrm{d}t\; \\ \end{array}} \right| =\displaystyle \int {\frac{t^2}{t^6+t^5}6t^5} \mathrm{d}t=6\displaystyle\int \frac{t^2}{t+1}\,\mathrm{d}t= \] \[ =6\displaystyle\int {\left( {t-1+\frac{1}{t+1}} \right)\,\mathrm{d}t} =6\left( {\frac{t^2}{2}-t+\ln \left| {t+1} \right|} \right)+C=3\sqrt[3]{x}-6\sqrt[6]{x}+6\ln \left| {\sqrt[6]{x}+1} \right|+C. \]

   Zobraziť riešenieSkryť riešenie

   Príklad: Vypočítajme integrál \(\myint {\frac{\sqrt {x-2} -\sqrt[4]{x-2}}{4x-8}}.\)

   Riešenie: Integrál riešime použitím substitúcie \(x-2=t^4\), čím prevedieme iracionálnu funkciu na racionálnu. \[ \myint {\frac{\sqrt {x-2} -\sqrt[4]{x-2}}{4x-8}}= \left| {\begin{array}{l} \;x-2=t^4 \\ \;\mathrm{d}x=4t^3\,\mathrm{d}t\; \\ \end{array}} \right|=\displaystyle\int {\frac{t^2-t}{4t^4}} \,4t^3\,\mathrm{d}t=\displaystyle\int {\frac{t^2-t}{t}\,\mathrm{d}t} = \] \[ =\displaystyle\int {\left( {t-1} \right)\,\mathrm{d}t} =\frac{t^2}{2}-t+C= \frac{\sqrt {x-2} }{2}-\sqrt[4]{x-2}+C. \]

   Zobraziť riešenieSkryť riešenie
4. Lineárne lomená iracionalita
   
   Integrál typu \(\myint {R\left[x,\;\sqrt[{k_1 }]{\dfrac{Ax+B}{Cx+D}},\;\sqrt[{k_2 }]{\dfrac{Ax+B}{Cx+D}},\;\ldots ,\;\sqrt[{k_n }]{\dfrac{Ax+B}{Cx+D}}\right]}\), kde \(R\) je racionálna funkcia a \(k_1\), \(k_2\), \(\dots\), \(,k_n\) sú prirodzené čísla, riešime pomocou substitúcie \[ \dfrac{Ax+B}{Cx+D}=t^k, \] kde \(k\) je najmenší spoločný násobok čísel \(k_1\), \(k_2\), \(\dots\), \(k_n\). Pomocou tejto substitúcie prevedieme daný integrál na integrál racionálnej funkcie.

   Príklad: Vypočítajme neurčitý integrál \(\myint{\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}}\).

   Riešenie: Integrál budeme počítať substitúciou \[ \sqrt{\frac{x+1}{x-1}}=t\quad \Rightarrow\quad \frac{x+1}{x-1}=t^2 \quad \Rightarrow\quad x=\frac{t^2+1}{t^2-1}. \] Diferencovaním dostávame (všetky nasledujúce výpočty overte): \[ \mathrm{d}x=\dfrac{-4t}{(t^2-1)^2}\cdot\mathrm{d}t. \] Teda \[ \myint{\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}}=\int t\cdot\dfrac{-4t}{(t^2-1)^2}\cdot\mathrm{d}t= \int\dfrac{-4t^2}{(t^2-1)^2}\cdot\mathrm{d}t. \] Rýdzoracionálnu podintegrálnu funkciu rozložíme na súčet elementárnych zlomkov: \[ \dfrac{-4t^2}{(t^2-1)^2}=\dfrac{-4t^2}{(t-1)^2(t+1)^2}=\frac{A}{(t-1)^2}+ \frac{B}{t-1\vphantom{)^2}}+\frac{C}{(t+1)^2}+\frac{D}{t+1\vphantom{)^2}}. \] Koeficienty \(A\) a \(C\) určíme zakrývacou metódou a využijeme tiež fakt, že \(0=B+D\). Ako medzikrok máme: \[ \dfrac{-4t^2}{(t-1)^2(t+1)^2}=\frac{-1}{(t-1)^2}+ \frac{B}{t-1\vphantom{)^2}}+\frac{-1}{(t+1)^2}+\frac{-B}{t+1\vphantom{)^2}}. \] Na záver dosadením hodnoty \(t=0\) dostávame \(B=-1\). Teda \[ \int{\dfrac{-4t^2}{(t^2-1)^2}}\cdot\mathrm{d}t=\int\left[\frac{-1}{(t-1)^2}+ \frac{-1}{t-1\vphantom{)^2}}+\frac{-1}{(t+1)^2}+\frac{1}{t+1\vphantom{)^2}}\right]\cdot\mathrm{d}t= \] \[ =\frac{1}{t-1}-\ln|t-1|+\frac{1}{t+1}+\ln|t+1|+C=\frac{2t}{t^2-1}+\ln\left|\frac{t+1}{t-1}\right|+C. \] Nakoniec po spätnej substitúcii môžeme vypísať celkový výsledok: \[ \myint{\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}}=(x-1)\cdot\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}+ \ln\left|\frac{\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}+1}{\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}-1}\right|+C \]

