Bodové a intervalové odhady parametrov základného súboru s normálnym rozdelením pravdepodobnosti

Ciele

1. Naučiť sa určovať výberové charakteristiky náhodného výberu.
2. Naučiť sa určovať bodové odhady parametrov \(\mu\) a \(\sigma\) základného súboru s normálnym rozdelením.
3. Naučiť sa určovať intervaly spoľahlivosti pre strednú hodnotu \(\mu\) základného súboru s normálnym rozdelením, ak poznáme smerodajnú odchýlku \(\sigma\).
4. Naučiť sa určovať intervaly spoľahlivosti pre strednú hodnotu \(\mu\) základného súboru s normálnym rozdelením, ak nepoznáme smerodajnú odchýlku \(\sigma\).
5. Naučiť sa určovať intervaly spoľahlivosti pre rozptyl \(\sigma^2\) a smerodajnú odchýlku \(\sigma\) základného súboru s normálnym rozdelením, ak nepoznáme strednú hodnotu \(\mu\).

Úvod

Úlohou bodových odhadov je nájsť odhad parametra základného súboru pomocou jednej číselnej hodnoty. Za bodové odhady parametrov slúžia niektoré tzv. výberové charakteristiky.
Intervalový odhad umožňuje určiť nielen jeden najlepší odhad, ale celý interval pravdepodobne možných odhadov parametra základného súboru. Interval, v ktorom sa pravdepodobne nachádza parameter základného súboru, sa nazýva interval spoľahlivosti (konfidenčný interval). Podľa toho, či určujeme v intervale spoľahlivosti jednu alebo dve hranice, rozoznávame jednostranný (pravostranný, ľavostranný) alebo obojstranný interval spoľahlivosti.
Bodový odhad je prvá informácia o parametroch daného rozdelenia, v praxi však zvyčajne nestačí. Aby sme mohli ohraničiť chybu, ktorej sa dopúšťame pri odhade, používame na určenie odhadu sledovaných parametrov intervaly spoľahlivosti.
Prípustná chyba, tzv. hladina významnosti sa označuje gréckym písmenom \(\alpha\), \(1-\alpha\) je koeficient spoľahlivosti a príslušný interval spoľahlivosti nazývame (\(1-\alpha\))\(\cdot100\) %-ný interval spoľahlivosti. Znamená to, že ak by sme urobili veľký počet meraní (výberových súborov) zo sledovanej náhodnej premennej a pre každý súbor by sme určili príslušný interval spoľahlivosti, tak v (\(1-\alpha\))\(\cdot100\) % prípadoch by skutočná hodnota hľadaného parametra ležala v intervale spoľahlivosti. \(\def\a{&}\)

Postup

1. Výberové charakretistiky náhodného výberu
   
   V štatistike sa používa tzv. výberová metóda, ktorá spočíva v tom, že opis určitého štatistického súboru a závery o ňom opierame o údaje, týkajúce sa len vybraných jednotiek tohto súboru. Teda základným princípom výberovej metódy je usudzovanie z časti na celok. Súbor, ktorý je predmetom výskumu potom nazývame základný súbor a súbor jednotiek, ktoré boli z neho určitým spôsobom vybrané, nazývame výberový súbor.
   Štatistický súbor je možné opísať pomocou rôznych opisných charakteristík, z ktorých najdôležitejšími sú aritmetický priemer, rozptyl a smerodajná odchýlka. Neznáme opisné charakteristiky základného súboru sa odhadujú pomocou príslušných výberových štatistík (charakteristík).
   Ak vyberieme zo základného súboru \(n\) jednotiek, t. j. ak urobíme náhodný výber \(V_n\) o rozsahu \(n\), a ak zistíme u každej vybranej jednotky hodnotu znaku \(X\), potom získame \(n\) výberových hodnôt (realizácií, nameraných hodnôt) \(x_{1},\,x_{2},\,\dots ,\,x_{n}\).
   
