Plošný integrál II. druhu.

Ciele
  1. Zopakovanie parametrického vyjadrenia plochy.
  2. Výpočet plošného integrálu II. druhu na základe vety o výpočte prevodom na dvojný integrál.
Úvod
  1. Parametrické vyjadrenie plochy.

    2. Pred zavedením a študiom plošného integrálu II. druhu sa budeme zaoberať pojmom plocha.
    Plocha vznikne deformáciou nejakej časti roviny, predstavujeme si ju ako nejaký krivý list (napr. papiera), alebo povrch telesa
    Budeme uvažovať plochy, ktoré vieme vyjadriť nasledovným parametrickým vyjadrením \[ \sigma:\quad \vec{\pmb{r}}(t,s)=x(t,s)\vec{\pmb{i}}+y(t,s)\vec{\pmb{j}} +z(t,s)\vec{\pmb{k}},\qquad (t,s)\in\Omega\subset \mathbb{R}^2 \] resp. \[ \begin{split} \sigma:\quad x=x(t,s)\\ y=y(t,s)\\ z=z(t,s),\qquad (t,s)\in\Omega\subset \mathbb{R}^2 \end{split} \] Uvažujme plochu \(\sigma\) ako časť paraboloidu \(z=x^2+y^2\) pre \(z\in [0,1]\).

    Parametrickým vyjadrením tejto plochy je napríklad \[ \begin{split} \sigma\quad x=t\\ y=s\\ z=t^2+s^2,\qquad t^2+s^2\leq 1. \end{split} \] Alebo parametrické vyjadrenie tejto plochy je aj \[ \begin{split} \sigma\quad x=t\cos s\\ y=t\sin s,\\ z=t^2, \end{split} \begin{split} \quad\quad\\ \qquad 0\leq s \leq 2\pi\\ \qquad 0\leq t\leq1. \end{split} \] Teda istá plocha môže mať rôzne parametrické vyjadrenia.
    Poznámka: Plochu \[ \sigma:\quad \vec{\pmb{r}}(t,s)=x(t,s)\vec{\pmb{i}}+y(t,s)\vec{\pmb{j}}+z(t,s)\vec{\pmb{k}}, \qquad (t,s)\in\Omega\subset \mathbb{R}^2 \] nazývame hladkou, ak sú funkcie \(x(t,s)\), \(y(t,s)\), \(z(t,s)\) a všetky ich parciálne derivácie spojité.

