Polynómy a racionálne funkcie

Ciele

1. Zopakovať si delenie polynómu polynómom.
2. Naučiť sa rozkladať polynóm na súčin koreňových činiteľov s využitím Hornerovej schémy.
3. Naučiť sa rozkladať rýdzoracionálnu funkciu na súčet elementárnych zlomkov nad poľom \(\mathbb{R}\).
4. Naučiť sa rozkladať racionálnu funkciu na súčet elementárnych zlomkov nad poľom \(\mathbb{R}\).

Úvod

Rozklad racionálnej funkcie na súčet elementárnych zlomkov sa využíva napríklad pri výpočte integrálov racionálnych funkcií a tiež pri určovaní spätnej Laplaceovej transformácie, ktorá sa využíva napríklad v teórii riadenia. Samotný rozklad sa dá rozdeliť na nasledujúce kroky: \(\def\a{&}\)
1. rozklad všeobecnej racionálnej funkcie na súčet polynómu a rýdzoracionálnej funkcie pomocou delenia polynómov;
2. rozklad menovateľa rýdzoracionálnej funkcie – polynómu – na súčin koreňových činiteľov;
3. vypísanie tvaru rozkladu rýdzoracionálnej funkcie na súčet elementárnych zlomkov a určenie neznámych koeficientov;

Postup

1. Úloha rozkladu sa dá sformulovať nasledujúcim spôsobom:

   Úloha: Racionálnu funkciu \begin{equation}\label{RF} R(x)={{2\,x^4-11\,x^3-15\,x^2+95\,x+9}\over{x^3-5\,x^2-9\,x+45}} \end{equation} rozložme na súčet parciálnych (elementárnych) zlomkov nad poľom \(\mathbb{R}\), teda v rámci množiny reálnych čísel.

   Poznámka: Budeme najprv riešiť podúlohy rozkladu racionálnej funkcie na elementárne zlomky a postupne vyriešime úlohy zo všetkých cieľových oblastí uvedené v bodoch 1 – 4.

   Keďže stupeň 4 polynómu v čitateli racionálnej funkcie \eqref{RF} nie je menší ako stupeň 3 polynómu v menovateli, pomocou delenia rozložíme funkciu \(R(x)\) na súčet polynómu a rýdzoracionálnej funkcie.

   Príklad: Vykonajme delenie polynómu \(2\,x^4-11\,x^3-15\,x^2+95\,x+9\) polynómom \(x^3-5\,x^2-9\,x+45\).

   Riešenie: Delenie vykonáme podľa nasledujúcej schémy, pričom v jednotlivých krokoch najprv delíme člen odpovedajúci najväčšej mocnine zvyšku delenca členom s najvyššou mocninou deliteľa, ďalej vypočítame príslušný násobok deliteľa a odpočítame ho od delenca. \[ \begin{array}{l} (2\,x^4-11\,x^3-15\,x^2+95\,x+9):(x^3-5\,x^2-9\,x+45)=2\,x-1\\[1mm] -(2\,x^4-10\,x^3-18\,x^2+90\,x)\\ \hline -x^3+3\,x^2+5\,x+9 \\ -(-x^3+5\,x^2+9\,x-45)\\ \hline -2\,x^2-4\,x+54 \end{array} \] Keďže zvyšok po delení je \(-2\,x^2-4\,x+54\), môžeme napísať: \[R(x)={{2\,x^4-11\,x^3-15\,x^2+95\,x+9}\over{x^3-5\,x^2-9\,x+45}}= 2\,x-1+{{-2\,x^2-4\,x+54}\over{x^3-5\,x^2-9\,x+45}}\].

   Zobraziť riešenieSkryť riešenie

   Ďalej sa budeme venovať rozkladu rýdzoracionálnej funkcie \[R_1(x)={{-2\,x^2-4\,x+54}\over{x^3-5\,x^2-9\,x+45}}\] na súčet elementárnych zlomkov.
2. Rozklad rýdzoracionálnej funkcie \(R_1(x)\) sa začína rozkladom jej menovateľa na súčin koreňových činiteľov.

   Príklad: Rozložme polynóm \(x^3-5\,x^2-9\,x+45\) na súčin koreňových činiteľov.