   Nech je daný náhodný výber \(V_n\) o rozsahu \(n\), kde \(x_{1},\,x_{2},\,\dots ,\,x_{n}\) sú namerané hodnoty. Teraz uvedieme definície základných výberových charakteristík (štatistík), a to výberového priemeru, výberového rozptylu a výberovej smerodajnej odchýlky.
   Výberový priemer \(\bar{x}\) a výberový rozptyl \(s^2\) budeme definovať ako čísla, ktoré môžeme pre neroztriedený výberový súbor počítať použitím vzorcov v tzv. prostom tvare \(\bar{x}=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n} x_i\),\(\,\) \(\ \) \(s^2=\frac{1}{n-1}\sum\limits_{i=1}^{n} (x_i-\bar{x})^2\), kde \(x_i\) sú namerané hodnoty a \(n\) je rozsah náhodného výberu, t. j. počet vybraných štatistických jednotiek (prvkov) zo základného súboru.
   V prípade roztriedeného súboru vo forme tzv. frekvenčnej tabuľky (tabuľky rozdelenia absolútnych početností) môžeme použiť vzorce v tzv. váženom tvare: \(\bar{x}=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{k} x_i\cdot n_i\),\(\,\) \(\ \) \(s^2=\frac{1}{n-1}\sum\limits_{i=1}^{k} (x_i-\bar{x})^2\cdot n_i\). V daných vzorcoch sú \(x_i\) hodnoty triediaceho znaku, \(n_i\) sú ich absolútne početnosti, n je rozsah výberového súboru, k je počet tried. V tomto prípade každý triediaci znak predstavuje samostatnú triedu. Platí: \(n=\sum\limits_{i=1}^{k} n_i\).
   V prípade intervalového triedenia do intervalov \(I_i\) použijeme v uvedených vzorcoch namiesto hodnôt \(x_i\) triediaceho znaku hodnoty triedneho znaku \(z_i\). Triedny znak \(z_i\) je reprezentantom triedneho intervalu (triedy) \(I_i\). Definuje sa ako stred príslušného triedneho intervalu.
   Výberová smerodajná odchýlka \(s\) náhodného výberu sa definuje vzťahom: \(s\ =\sqrt{s^2}\).

   Poznámka:
   V prípade výberového rozptylu sa používajú v odbornej literatúre dve možnosti, a to s \(\frac{1}{n}\) alebo \(\frac{1}{n-1}\). V niektorej literatúre sa výberový rozptyl definuje vzťahom \(S^2=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n} (x_i-\bar{x})^2\). Tento je však vľavo vychýleným bodovým odhadom rozptylu \(\sigma^2\). Vzťahom \(s^2=\frac{1}{n-1}\sum\limits_{i=1}^{n} (x_i-\bar{x})^2\) definujú tzv. modifikovaný (upravený) výberový rozptyl a označujú ho aj pridaním značky *.

   Príklad:
   Pre dané výberové súbory vypočítajte výberové charakteristiky, t. j. výberový priemer, výberový rozptyl a výberovú smerodajnú odchýlku.

   1. V zimnom období zisťovali stav hladiny spodnej vody v zosuvovej oblasti. Namerali takéto stavy [\(\mathrm{cm}\)]: 159,53; 159,49; 159,61; 159,71; 159,88; 161,08; 160,98; 161,09; 160,91; 160,79; 161,02; 160,96; 160,80.
   2. Percentuálny obsah medi v určitej zliatine je daný tabuľkou rozdelenia intervalových početností:

      \(I_i\)	\(n_i\)
      2,8 - 3,1	4
      3,1 - 3,4	7
      3,4 - 3,7	11
      3,7 - 4,0	18
      4,0 - 4,3	23
      4,3 - 4,6	10
      4,6 - 4,9	2
      4,9 - 5,2	1

   Riešenie:
   

   1. Máme neroztriedený výberový súbor o rozsahu \(n=13\). Výberové charakteristiky vypočítame pomocou kalkulačky podľa vzorcov: \(\bar{x}=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n} x_i\), \(\ \)\(s^2=\frac{1}{n-1}\sum\limits_{i=1}^{n} (x_i-\bar{x})^2\), \(\ \)\(s\ =\sqrt{s^2}\). Dostaneme výsledky: \(\bar{x}=160{,}4500\); \(\ \) \(s^2=0{,}4557\); \(\ \) \(s=0{,}6750\).
      Poznámka:
      Pri počítaní pomocou kalkulačky je výhodné naučiť sa používať štatistické funkcie \(\bar{x}\), resp. \(\sigma_{n-1}\).
      