   Zobraziť riešenieSkryť riešenie

Doplňujúce úlohy

Úloha: Vypočítajte nasledujúce integrály racionálnych funkcií:
1. \(\myint{\frac{1}{x(x+1)(x+2)}} \)
   Výsledok: \(\ln\dfrac{\sqrt{|x^2+2x|}}{|x+1|}+C \)

   Zobraziť výsledokSkryť výsledok
2. \(\myint{\frac{ 5-x}{x^2-1 }} \)
   Výsledok: \( \ln \dfrac{(x-1)^2}{|x+1|^3}+C \)

   Zobraziť výsledokSkryť výsledok
3. \(\myint{\frac{4x+2 }{ x^2-2x-8}} \)
   Výsledok: \(\ln\left|(x+2)(x-4)^3\right| +C \)

   Zobraziť výsledokSkryť výsledok
4. \(\myint{\frac{ 7x+7}{ x^2+x-12}} \)
   Výsledok: \( \ln\left|(x-3)^4(x+4)^3\right| +C\)

   Zobraziť výsledokSkryť výsledok
5. \(\myint{\frac{-x-1 }{ x^2-7x+10}} \)
   Výsledok: \(\ln \dfrac{|x-2|}{(x-5)^2} +C \)

   Zobraziť výsledokSkryť výsledok
6. \(\myint{\frac{2x+13 }{x62+9x+20 }} \)
   Výsledok: \(\ln \left|\dfrac{(x+4)^5}{(x+5)^3}\right| +C \)

   Zobraziť výsledokSkryť výsledok
7. \(\myint{\frac{4x^2+8x-8 }{x^3-4x }} \)
   Výsledok: \(\ln \left|\dfrac{x^2(x-2)^3}{x+2}\right| +C \)

   Zobraziť výsledokSkryť výsledok
8. \(\myint{\frac{ x-1}{(x+1)(x+2)^2 }} \)
   Výsledok: \(2\ln \left|\dfrac{x+2}{x+1}\right|-\dfrac{3}{x+2} +C \)

   Zobraziť výsledokSkryť výsledok
9. \(\myint{\frac{6x^2-22x+18 }{(x-1)(x^2-5x+6) }} \)
   Výsledok: \(\ln\left|(x-1)(x-2)^2(x-3)^3\right| +C \)

   Zobraziť výsledokSkryť výsledok
10. \(\myint{\frac{2x^2+3x+3 }{(x+2)(x^2-9) }} \)
    Výsledok: \( \ln \left|\dfrac{(x-3)(x+3)^2}{x+2}\right|+C \)

    Zobraziť výsledokSkryť výsledok
11. \(\myint{\frac{-2x+12 }{(x-2)(x^2-4) }} \)
    Výsledok: \(\ln \left|\dfrac{x+2}{x-2}\right|-\dfrac{2}{x-2} +C \)

    Zobraziť výsledokSkryť výsledok
12. \(\myint{\frac{-2x^2+3x-9 }{x^3-3x^2 }} \)
    Výsledok: \(-\dfrac{3}{x}-2\ln |x-3| +C \)

    Zobraziť výsledokSkryť výsledok
13. \(\myint{\frac{ x^2+4x-2}{ x^3-x^2}} \)
    Výsledok: \(\ln \left|\dfrac{(x-1)^3}{x^2}\right|-\dfrac{2}{x} +C \)

    Zobraziť výsledokSkryť výsledok
14. \(\myint{\frac{4x^2+6x+4 }{x^3+2x^2+x }} \)
    Výsledok: \(4\ln|x|+\dfrac{2}{x+1} +C \)

    Zobraziť výsledokSkryť výsledok
15. \(\myint{\frac{x^2-1 }{x^3+x }} \)
    Výsledok: \(\ln \left|\dfrac{x^2+1}{x}\right| +C \)