  2. Veta o výpočte plošného integrálu.

    3. Ukážeme ako vypočítať plošný integrál prevodom na dvojný integrál. Majme plochu \(\sigma\) určenú parametrickým vyjadrením \[ \sigma:\quad \vec{\pmb{r}}(t,s)=x(t,s)\vec{\pmb{i}}+y(t,s)\vec{\pmb{j}}+ z(t,s)\vec{\pmb{k}},\qquad (t,s)\in\Omega, \] K odvodeniu vety o výpočte využijeme definíciu plošného integrálu. Delenie \(D_n\) plochy \(\sigma\) urobíme pomocou delenia množiny \(\Omega\) nasledovne. Nech \(\Omega\) je časťou intervalu \(I=[a,b]\times[c,d]\). Urobíme delenie intervalu \([a,b]\): \[ a=t_0\lt t_1\dots\lt t_n=b \] a delenie intervalu \([c,d]\): \[ c=s_0\lt s_1\dots\lt s_m=d \] (viď obrázok). Úsečke \([t_1,s]\subset\Omega\) odpovedá krivka \(\vec{\pmb{r}}(t_1,s)\) na ploche \(\sigma\). Podobne úsečke \([t_2,s]\subset\Omega\) odpovedá krivka \(\vec{\pmb{r}}(t_2,s)\subset\sigma\) Analogicky úsečke \([t,s_1]\subset\Omega\) odpovedá krivka \(\vec{\pmb{r}}(t,s_1)\) na ploche \(\sigma\).
    Takýmto spôsobom pomocou delenia rovinnej množiny \(\Omega\) vyrobíme delenie priestorovej plochy \(\sigma\).
    Jednotlivé plôšky \(\sigma_{ij}\) vytvárajúce delenie \(D\) majú teda hranice tvorené oblúkmi kriviek \(\vec{\pmb{r}}(t_i,s)\), \(\vec{\pmb{r}}(t_{i+1},s)\), \(\vec{\pmb{r}}(t,s_{j})\), \(\vec{\pmb{r}}(t,s_{j+1})\). Priesečníky kriviek \(\vec{\pmb{r}}(t_i,s)\) a \(\vec{\pmb{r}}(t,s_{j})\) označíme \(Q_{ij}=\vec{\pmb{r}}(t_i,s_j)\).
    Pre malú plôšku \(\sigma_{ij}\) zostrojíme dotykovú rovinu (konkrétne rovnobežník) v bode \(Q_{ij}\), krorý má predpis \[ \rho_{ij}:\quad X= Q_{ij}+(t-t_i)\vec{\pmb{r}}'_t(t,s)+ (s-s_j)\vec{\pmb{r}}'_s(t,s) \] Zostrojený dotykový rovnobežník \(\rho_{ij}\) aproximuje plôšku \(\sigma_{ij}\) a pri dostatočne jemnom delení zároveň pre ich obsahy platí \[ P(\sigma_{ij})\approx P(\rho_{ij}). \] Z kapitoly xxxyyyy vieme, že \[ P(\rho_{ij})=(t_{i+1}-t_i)(s_{j+1}-s_j)|\vec{\pmb{r}}'_t\times\vec{\pmb{r}}'_s|=| \vec{\pmb{r}}'_t \times\vec{\pmb{r}}'_s|\Delta t_i \Delta s_j. \] Jednotkový normálový vektor v bode \[ \vec{\pmb{n}}(Q_{ij}) =\left[\frac{\vec{\pmb{r}}'_t \times\vec{\pmb{r}}'_s} {|\vec{\pmb{r}}'_t \times\vec{\pmb{r}}'_s|} \right]_{Q_{ij}} \] Vzťah pre výpočet plošného integrálu dostaneme priamo z jeho definície \[ \iint\limits_{\sigma} \vec{f}(x,y,z)\,\mathrm{d}{\vec{\sigma}}= \lim_{n\to\infty}\sum\limits_{i,j} P(\sigma_{ij}).