      V MATLABe môžeme výpočet realizovať nasledujúcim spôsobom, pričom výberový priemer uložíme do premennej m, výberový rozptyl do premennej v, výberovú smerodajnú odchýlku do premennej s:
      xi=[15953 15949 15961 15971 15988 16108 16098 16109 16091 16079 16102 16096 16080]/100;
      n=length(xi),m=sum(xi)/n,v=sum((xi-m).^2)/(n-1),s=sqrt(v)
      
      Aplikácia štandardných M-funkcií mean, var, std:
      m=mean(xi),v=var(xi),s=std(xi)
      
   
   
   2. V tomto prípade je výberový súbor daný tabuľkou intervalového rozdelenia početností. Pre jednotlivé triedy najprv vypočítame ich reprezentantov, t. j. triedne znaky \(z_i\). Výsledok zapíšeme prehľadne do tabuľky: \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline z_i \a 2{,}95 \a 3{,}25 \a 3{,}55\a 3{,}85 \a 4{,}15\a 4{,}45 \a 4{,}75\a 5{,}05 \\ \hline n_i \a 4 \a 7 \a 11 \a 18 \a 23 \a 10 \a 2 \a 1 \\ \hline \end{array} \] Počet tried \(k=8\). Rozsah výberového súboru je \(n=\sum\limits_{i=1}^{k} n_i=76\). Výberový priemer \(\bar{x}\), výberový rozptyl \(s^2\) a výberovú smerodajnú odchýlku \(s\) budeme počítať pomocou kalkulačky na základe vzorcov: \(\bar{x}=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{k} z_i\cdot n_i\), \(\ \) \(s^2=\frac{1}{n-1}\sum\limits_{i=1}^{k} (z_i-\bar{x})^2\cdot n_i\), \(\ \)\(s\ =\sqrt{s^2}\).
      Dostaneme tieto výsledky výberových charakteristík: \(\bar{x}=3{,}9132\); \(\ \)\(s^2=0{,}2024\); \(\ \) \(s=0{,}4498\).
      
      Jeden spôsob realizáciie výpočtu použitím MATLABu:
      ti=2.8:0.3:5.2;zi=(ti(1:8)+ti(2:9))/2,ni=[4,7,11,18,23,10,2,1],n=sum(ni)
      m=sum(zi.*ni)/n,v=sum(((zi-m).^2).*ni)/(n-1),s=sqrt(v)
      
      Realizácia výpočtu použitím štandardných M-funkcií mean, var, std:
      z=[2.95*ones(1,4),3.25*ones(1,7),3.55*ones(1,11),3.85*ones(1,18),...
      4.15*ones(1,23),4.45*ones(1,10),4.75*ones(1,2),5.05];
      m=mean(z),v=var(z),s=sqrt(v)
      

   Zobraziť riešenieSkryť riešenie
2. Bodové odhady parametrov \(\mu\) a \(\sigma\) základného súboru s normálnym rozdelením
   
   Ako sme už v predchádzajúcom cieli uviedli, neznáme číselné charakteristiky (resp. parametre) základného súboru sa odhadujú pomocou príslušných výberových charakteristík. My sa teraz sústredíme na bodový odhad (odhad jedným číslom) strednej hodnoty a smerodajnej odchýlky (resp. rozptylu) základného súboru s normálnym rozdelením, t. j. na bodový odhad jeho parametrov \(\mu\) a \(\sigma\), (resp. \(\sigma^2\)).
   Nech \(Q\) je sledovaný parameter základného súboru a \(\hat Q\) je výberová charakteristika náhodného výberu \(V_n\) o rozsahu \(n\).
   Bodovým odhadom parametra \(Q\) nazývame takú výberovú charakteristiku \(\hat Q\), ktorá nadobúda hodnoty blízke skutočnej hodnote parametra \(Q\).
   Bodový odhad \(\hat Q\) nazývame nevychýleným bodovým odhadom parametra \(Q\), ak \(E(\hat Q)=Q\). Budeme používať zápis \(Q\approx \hat Q\).
   