   Riešenie: Je teda potrebné určiť korene rovnice \[x^3-5\,x^2-9\,x+45=0.\] Keďže táto rovnica je kubická (tretieho rádu) a nepredpokladáme, že ovládame Cardanove vzorce na jej riešenie, využijeme vetu o racionálnych koreňoch algebrickej rovnice s celočíselnými koeficientami. Ak má daná rovnica racionálny koreň \(\alpha\), jeho čitateľ musí byť deliteľom absolútneho člena 45 a menovateľ deliteľom koeficientu pri najvyššej mocnine, ktorý je rovný 1. Teda možné racionálne korene sú \(\pm1\), \(\pm3\), \(\pm5\), \(\pm9\), \(\pm15\) a \(\pm45\). Tieto môžeme overiť dosadením do ľavej strany rovnice. Na to je veľmi efektívne použitie Hornerovej schémy, ktorá vychádza z nasledujúceho zápisu polynómu 3. stupňa: \[a_3\,x^3+a_2\,x^2+a_1\,x+a_0=((((a_3)\cdot x+a_2)\cdot x+a_1)\cdot x+a_0).\] Vnútorná zátvorka sa rovná koeficientu \(a_3\) a postupne dostávame ďalšie zátvorky násobením premennou \(x\) a pridaním ďalšieho koeficienta. Výsledky (hodnoty zátvoriek) je vhodné zapisovať do tabuľky, v prípade, ak sa posledná zátvorka nerovná 0, výpočet opakujeme. \[ \begin{array}{r|c|c|c|l} \a 1 \a -5 \a -9 \a 45 \\ \hline x=-1 \a 1 \a -6 \a -3 \a 48\not=0 \\ \hline x=1 \a 1 \a -4 \a -13 \a 32\not=0 \\ \hline x=3 \a 1 \a -2 \a -15 \a 0 \\ \hline \end{array} \] Posledný riadok tabuľky ukazuje, že \(x_1=3\) je koreňom polynómu \(P(x)=x^3-5\,x^2-9\,x+45=0\). Navyše, keď si pozornejšie všimneme výsledky v poslednom stĺpci 2. a 3. riadku, môžeme sa rozhodnúť, že treba ísť smerom k väčším hodnotám \(x\), keďže hodnota polynómu pri väčšej hodnote \(x\) je bližšie k nule.
   
   Ale Hornerova schéma nám ponúka ešte ďalší výsledok: v poslednom riadku sú totiž koeficienty polynómu, ktorý vzniká pri delení polynómu \(P(x)\) koreňovým činiteľom \(x-3\): \[ P(x)=x^3-5\,x^2-9\,x+45=(x-3)(x^2-2\,x-15). \] Na dokončenie rozkladu nám už stačí vyriešiť kvadratickú rovnicu \[ x^2-2\,x-15=0. \] Dostávane \[ x_{2,3}=\frac{2\pm\sqrt{4+60}}{2}=\frac{2\pm8}{2}=1\pm4, \] a teda \(x_2=-3\) a \(x_3=5\). Na záver vypíšeme výsledok rozkladu polynómu \(P(x)\) na súčin koreňových činiteľov. \[ P(x)=(x-3)(x-(-3))(x-5)=(x-3)(x+3)(x-5). \]

   Zobraziť riešenieSkryť riešenie
3. Teraz môžeme pristúpiť k riešeniu úlohy rozkladu rýdzoracionálnej funkcie na súčet parciálnych zlomkov.

   Príklad: Rozložme rýdzoracionálnu funkciu \[R_1(x)= {{-2\,x^2-4\,x+54}\over{x^3-5\,x^2-9\,x+45}}\] na súčet elementárnych zlomkov.

   Riešenie: Na základe riešenia predchádzajúcej úlohy o rozklade polynómu na súčin koreňových činiteľov máme: \[R_1(x)= {{-2\,x^2-4\,x+54}\over{x^3-5\,x^2-9\,x+45}}=\frac{-2\,x^2-4\,x+54}{(x-3)(x+3)(x-5)}\] Ak si uvedomíme, v čom spočíva úprava súčtu zlomkov na spoločného menovateľa, je celkom prirodzené, že je možné sa pokúsiť rozložiť funkciu \(R_1(x)\) na súčet jednoduchých zlomkov v nasledujúcom tvare: \begin{equation}\label{RSZ} R_1(x)= \frac{-2\,x^2-4\,x+54}{(x-3)(x+3)(x-5)}= \frac{A}{x-3}+ \frac{B}{x+3}+ \frac{C}{x-5}, \end{equation} kde \(A\), \(B\) a \(C\) sú neznáme koeficienty (metóda sa tiež nazýva metóda neurčitých koeficientov).
   