    Zobraziť výsledokSkryť výsledok
16. \(\myint{\frac{5x^2-4x+2 }{(x-1)(x^2+2) }} \)
    Výsledok: \(\ln \left|(x-1)(x^2+2)^2\right| +C \)

    Zobraziť výsledokSkryť výsledok
17. \(\myint{\frac{3x^2+6 }{x^3+3x }} \)
    Výsledok: \(\ln\left|x^2\sqrt{ x^2+3}\right| +C \)

    Zobraziť výsledokSkryť výsledok
18. \(\myint{\frac{(x+1)^3 }{x^2-x }} \)
    Výsledok: \(\dfrac{x^2}{2}+4x-\ln|x|+8\ln|x-1| +C \)

    Zobraziť výsledokSkryť výsledok
19. \(\myint{\frac{2x^3-x^2-3x+6 }{x^2-1 }} \)
    Výsledok: \(x^2-x+\ln \left|\dfrac{(x-1)^2}{(x+1)^3}\right| +C \)

    Zobraziť výsledokSkryť výsledok
20. \(\myint{\frac{x^3+3x^2-3x-17 }{x^2+x-12 }} \)
    Výsledok: \(\dfrac{x^2}{2}+2x+\ln \left|(x-3)^4(x+4)^3\right| +C \)

    Zobraziť výsledokSkryť výsledok
21. \(\myint{\frac{ x^2+11x+33}{x^2+9x+20 }} \)
    Výsledok: \(x+\ln \left|\dfrac{(x+4)^5}{(x+5)^3}\right| +C \)

    Zobraziť výsledokSkryť výsledok
22. \(\myint{\frac{x^4+8x-8 }{x^3-4x }} \)
    Výsledok: \(\dfrac{x^2}{2}+\ln \left|\dfrac{x^2(x-2)^3}{x+2}\right| +C \)

    Zobraziť výsledokSkryť výsledok
23. \(\myint{\frac{-x^3+12x+21 }{(x+2)(x^2-9) }} \)
    Výsledok: \(-x+\ln \left|\dfrac{(x-3)(x+3)^2}{x+2}\right| +C \)

    Zobraziť výsledokSkryť výsledok
24. \(\myint{\frac{x^4-5x^3+4x^2+3x-9 }{x^3-3x^2 }} \)
    Výsledok: \(\dfrac{x^2}{2}-2x-\dfrac{3}{x}-2\ln |x-3| +C \)

    Zobraziť výsledokSkryť výsledok
25. \(\myint{\frac{9x-14 }{ 9x^2-24x+16}} \)
    Výsledok: \(\dfrac{2}{9x-12}+\ln \left|x-\dfrac{4}{3}\right| +C \)

    Zobraziť výsledokSkryť výsledok
26. \(\myint{\frac{5x^3+9x^2-22x-8 }{x^3-4x }} \)
    Výsledok: \(5x+2\ln|x|+3\ln|x-2|+4\ln|x+2| +C \)

    Zobraziť výsledokSkryť výsledok
27. \(\myint{\frac{1 }{x^2-x+1 }} \)
    Výsledok: \(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\arctg\dfrac{2x-1}{\sqrt{3}} +C \)

    Zobraziť výsledokSkryť výsledok
28. \(\myint{\frac{ 1}{x^2+x+2 }} \)
    Výsledok: \(\dfrac{2}{\sqrt{7}}\arctg\dfrac{2x+1}{\sqrt{7}} +C \)

    Zobraziť výsledokSkryť výsledok
29. \(\myint{\frac{ 1}{x^2+x+1 }} \)
    Výsledok: \(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\arctg\dfrac{2x+1}{\sqrt{3}} +C \)

    Zobraziť výsledokSkryť výsledok
30. \(\myint{\frac{1 }{x^2-2x+2 }} \)
    Výsledok: \(\arctg(x-1) +C \)

    Zobraziť výsledokSkryť výsledok
31. \(\myint{\frac{ 1}{x^2-2x+5 }} \)
    Výsledok: \(\dfrac{1}{2}\arctg\dfrac{x-1}{2} +C \)

    Zobraziť výsledokSkryť výsledok
32. \(\myint{\frac{1 }{x^3+1 }} \)
    Výsledok: \(\dfrac{1}{3}\ln|x+1|-\dfrac{1}{6}\ln\left|x^2-x+1\right|+\dfrac{\sqrt{3}}{3}\arctg\dfrac{2x-1}{\sqrt{3}} +C \)