   Platí, že výberový priemer \(\bar{x}\) je nevychýleným bodovým odhadom strednej hodnoty \(\mu\), výberový rozptyl \(s^2\) je nevychýleným bodovým odhadom rozptylu \(\sigma^2\) a výberová smerodajná odchýlka \(s\) je nevychýleným bodovým odhadom smerodajnej odchýlky \(\sigma\) základného súboru s normálnym rozdelením \(norm(\mu,\,\sigma)\).

   Poznámka:
   Pri odhadovaní parametrov základného súboru jedným číslom je potrebné zdôrazniť, že aj pri použití najvhodnejšieho bodového odhadu sa budeme dopúšťať chýb. Tieto chyby môžu byť niekedy aj „nepríjemne“ veľké, hlavne pri odhadoch, ktoré sa budú opierať o údaje výberov malého rozsahu. Práve pre túto skutočnosť sa odhady jedným číslom často dopĺňajú intervalovými odhadmi.

   Poznámka:
   Existujú štatistické testy (tzv. testy dobrej zhody) umožňujúce na vopred zvolenej hladine významnosti \(\alpha\) testovať hypotézu, že daný náhodný výber bol realizovaný z rozdelenia stanoveného typu, ale prípadne s neznámymi parametrami. Teda je napríklad možné testovať hypotézu, že príslušné rozdelenie je normálne rozdelenie \(norm(\mu,\,\sigma)\) so známymi alebo neznámymi parametrami \(\mu\) a \(\sigma\). Tieto testy však nie sú obsahom nášho kurzu matematickej štatistiky.

   Príklad:
   Grafickým testom s použitím MATLABu overte predpoklad normality rozdelenia základného súboru, z ktorého bol realizovaný náhodný výber uvedený v riešenej úlohe 1 b). Potom určte bodové odhady parametrov \(\mu\) a \(\sigma\).

   Riešenie:
   Na tomto príklade si najprv pre zaujímavosť ukážeme, ako môžeme graficky overiť normalitu rozdelenia výberového súboru pomocou MATLABu. Pre rýchle grafické overenie či výberový súbor je z normálne rozdeleného základného súboru sa používa M-funkcia normplot. Platí, že ak sú dáta z normálneho rozdelenia, tak ležia približne na priamke.
   
   Aplikácia MATLABu:
   z=[2.95*ones(1,4),3.25*ones(1,7),3.55*ones(1,11),3.85*ones(1,18),4.15*ones(1,23),4.45*ones(1,10),4.75*ones(1,2),5.05]; normplot(z)
   

   

   Na uvedenom obrázku vidíme, že predpoklad normality je približne splnený.
   
   V našom prípade dostávame bodové odhady, ktorých výsledky sú uvedené v riešenej úlohe 1 b).
   Teda platí: \(\mu \approx \bar{x}=100{,}2500\); \(\ \) \(\sigma^2 \approx\ s^2=1{,}8816\); \(\ \) \(\sigma \approx\ s=1{,}3717\).