   Najprv uveďme jednoduchý spôsob určenia neznámych koeficientov (zakrývaciu metódu) a potom ho podrobnejšie vysvetlíme.
   
   Ak chceme určiť koeficient nad menovateľom \(x-\alpha\), tak v strednej časti \eqref{RSZ} zakryjeme v menovateli zátvorku \((x-\alpha)\) a do výrazu dosadíme \(x=\alpha\). Dostávame: \[ A=\frac{-2\cdot 3^2-4\cdot 3+54}{\phantom{(x-3)}(3+3)\cdot(3-5)}=-\frac{24}{12}=-2, \] podobne \[ B=\frac{-2\cdot (-3)^2-4\cdot (-3)+54}{(-3-3)\phantom{(3+3)}\cdot(-3-5)}=\frac{48}{48}=1, \] \[ C=\frac{-2\cdot 5^2-4\cdot 5+54}{(5-3)\cdot(5+3)\phantom{(-3-5)}}=-\frac{16}{16}=-1. \] Súčet koeficientov sa má rovnať koeficientu čitateľa pri \(x^2\), čo môžeme použiť na kontrolu (ne)správnosti riešenia. Zdá sa, že všetko je v poriadku, pretože \(-2=-2+1-1\).
   
   Teda \[ R_1(x)= \frac{-2\,x^2-4\,x+54}{(x-3)(x+3)(x-5)}= \frac{-2}{x-3}+ \frac{1}{x+3}+ \frac{-1}{x-5}, \] Riešenie môžeme dostať dosadzovacou metódou nasledujúcim spôsobom. Ak rovnicu \eqref{RSZ} vynásobíme spoločným menovateľom \((x-3)(x+3)(x-5)\), dostaneme rovnicu: \[ -2\,x^2-4\,x+54=A\cdot (x+3)(x-5) + B\cdot (x-3)(x-5)+ C\cdot (x-3)(x+3), \] ktorá musí platiť pre všetky \(x\in\mathbb{R}\), keďže vyjadruje rovnosť polynómov. Ak postupne do rovnice dosadíme korene menovateľa (mohli by sme dosadiť aj hocijaké tri rôzne reálne čísla), dostávame: \[ x=3:\qquad -2\cdot 3^2-4\cdot 3+54 = 24 = A\cdot(3+3)(3-5) \quad\Longrightarrow\quad A=-2, \] \[ x=-3:\qquad -2\cdot (-3)^2-4\cdot (-3)+54 = 48 = B\cdot(-3-3)(-3-5) \quad\Longrightarrow\quad B=1, \] \[ x=5:\qquad -2\cdot 5^2-4\cdot 5+54 = -16 = C\cdot(5-3)(5+3) \quad\Longrightarrow\quad C=-1. \]

   Zobraziť riešenieSkryť riešenie

   Poznámka: Je zrejmé, že v tomto prípade sú obidve metódy ekvivalentné, dosadzovacia metóda je však vhodná na použitie aj v prípade viacnásobných alebo komplexných koreňov.
4. Na záver možeme zhrnúť jednotlivé úlohy sformulované a riešené v predchádzajúcich krokoch do riešenia nasledujúcej úlohy rozkladu všeobecnej racionálnej funkcie \eqref{RF} na súčet elementárnych zlomkov:

   Príklad: Racionálnu funkciu \[ R(x)={{2\,x^4-11\,x^3-15\,x^2+95\,x+9}\over{x^3-5\,x^2-9\,x+45}} \] rozložme na súčet parciálnych (elementárnych) zlomkov nad poľom \(\mathbb{R}\), teda v rámci množiny reálnych čísel.