    Zobraziť výsledokSkryť výsledok
33. \(\myint{\frac{x^3+x-1 }{x(x^2+1) }} \)
    Výsledok: \(x+\ln\dfrac{\sqrt{ x^2+1}}{|x|} +C \)

    Zobraziť výsledokSkryť výsledok
34. \(\myint{\frac{1 }{x^3+x^2+x }} \)
    Výsledok: \(\ln|x|-\dfrac{1}{2}\ln\left|x^2+x+1\right|-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\arctg\dfrac{2x-1}{\sqrt{3}} +C \)

    Zobraziť výsledokSkryť výsledok
35. \(\myint{\frac{x^4+1 }{x^3-x^2+x-1 }} \)
    Výsledok: \(\dfrac{x^2}{2}+x+\ln|x-1|-\dfrac{1}{2}\ln(x^2+1)-\arctg x +C \)

    Zobraziť výsledokSkryť výsledok
36. \(\myint{\frac{x }{x^3+9x^2+23x+15 }} \)
    Výsledok: \(-\dfrac{1}{8}\ln|x+1|-\dfrac{5}{8}\ln|x+5|+\dfrac{3}{4}\ln|x+3| +C \)

    Zobraziť výsledokSkryť výsledok
37. \(\myint{\frac{x^4+1 }{x^2(x-1)(x+1)^2 }} \)
    Výsledok: \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+1}+\ln|x|+\dfrac{1}{2}\ln\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right| +C \)

    Zobraziť výsledokSkryť výsledok
38. \(\myint{\frac{x^4+1 }{x^3-x^2+x-1 }} \)
    Výsledok: \(\dfrac{x^2}{2}+x+\ln|x-1|-\dfrac{1}{2}\ln\left|x^2+1\right|-\arctg x +C \)

    Zobraziť výsledokSkryť výsledok
39. \(\myint{\frac{x^2+3x+2 }{x^2+x+2 }} \)
    Výsledok: \(x+\ln\left|x^2+x+2\right|-\dfrac{2}{\sqrt{7}}\arctg\dfrac{2x+1}{\sqrt{7}} +C \)

    Zobraziť výsledokSkryť výsledok
40. \(\myint{\frac{x^2-2x+1 }{(x^2-2x+2)(x^2-2x+5) }} \)
    Výsledok: \(\dfrac{2}{3}\arctg\dfrac{x-1}{2}-\dfrac{1}{3}\arctg(x-1) +C \)

    Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha: Vypočítajte nasledujúce integrály funkcií obsahujúcich lineárnu iracionalitu:
1. \(\myint{\frac{\sqrt{1-x}}{x}} \)
   Výsledok: \(2\sqrt{1-x}-\ln\left|\dfrac{1+\sqrt{1-x}}{1-\sqrt{1-x}}\right|+C \)

   Zobraziť výsledokSkryť výsledok
2. \(\myint{\frac{ x}{ \sqrt{2x+1}}} \)
   Výsledok: \(\dfrac{1}{6}\sqrt{(2x+1)^3}-\dfrac{1}{2}\sqrt{ 2x+1} +C \)

   Zobraziť výsledokSkryť výsledok
3. \(\myint{\frac{x-1 }{\sqrt[3]{x+1} }} \)
   Výsledok: \(\dfrac{3}{5}\sqrt[3]{(x+1)^5}-3\sqrt[3]{(x+1)^2} +C \)

   Zobraziť výsledokSkryť výsledok
4. \(\myint{\frac{3x+1 }{\sqrt[3]{3x-2} }} \)
   Výsledok: \(\dfrac{1}{5}\sqrt[3]{(3x-2)^5}+\dfrac{3}{2}\sqrt[3]{(3x-2)^2} +C \)

   Zobraziť výsledokSkryť výsledok
5. \(\myint{\frac{\sqrt{x+1} }{x }} \)
   Výsledok: \(2\sqrt{x+1}-\ln\left|\dfrac{1+\sqrt{x+1}}{1-\sqrt{x+1}}\right| +C \)

   Zobraziť výsledokSkryť výsledok
6. \(\myint{\frac{1 }{\sqrt{x}+\sqrt[4]{x} }} \)
   Výsledok: \(2\sqrt{x}-4\sqrt[4]{x}+4\ln\left|\sqrt[4]{x}+1\right| +C \)

