Riešenie: Zamerajme sa opät najprv na výpocet neurcitého integrálu. V literatúre [zbierka riešených príkladov...] a samozrejme aj v iných zbierkach je možné nájst nasledovné vzorce: \[ \int\frac{\mathrm{d} \varphi}{\left(A+B\cos{ \varphi} \right)^2}=\frac{1}{B^2-B^2} \left[\frac{-B\sin \varphi}{A+B\cos \varphi}+A\int\frac{\mathrm{d} \varphi}{A+B\cos \varphi}\right], \] \[ \int\frac{\mathrm{d}\varphi}{\left(A+C\sin{\varphi}\right)^2}=\frac{1}{A^2-C^2} \left[\frac{C\cos\varphi}{A+C\sin\varphi}+A\int\frac{\mathrm{d}\varphi}{A+C\sin\varphi}\right]. \] Na základe týchto informácii urobíme hypotézu o výpocte neurcitého integrálu \(I_2\). \[ \int\frac{\mathrm{d}\varphi}{\left(A+B\cos{\varphi}+C\sin \varphi \right)^2} =\frac{1}{A^2-B^2-C^2}\left[\frac{-B\sin\varphi+C\cos\varphi}{A+B\cos\varphi+ C\sin\varphi}+A\int\frac{\mathrm{d}\varphi}{A+B\cos\varphi+C\sin\varphi}\right]. \] Je ľahké overiť platnosť tohto vzorca (derivovaním podľa premennej $ \varphi$). A teda pre integrál \(I_{2}\) dostávame \[ \int_{\alpha}^{\beta}\frac{\mathrm{d}\varphi}{\left(A+B\cos{\varphi}+C\sin\varphi\right)^2} =\frac{1}{A^2-B^2-C^2}\left[\frac{-B\sin\varphi+C\cos\varphi}{A+B\cos\varphi+C\sin\varphi} \right]_{\alpha}^{\beta}+A\int_{\alpha}^{\beta}\frac{\mathrm{d}\varphi}{A+B\cos\varphi+C\sin\varphi}. \]

Riešenie: Využijeme opäť známy vzorec \[ \int\frac{\mathrm{d}\varphi}{\left(A+B\cos{ \varphi}\right)^2}=\frac{1}{A^2-B^2}\left[ \frac{-B\sin\varphi}{A+B\cos\varphi}+A\int\frac{\mathrm{d}\varphi}{A+B\cos\varphi}\right]. \] Kedže podobný vzorec, kde by v menovateli bola tretia mocnina nie je, otazka je nasledovna: Dá sa vhodnou upravou previesť \(\displaystyle\int\frac{\mathrm{d}\varphi} {\left(A+B\cos{\varphi}\right)^2}\) na \(\displaystyle\int\frac{\mathrm{d}\varphi} {\left(A+B\cos{\varphi} \right)^3}\)? Áno, derivovaním podľa parametra A. Derivovaním hore uvedeného vztahu podla parametra A dostávame \[ \int\frac{-2}{(A+B\cos \varphi)^3}\mathrm{d}\varphi =\frac{-2A}{(A^2-B^2)^2}\left[\frac{-B\sin\varphi}{A+B\cos\varphi}+ a\int\frac{\mathrm{d}\varphi}{A+B\cos\varphi}\right]+ \] \[ \frac{1}{A^2-B^2}\left[\frac{B\sin\varphi}{A+B\cos\varphi)^2}+ \int\frac{\mathrm{d}\varphi}{A+B\cos\varphi}-a\int\frac{\mathrm{d}\varphi} {\left(A+B\cos{\varphi} \right)^2}\right]. \] Vyjadrením \(\displaystyle\int\frac{\mathrm{d}\varphi}{A+B\cos\varphi}\) pomocou \(\displaystyle\int\frac{\mathrm{d}\varphi}{(A+B\cos\varphi)^2}\) zo vzťahu "hore" a použitím vhodných úprav dostávame vzťah \[ \int\frac{\mathrm{d}\varphi}{\left(A+B\cos{\varphi}\right)^3}=\frac{1}{2(A^2-B^2)} \left[\frac{-B\sin\varphi}{(A+B\cos\varphi)^2}+\frac{-\frac{B}{A}\sin \varphi} {A+B\cos\varphi}+\frac{2A^2+B^2}{A}\int\frac{\mathrm{d}\varphi}{(A+B\cos\varphi)^2}\right]. \] Na základe takto získaného vzťahu urobíme hypotézu pre výpočet integrálu \(I_{3}.\) \[ I_{3}=\int_{\alpha}^{\beta}\frac{\mathrm{d}\varphi}{\left(A+B\cos{\varphi}+C\sin \varphi\right)^3}=\frac{1}{2(A^2-B^2-C^2)}\left\{\left[\frac{-B\sin \varphi+C\cos \varphi}{(A+B\cos\varphi+C\sin\varphi)^2}\right]_{\alpha}^{\beta}+\right. \] \[ \left.+ \left[\frac{-\frac{B}{A}\sin\varphi+\frac{C}{A}\cos\varphi}{A+B\cos\varphi+C\sin\varphi} \right]_{\alpha}^{\beta}+\frac{2A^2+B^2+C^2}{A}\int_{\alpha}^{\beta}\frac{\mathrm{\varphi}} {(A+B\cos \varphi+C\sin \varphi)^2}\right\}. \] O správnosti uvedeného vzťahu sa môžeme presvedčiť derivovaním podľa premennej \(\varphi\) príslušných neurčitých integrálov.