   Riešenie: Poskladaním výsledkov riešení predchádzjúcich úloh dostávame záverečné riešenie úlohy rozkladu v tvare: \begin{equation}\label{RRF} R(x)={{2\,x^4-11\,x^3-15\,x^2+95\,x+9}\over{x^3-5\,x^2-9\,x+45}} =2\,x-1-\frac{2}{x-3}+ \frac{1}{x+3}-\frac{1}{x-5}. \end{equation}

   Zobraziť riešenieSkryť riešenie

   Poznámka: Situácia pri rozklade racionálnej funkcie sa môže komplikovať okrem iného v prípade, ak má menovateľ funkcie násobné alebo komplexné korene. Ďalšie úlohy sú zamerané na tieto prípady.

   Príklad: Rozložte v \(\mathbb{R}\) na parciálne zlomky výraz \begin{equation}\label{RF2} {{2\,x^4+13\,x^3+4\,x^2-60\,x+4}\over{x^3+6\,x^2-32}}\cdot \end{equation}

   Riešenie: Keďže stupeň čitateľa nie je menší ako stupeň menovateľa, funkcia \eqref{RF2} nie je rýdzoracionálna a najprv je potrebné deliť čitateľa menovateľom. \[ \begin{array}{l} (2\,x^4+13\,x^3+4\,x^2-60\,x+4):(x^3+6\,x^2-32)=2\,x+1\\[1mm] -(2\,x^4+12\,x^3\qquad\ \, -64\,x)\\ \hline x^3+4\,x^2+4\,x+4 \\ -(x^3+6\,x^2-32)\\ \hline -2\,x^2+4\,x+36 \end{array} \] Ďalej pomocou Hornerovej schémy určíme koreň menovateľa funkcie \eqref{RF2}. Pritom si všimneme, že v menovateli chýba lineárny člen, a preto v prvom riadku Hornerovej schémy napíšeme koeficient 0. Podozrivé delitele koeficientu \(-32\) sú \(\pm1\), \(\pm2\), \(\pm4\), \(\pm8\), \(\pm16\) a \(\pm32\). \[ \begin{array}{r|c|c|c|l} \a 1 \a 6 \a 0 \a -32 \\ \hline x=1 \a 1 \a 7 \a 7 \a -25\not=0 \\ \hline x=2 \a 1 \a 8 \a 16 \a \phantom{-2}0 \\ \hline \end{array} \] Teda \(x_1=2\) je koreňom menovateľa a platí \[ x^3+6\,x^2-32=(x-2)(x^2+8\,x+16). \] Zvyšné korene určíme riešením kvadratickej rovnice \[ x^2+8\,x+16=0\qquad \Rightarrow \qquad x_{2,3}=\frac{-8\pm\sqrt{64-64}}{2}=-4. \] Menovateľ má teda dvojnásobný koreň \(x_{2,3}=-4\). Rozklad zvyšku po delení bude mať teraz nasledujúci tvar: \begin{equation}\label{RZ2} \frac{-2\,x^2+4\,x+36}{x^3+6\,x^2-32}=\frac{-2\,x^2+4\,x+36}{(x-2)(x+4)^2}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{(x+4)^2}+\frac{C}{x+4}\cdot \end{equation} Koeficienty \(A\) a \(B\) určíme zakrývacou metódou: \[ A=\frac{36}{6^2}=1, \qquad B=\frac{-12}{-6}=2. \] Koeficient \(C\) určíme napríklad z rovnice \(-2=A+C\), ktorú môžeme dostať, ak porovnáme koeficienty pri \(x^2\) v čitateľoch ľavej a pravej strany \eqref{RZ2}, po úprave pravej strany na spoločného menovateľa. Dostávame \(C=-3\). Teda výsledok môžeme napísať v nasledujúcom tvare.
   Záver: \[ {{2\,x^4+13\,x^3+4\,x^2-60\,x+4}\over{x^3+6\,x^2-32}}= 2\,x+1+{{1}\over{x-2}}+{{2}\over{\left(x+4\right)^2}}-{{3}\over{x+4}}\cdot \]

   Zobraziť riešenieSkryť riešenie

   Poznámka: Koeficient \(C\) sme mohli určiť aj pomocou ďalšej modifikácie dosadzovacej metódy, keď v rovnici \eqref{RZ2} dosadíme za \(x\) nejaké vhodné číslo, napríklad \(x=0\): \[ \frac{36}{-32}=-\frac{1}{2}+\frac{2}{16}+\frac{C}{4} \qquad\Rightarrow\qquad C=\frac{-36+16-4}{8}=\frac{-24}{8}=-3. \]