   Zobraziť výsledokSkryť výsledok
7. \(\myint{\frac{\sqrt[3]{x} }{x(\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}) }} \)
   Výsledok: \(6\ln\left|\sqrt[6]{x}\right|-6\ln\left|\sqrt[6]{x}+1\right| +C \)

   Zobraziť výsledokSkryť výsledok
8. \(\myint{\frac{ \sqrt{2x-1}}{3-\sqrt{2x-1} }} \)
   Výsledok: \(\dfrac{1}{2}(1-2x)+3\sqrt{2x-1}-9\ln \left|\sqrt{2x-1}-3\right| +C \)

   Zobraziť výsledokSkryť výsledok
9. \(\myint{\frac{\sqrt[3]{3x+4} }{1+\sqrt[3]{3x+4} }} \)
   Výsledok: \(\dfrac{1}{3}(3x+4)-\dfrac{1}{2}\sqrt[3]{(3x+4)^2}+\sqrt[3]{ 3x+4}-\ln\left|\sqrt[3]{ 3x+4}+1\right| +C \)

   Zobraziť výsledokSkryť výsledok
10. \(\myint{\frac{4x+5\sqrt{x+2} }{\sqrt[3]{ (x+2)^2} }} \)
    Výsledok: \(3\sqrt[3]{(x+2)^4}+6\sqrt[6]{(x+2)^5}-24\sqrt[3]{ x+2} +C \)

    Zobraziť výsledokSkryť výsledok
11. \(\myint{\frac{ x}{x+\sqrt{x} }} \)
    Výsledok: \(x-2\sqrt{x}+2\ln\left|\sqrt{x}+1\right| +C \)

    Zobraziť výsledokSkryť výsledok
12. \(\myint{\frac{1-\sqrt{x} }{\sqrt{x}(1+\sqrt{x}) }} \)
    Výsledok: \(4\ln\left|\sqrt{x}+1\right|-2\sqrt{x} +C \)

    Zobraziť výsledokSkryť výsledok
13. \(\myint{\frac{1 }{1+\sqrt[3]{x} }} \)
    Výsledok: \(\dfrac{3}{2}\sqrt[3]{ x^2}-3\sqrt[3]{x}+3\ln \left|\sqrt[3]{x}+1\right| +C \)

    Zobraziť výsledokSkryť výsledok
14. \(\myint{\frac{ \sqrt[3]{x}}{x+\sqrt[6]{ x^5} }} \)
    Výsledok: \(3\sqrt[3]{x}-6\sqrt[6]{x}+6\ln\left|\sqrt[6]{x}+1\right| +C \)

    Zobraziť výsledokSkryť výsledok
15. \(\myint{\frac{\sqrt[6]{x}-1 }{\sqrt[3]{ x^4}+\sqrt[4]{ x^5} }} \)
    Výsledok: \(\dfrac{4}{\sqrt[4]{x}}-\dfrac{6}{\sqrt[6]{x}} +C \)

    Zobraziť výsledokSkryť výsledok
16. \(\myint{\frac{\sqrt{x}+\sqrt[4]{x}+\sqrt[3]{x} }{x+\sqrt[6]{x^7} }} \)
    Výsledok: \(3\sqrt[3]{x}+12\sqrt[12]{x}-12\sqrt[12]{x} +C \)

    Zobraziť výsledokSkryť výsledok
17. \(\myint{\frac{(x-1)\sqrt[3]{x+1} }{x-1+\sqrt[3]{x+1} }} \)
    Výsledok: \(\dfrac{3}{8}\big(2\heartsuit^4-12\heartsuit^2-2\ln|\heartsuit-1|+\ln\left|\heartsuit^2+\heartsuit+2\right|\big)+\dfrac{27}{4\sqrt{7}}\arctg \dfrac{2\heartsuit+1}{\sqrt{7}}+C\), kde \(\heartsuit=\sqrt[3]{x+1}\)

    Zobraziť výsledokSkryť výsledok
18. \(\myint{\frac{x^2 }{(5x+2)\sqrt{ 5x+2} }} \)
    Výsledok: \(\dfrac{2}{125}\sqrt{5x+2}\left(\dfrac{5x+2}{3}-4-\dfrac{4}{5x+2}\right) +C \)

    Zobraziť výsledokSkryť výsledok

Doplňujúce zdroje

1. Stránka predmetu Matematika 1 .
2. Molnárová, Myšková: Úvod do lineárnej algebry .
3. Džurina, Grinčová, Pirč: Úvod do predmetu Matematika 1 .
4. Baculíková, Grinčová: Matematika 1. Vzorové a neriešené úlohy .