\vec{\pmb{n}} \circ\vec{f}(Q_{ij})=(\vartriangle) \] využitím normálnej postupnosti delení sa aproximáci \(P(\sigma_{ij})\approx P(\rho_{ij})\) pre \(n\to\infty\) mení na rovnosť a teda \[ (\vartriangle)=\lim_{n\to\infty}\sum\limits_{i,j}\vec{f}(Q_{ij})\circ\vec{\pmb{n}}. P(\rho_{ij})=\lim_{n\to\infty}\sum\limits_{i,j} \vec{f}(Q_{ij})\circ \left[\frac{\vec{\pmb{r}}'_t \times\vec{\pmb{r}}'_s} {|\vec{\pmb{r}}'_t \times\vec{\pmb{r}}'_s|} \right]_{Q_{ij}}. |\vec{\pmb{r}}'_t \times\vec{\pmb{r}}'_s|\Delta t_i \Delta s_j= \] \[ =\lim_{n\to\infty}\sum\limits_{i,j} \vec{f}(\vec{\pmb{r}}(t_i,s_j))\circ \left({\vec{\pmb{r}}'_t \times\vec{\pmb{r}}'_s}\right)_{Q_{ij}}\,\Delta t_i \Delta s_j= \] v tomto vzťahu spoznávame limitu postupnosti integrálnych súčtov pre dvojný integrál a preto \[ =\iint\limits_{\Omega} \vec{f}(\vec{\pmb{r}}(t,s))\circ\left({\vec{\pmb{r}}'_t \times\vec{\pmb{r}}'_s} \right) \,\mathrm{d}{t}\,\mathrm{d}{s}= \] využitím vlastností zmiešaného súčinu vektorov \[ =\iint\limits_{\Omega}\left| \begin{array}{ccc} \vec{f}_1(\vec{\pmb{r}}(t,s)) \quad \vec{f}_2(\vec{\pmb{r}}(t,s)) \quad \vec{f}_3(\vec{\pmb{r}}(t,s))\\ x'_t(t,s) \quad\quad y'_t(t,s) \quad\quad z'_t(t,s)\\ x'_s(t,s) \quad\quad y'_s(t,s) \quad\quad z'_s(t,s) \end{array} \right|\,\mathrm{d}{t}\,\mathrm{d}{s} \] Na základe uvedeného môžeme sformulovať vetu o výpočte plošného integrálu. \(\mathbf{Veta.}\) Nech \(\vec{f}(x,y,z)\) je spojitá vektorová funkcia definovaná na orientovanej jednoduchej hladkej ploche \(\sigma\), ktorej parametrické vyjadrenie je \[ \vec{\pmb{r}}(t,s)=x(t,s)\vec{\pmb{i}}+y(t,s)\vec{\pmb{j}}+z(t,s)\vec{\pmb{k}}, \qquad (t,s)\in\Omega, \] Potom \[ \iint\limits_{\sigma} \vec{f}(x,y,z)\,\mathrm{d}{\vec{\sigma}} =\pm \iint\limits_{\Omega}\left| \begin{array}{ccc} \vec{f}_1(\vec{\pmb{r}}(t,s)) \quad \vec{f}_2(\vec{\pmb{r}}(t,s)) \quad \vec{f}_3(\vec{\pmb{r}}(t,s))\\ x'_t(t,s) \quad\quad y'_t(t,s) \quad\quad z'_t(t,s)\\ x'_s(t,s) \quad\quad y'_s(t,s) \quad\quad z'_s(t,s) \end{array} \right|\,\mathrm{d}{t}\,\mathrm{d}{s}, \] kde znamienko \(+\) resp. \(-\) platí \(\sigma\) ak je orientovaná súhlasne resp. nesúhlasne s parametrizáciou plochy.
    Poznámka: Znamienko \(+\) (teda plocha je orientovaná súhlasne s parametrickým vyjadrením) platí ak \[ \vec{\pmb{n}}=\left| \begin{array}{ccc} \vec{\pmb{i}} \quad\quad\quad \vec{\pmb{j}} \quad\quad\quad \vec{\pmb{k}}\\ x'_t(t,s) \quad y'_t(t,s) \quad z'_t(t,s)\\ x'_s(t,s) \quad y'_s(t,s) \quad z'_s(t,s) \end{array} \right|. \]