   Príklad: Rozložte v \(\mathbb{R}\) na parciálne zlomky výraz \begin{equation}\label{RF3} {{-x^4-7\,x^3-12\,x^2+4\,x+18}\over{x^3+7\,x^2+17\,x+15}}\,\cdot \end{equation}

   Riešenie: Úlohu riešime podobne ako predchádzajúcu. Keďže stupeň čitateľa nie je menší ako stupeň menovateľa, funkcia \eqref{RF3} nie je rýdzoracionálna a najprv je potrebné deliť čitateľa menovateľom. \[ \begin{array}{l} (-x^4-7\,x^3-12\,x^2+4\,x+18):(x^3+7\,x^2+17\,x+15)=-x\\[1mm] -(-x^4-7\,x^3-17\,x^2-15\,x)\\ \hline 5\,x^2+19\,x+18 \\ \end{array} \] Ďalej na rozklad menovateľa \eqref{RF3} použijeme Hornerovu schému, podozrivé korene - delitele koeficientu 15 – sú: \(\pm1\), \(\pm3\), \(\pm5\), \(\pm15\). Ak si však všimneme, že koeficienty polynómu v menovateli sú kladné, môžeme si uvedomiť, že žiadne kladné číslo nemôže byť koreňom, teda bude stačiť overiť len záporné čísla.

   Poznámka: Podobná úvaha sa týka aj vylúčenia záporných koreňov v prípade, ak sú koeficienty polynómu nenulové a ich znamienka sa striedajú. V prípade nulových koeficientov si treba potom všímať koeficienty pri párnych, resp. nepárnych mocninách premennej \(x\).

   \[ \begin{array}{r|c|r|r|l} \a 1 \a 7 \a 17 \a 15 \\ \hline x=-1 \a 1 \a 6 \a 11 \a 4 \not=0 \\ \hline x=-3 \a 1 \a 4 \a 5 \a 0 \\ \hline \end{array} \] Teda \(x_1=-3\) je koreňom menovateľa a platí \[ x^3+7\,x^2+17\,x+15=(x+3)(x^2+4\,x+5). \] Zvyšné korene určíme riešením kvadratickej rovnice \[ x^2+4\,x+5=0\qquad \Rightarrow \qquad x_{2,3}=\frac{-4\pm\sqrt{16-20}}{2}=-2\pm \mathrm{i}\not\in\mathbb{R}. \] Keďže korene \(x_{2,3}\) nie sú reálne, kvadratický trojčlen nerozkladáme, pretože rozklad riešime nad poľom \(\mathbb{R}\).
   
   Rozklad zvyšku po delení bude mať teraz nasledujúci tvar: \begin{equation}\label{RZ3} \frac{5\,x^2+19\,x+18}{x^3+7\,x^2+17\,x+15}=\frac{5\,x^2+19\,x+18}{(x+3)(x^2+4\,x+5)}=\frac{A}{x+3}+\frac{B\,x+C}{x^2+4\,x+5}\cdot \end{equation} Koeficient \(A\) určíme zakrývacou metódou (na určenie hodnoty čitateľa pre \(x_1=-3\) je tiež možné použiť Hornerovu schému): \[ A=\frac{6}{2}=3, \] Koeficient \(B\) určíme napríklad z rovnice \(5=A+B\), ktorú môžeme dostať, ak porovnáme koeficienty pri \(x^2\) v čitateľoch ľavej a pravej strany \eqref{RZ3}, po úprave pravej strany na spoločného menovateľa. Dostávame \(B=2\). Nakoniec môžeme v rovnosti \eqref{RZ3}, napríklad, dosadiť \(x=0\). Dostávame \[ \frac{18}{15}=\frac{6}{5}=\frac{3}{3}+\frac{C}{5}=1+\frac{C}{5}=\frac{5}{5}+\frac{C}{5}\cdot \] Teda \(C=1\) a celkový výsledok môžeme napísať v nasledujúcom tvare: \[ {{-x^4-7\,x^3-12\,x^2+4\,x+18}\over{x^3+7\,x^2+17\,x+15}}={{3}\over{x+3}}+{{2\,x+1}\over{x^2+4\,x+5}}-x \]