  3. Základné vlastnosti plošného integrálu.

    4. Základne vlastnosti plošného integrálu sú zrejme z jeho fyzikálnej aplikácie.
    • \(\displaystyle{\iint\limits_{\sigma} \vec{f}(x,y,z)\,\mathrm{d}{\vec{\sigma}}= \iint\limits_{\sigma} f_1\,\mathrm{d}{y}\,\mathrm{d}{z}+\iint\limits_{\sigma}f_2\, \mathrm{d}{x}\,\mathrm{d}{z}+\iint\limits_{\sigma}f_1\,\mathrm{d}{x}\,\mathrm{d}{y}.}, \)
      t.j. celkový tok je možné rozložiť na tok v smere osi \(o_x\), tok v smere osi \(o_y\) a tok v smere osi \(o_z\).
    • nech plochy \(\sigma_1\), \(\sigma_2\) tvoria delenie plochy \(\sigma\), potom \[ \iint\limits_{\sigma} \vec{f}(x,y,z)\,\mathrm{d}{\vec{\sigma}}= \iint\limits_{\sigma_1} \vec{f}(x,y,z)\,\mathrm{d}{\vec{\sigma}}+ \iint\limits_{\sigma_2} \vec{f}(x,y,z)\,\mathrm{d}{\vec{\sigma}} \]
Postup
  1. Parametrické vyjadrenie plochy
    Príklad: Vypočítajte plošný integrál \[ \iint\limits_{\sigma}x\,\mathrm{d}{y}\,\mathrm{d}{z}+y\,\mathrm{d}{x}\,\mathrm{d}{z}+ z\,\mathrm{d}{x}\,\mathrm{d}{y}, \] ak \[ \sigma:\qquad\vec{\pmb{r}}(t,s)=t\vec{\pmb{i}}+s\vec{\pmb{j}}+(ts+1)\vec{\pmb{k}}, \qquad (t,s)\in\Omega= [0,1]\times[0,1], \] Plocha je orientovaná tak, že normálový vektor v každom bode plochy zvierá s vektorom \(\vec{\pmb{k}}\) ostrý uhol.
    Riešenie: Použitím vety o výpočte dostávame \[ \iint\limits_{\sigma} x\,\mathrm{d}{y}\,\mathrm{d}{z}+y\,\mathrm{d}{x}\,\mathrm{d}{z}+ z\,\mathrm{d}{x}\,\mathrm{d}{y} =\pm \iint\limits_{\Omega}\left| \begin{array}{ccc} t \quad s \quad (ts+1)\\ 1 \quad\quad 0 \quad\quad t\\ 0 \quad\quad 1 \quad\quad s \end{array} \right|\,\mathrm{d}{t}\,\mathrm{d}{s}=(\spadesuit) \] Použili sme normálový vektor \[ \vec{\pmb{n}}=\vec{\pmb{r}}'_t \times\vec{\pmb{r}}'_s=\left| \begin{array}{ccc} \vec{\pmb{i}} \quad \vec{\pmb{j}} \quad \vec{\pmb{k}}\\ 1 \quad\quad 0 \quad\quad t\\ 0 \quad\quad 1 \quad\quad s \end{array} \right|=(-t,-s,1). \] Keďže \(\vec{\pmb{n}}\circ \vec{\pmb{k}}=1>0\), zvierá náš normálový vektor s vektorom \(\vec{\pmb{k}}\) ostrý uhol a teda použijeme znamienko \(+\). Preto \[ (\spadesuit)=\int_{0}^1 \int_{0}^1(ts+1)\,\mathrm{d}{t}\,\mathrm{d}{s}=\frac{3}{4}. \]
    Úloha: Vypočítajte \(\displaystyle\quad\iint\limits_{\sigma}x\,\mathrm{d}{y}\,\mathrm{d}{z}+ +y\,\mathrm{d}{x}\,\mathrm{d}{z}+z\,\mathrm{d}{x}\,\mathrm{d}{y}\), kde \(\sigma\) je časť paraboloidu \(\vec{\pmb{r}}(u,v)=u\vec{\pmb{i}}+ v\vec{\pmb{j}}+(u^2+v^2)\vec{\pmb{k}}\), pričom \(u^2+v^2\leq 1\) orientovaná tak, že normálový vektor zviera s vektorom \(\vec{\pmb{k}}\) tupý uhol.
    Riešenie: \(\displaystyle\left[\frac{\pi}{2}\right]\)
    Poznámka: Tu možete pridať doplňujúci komentár k úlohe, ktorý študentovi pomôže pri riešení.
    Úloha: Tu napíšte konkrétne úlohy, ktoré ma študent vyriešiť.
  2. Napíšte ďalší krok.
  3. Napíšte ďalší krok.
Zdroje
  1. Moja web stránka .
  2. Predmet Matematicko--počítačové modelovanie .
Doplňujúce úlohy
    Úloha: Vypočítajte \(\displaystyle\quad\iint\limits_{\sigma} x^2y^2z\,\mathrm{d}{x}\,\mathrm{d}{y}\), kde \(\sigma\) je dolná časť guľovej plochy \(x^2+y^2+z^2=R^2\), orientovanej tak, že normálový vektor zviera s vektorom \(\vec{\pmb{k}}\) ostrý uhol.
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Vypočítajte \(\displaystyle\quad\iint\limits_{\sigma} x^2\,\mathrm{d}{y}\,\mathrm{d}{z}+z^2\,\mathrm{d}{x}\,\mathrm{d}{y}\), kde \(\sigma\) je časť kužeľovej plochy \(z^2=x^2+y^2\), \(0\leq z\leq 1\), orientovanej tak, že normálový vektor zviera s vektorom \(\vec{\pmb{k}}\) ostrý uhol.
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Vypočítajte \(\displaystyle\quad\iint\limits_{\sigma} (y-z)\,\mathrm{d}{y}\,\mathrm{d}{z}+(z-x)\,\mathrm{d}{x},\mathrm{d}{z}+ (x-y)\,\mathrm{d}{x}\,\mathrm{d}{y}\), kde \(\sigma\) je časť kužeľovej plochy \(z^2=x^2+y^2\), \(0\leq z\leq 4\), orientovanej tak, že normálový vektor zviera s vektorom \(\vec{\pmb{k}}\0 tupý uhol.
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Tu napíšte úlohy ktoré sú pripravené nad základný rámec cvičenia.
    Riešenie: \(\displaystyle\left[-88\right]\)
    Úloha: Tu napíšte úlohy ktoré sú pripravené nad základný rámec cvičenia.
    Riešenie: \(\displaystyle\left[-88\right]\)
    Úloha: Tu napíšte úlohy ktoré sú pripravené nad základný rámec cvičenia.
    Riešenie: \(\displaystyle\left[-88\right]\)
    Úloha: Tu napíšte úlohy ktoré sú pripravené nad základný rámec cvičenia.
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Tu napíšte úlohy ktoré sú pripravené nad základný rámec cvičenia.
Doplňujúce zdroje
  1. Tu vložte doplňujúce odporúčané zdroje.
  2. Tu vložte doplňujúce odporúčané zdroje.
comments powered by Disqus