   Zobraziť riešenieSkryť riešenie

   Príklad: Rozložme nad \(\mathbb{R}\) funkciu \begin{equation}\label{RF4} {{240\,x^2+86}\over{48\,x^3+40\,x^2-21\,x-18}} \end{equation}

   Riešenie: Funkcia \eqref{RF4} je rýdzoracionálna a teda začneme rozkladom menovateľa na súčin koreňových činiteľov. Keďže koeficient 48 pri najvyššej mocnine \(x\) v menovateli nie je rovný 1, menovateľ môže mať aj neceločíselné racionálne korene. Navyše v tomto prípade je situácia komplikovaná aj tým, že počet podozrivých koreňov je vysoký. Koreňmi môžu byť racionálne čísla, ktorých absolútna hodnota je racionálne číslo v tvare \(r=p/q\), pričom \(p\in \{1,2,3,6,9,18\}\) a \(q\in \{1,2,3,4,6,8,12,16,24,48\}\). Prezradíme preto, že menovateľ nemá celočíselné korene (tým sa však počet možných menovateľov \(q\) zmenší len o \(q=1\)).
   
   Skúsime teda overovať racionálne neceločíselné korene pomocou Hornerovej schémy (ake poradie by ste skúsili vy?): \[ \begin{array}{r|c|r|r|l} \a 48 \a 40 \a -21 \a -18 \\ \hline x=1/2 \a 48 \a 64 \a 11 \a -25/2=-12\frac{1}{2}\not=0 \\ \hline x=1/3 \a 48 \a 56 \a -7/3 \a -18\frac{7}{9} \not=0 \\ \hline x=2/3 \a 48 \a 72 \a 27 \a 0 \\ \hline \end{array} \] Teda sme našli koreň \(x_1=\dfrac{2}{3}\) a ostatné korene určíme riešením kvadratickej rovnice \[ 48\,x^2+72\,x+27=0 \qquad\Leftrightarrow\qquad 16\,x^2+24\,x+9=0. \] \[ x_{2,3}=\frac{-24\pm\sqrt{24\cdot24-4\cdot9\cdot16}}{32}=\frac{-24\pm\sqrt{9\cdot64-4\cdot9\cdot16}}{32}=-\frac{24}{32}=-\frac{3}{4}\cdot \] Rozklad funkcie \eqref{RF4} teda budeme určovať v tvare \[ \frac{240\,x^2+86}{48\,x^3+40\,x^2-21\,x-18}=\frac{240\,x^2+86}{48(x-2/3)(x+3/4)^2}=\frac{240/48\,x^2+86/48}{(x-2/3)(x+3/4)^2}= \] \begin{equation}\label{RZ4} =\frac{5\,x^2+43/24}{(x-2/3)(x+3/4)^2}=\frac{A}{x-2/3}+\frac{B}{(x+3/4)^2}+\frac{C}{x+3/4}\cdot \end{equation} Koeficienty \(A\) a \(B\) uríme zakrývacou metódou a koeficient \(C\) určíme z rovnice \(5=A+C\): \[ A=\frac{20/9+43/24}{(2/3+3/4)^2}=\frac{289/72}{(17/12)^2}=2, \quad C=3, \quad B=\frac{45/16+43/24}{-3/4-2/3}=-\frac{221/48}{17/12}=-\frac{13}{4}\cdot \] Záver: \[ {{240\,x^2+86}\over{48\,x^3+40\,x^2-21\,x-18}} =\frac{2}{x-2/3}+\frac{13/4}{(x+3/4)^2}+\frac{3}{x+3/4}=\frac{6}{3\,x-2}+\frac{52}{(4\,x+3)^2}+\frac{12}{4\,x+3}\cdot \]

   Zobraziť riešenieSkryť riešenie

Doplňujúce úlohy

Úloha: Rozložte v \(\mathbb{R}\) na parciálne zlomky výraz \[ {{2\,x^4+3\,x^3-52\,x^2-115\,x+34}\over{x^3+2\,x^2-23\,x-60}}\cdot \]
Výsledok: \(-{{2}\over{x+4}}+{{1}\over{x+3}}+2\,x-{{3}\over{x-5}}-1\)
Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha: Rozložte v \(\mathbb{R}\) na parciálne zlomky výraz \[ {{x-1}\over{x^5+5\,x^4+9\,x^3+5\,x^2-8\,x-12}}\cdot \]
Výsledok: \(-{{2\,x+3}\over{9\,\left(x^2+2\,x+3\right)}}+{{2}\over{9\,\left(x+2 \right)}}+{{1}\over{3\,\left(x+2\right)^2}}\)
Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha: Rozložte v \(\mathbb{R}\) na parciálne zlomky výraz \[ \frac{2p^3+6p^2+p-11}{p^3+3p^2-4}\cdot \]
Výsledok: \( {{2}\over{9\,\left(p+2\right)}}+{{5}\over{3\,\left(p+2\right)^2}}- {{2}\over{9\,\left(p-1\right)}}+2 \)
Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha: Rozložte v \(\mathbb{R}\) na parciálne zlomky výraz \[ \frac{z-4}{z^3+3z^2-9z-27}\cdot \]
Výsledok: \( {{1}\over{36\,\left(z+3\right)}}+{{7}\over{6\,\left(z+3\right)^2}}- {{1}\over{36\,\left(z-3\right)}} \)
Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha: Rozložte v \(\mathbb{R}\) na parciálne zlomky výraz \[ \frac{2s^2-1}{s^3-7s^2+32s-60} \cdot \]
Výsledok: \( {{s+7}\over{s^2-4\,s+20}}+{{1}\over{s-3}} \)
Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha: Rozložte v \(\mathbb{R}\) na parciálne zlomky výraz \[ \frac{4-3x^2}{x^3-12x^2+48x-64} \cdot \]
Výsledok: \( -{{3}\over{x-4}}-{{24}\over{\left(x-4\right)^2}}-{{44}\over{\left(x -4\right)^3}} \)
Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha: Rozložte v \(\mathbb{R}\) na parciálne zlomky výraz \[ \frac{p(2p+9)}{p^3+4p^2-12p-80} \cdot \]
Výsledok: \( {{p+5}\over{p^2+8\,p+20}}+{{1}\over{p-4}} \)
Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha: Rozložte v \(\mathbb{R}\) na parciálne zlomky výraz \[ \frac{(z+3)(2z+6)}{z^3+15z^2+79z+145}\cdot \]
Výsledok: \( {{2}\over{z+5}}-{{8}\over{z^2+10\,z+29}} \)
Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha: Rozložte v \(\mathbb{R}\) na parciálne zlomky výraz \[ \frac{s^4+3s^3-3s-3}{s^3+3s^2-4}\cdot \]
Výsledok: \( {{2}\over{9\,\left(s+2\right)}}+{{5}\over{3\,\left(s+2\right)^2}}+s -{{2}\over{9\,\left(s-1\right)}} \)
Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha: Rozložte v \(\mathbb{R}\) na parciálne zlomky výraz \[ {{33\,x-51-3\,x^2}\over{x^3+4\,x^2-9\,x+18}}\cdot \]
Výsledok: \( {{4\,x-5}\over{x^2-2\,x+3}}-{{7}\over{x+6}} \)
Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha: Rozložte v \(\mathbb{R}\) na parciálne zlomky výraz \[ {{p^2+2\,p-7}\over{p^3+17\,p^2+95\,p+175}}\cdot \]
Výsledok: \( {{7}\over{p+7}}-{{6}\over{p+5}}+{{4}\over{\left(p+5\right)^2}} \)
Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha: Rozložte v \(\mathbb{R}\) na parciálne zlomky výraz \[ {{s^4-9\,s^3+57\,s^2-133\,s+198}\over{s^3-8\,s^2+46\,s-68}}\cdot \]
Výsledok: \( {{3-s}\over{s^2-6\,s+34}}+s+{{4}\over{s-2}}-1 \)
Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha: Rozložte v \(\mathbb{R}\) na parciálne zlomky výraz \[ {{3x^4+x^3+7\,x^2-16\,x+13}\over{x^3+x^2+3\,x-5}}\cdot \]
Výsledok: \( {{2-x}\over{x^2+2\,x+5}}+3\,x+{{1}\over{x-1}}-2 \)
Zobraziť výsledokSkryť výsledok

Doplňujúce zdroje

1. Stránka predmetu Matematika 1 .
2. Učebnica Lineárna algebra .
3. Učebnica Úvod do predmetu Matematika 1 .

Kvíz