   Zobraziť riešenieSkryť riešenie
3. Intervaly spoľahlivosti pre strednú hodnotu \(\mu\) základného súboru s normálnym rozdelením, ak poznáme smerodajnú odchýlku \(\sigma\)
   
   Intervalový odhad spočíva v tom, že neznámy parameter základného súboru odhadujeme určitým číselným intervalom, ktorý zostavujeme pomocou údajov získaných náhodným výberom. Keďže vyberáme náhodne, pripájame k danému intervalu aj pravdepodobnosť (t. j. spoľahlivosť odhadu), s ktorou je možné očakávať, že odhad bude správny.
   Intervalové odhady pre parametre základného súboru sa udávajú trojakým spôsobom: buď sa ohraničia zhora aj zdola (obojstranné) alebo len z jednej strany (jednostranné), a to buď zdola (pravostranné) alebo zhora (ľavostranné).
   Obojstranným intervalom spoľahlivosti pre parameter \(Q\) základného súboru nazývame odhad pomocou číselného intervalu \(\left\langle Q_d\ ;Q_h \right\rangle\), pričom pravdepodobnosť \(P(Q_d\le Q \le Q_h)= 1-\alpha\), kde hladina významnosti \(\alpha\in\left(0\, ; 1\right ) \).
   Pravostranným intervalom spoľahlivosti pre parameter \(Q\) základného súboru nazývame odhad pomocou číselného intervalu \(\left\langle Q_d\ ; \infty\right ) \), pričom pravdepodobnosť \(P(Q\ge Q_d )= 1-\alpha\).
   Ľavostranným intervalom spoľahlivosti pre parameter \(Q\) základného súboru nazývame odhad pomocou číselného intervalu \(\left( -\infty\ ; Q_h \right\rangle\), pričom pravdepodobnosť \(P(Q\le Q_h )= 1-\alpha\).
   Interval spoľahlivosti označujeme aj pojmom (\(1-\alpha\))\(\cdot100\) %-ný interval spoľahlivosti, a to obojstranný, pravostranný, resp. ľavostranný.

   Poznámka:
   Pri obojstrannom intervale spoľahlivosti sa \(Q_d\) a \(Q_h\) zvyčajne volia tak, aby pravdepodobnosti "chýbajúcich" intervalov zľava a sprava bolo rovnaké.

   
   Pre intervalové odhady potrebujeme tzv. kvantilovú funkciu, ktorá je inverzná k distribučnej funkcii náhodnej premennej \(X\). Nech \(F(x)\) je distribučná funkcia náhodnej premennej \(X\) a nech \(\beta\in\left(0\, ; 1\right ) \). Kvantilová funkcia \(F^{-1}(\beta)\) je definovaná ako najmenšie číslo \(q\in \mathbb{R}\) také, že \(F(q)\geqq \beta\). Hodnotu \(q=F^{-1}(\beta)\) nazývame \(\beta\)-kvantilom v rozdelení pravdepodobnosti danom \(F(x)\).

   Poznámka:
   Kvantily môžeme vyhľadať v tabuľkách, resp. môžeme použiť vhodný softvér (napr. my použijeme MATLAB). Určenie kvantilov si vysvetlíme neskôr na konkrétnych príkladoch.

   
   Nech náhodná premenná \(X\) základného súboru má normálne rozdelenie pravdepodobnosti s parametrami \(\mu\in \mathbb{R}\) a \(\sigma\gt 0\), t. j. \(X\sim norm(\mu,\,\sigma)\), kde parameter \(\sigma\) poznáme. Nech \(n\) je rozsah náhodného výberu, \(\bar{x}\) je výberový priemer, hladina významnosti \(\alpha\in\left(0\, ; 1\right ) \) a \(y_\beta\) je \(\beta\)-kvantil normovaného normálneho rozdelenia \(norm(0,\,1)\).
   S pravdepodobnosťou \(1-\alpha\) bude príslušný interval spoľahlivosti pre strednú hodnotu určený reláciou:

   
   
   • \(\mu\in\left\langle\bar{x}-y_{1-\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\ ; \bar{x}+y_{1-\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} \right\rangle\), pre obojstranný
   
   
   • \(\mu\in \left \langle \bar{x}-y_{1-\alpha}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\ ; \infty\! \ \right ) \), pre pravostranný
   
   
   • \(\mu\in\left ( -\infty\ ; \bar{x}+y_{1-\alpha}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} \right\rangle\), pre ľavostranný.
     

   Príklad:
   Zo základného súboru s normálnym rozdelením, kde je známy rozptyl \(\sigma^2=0{,}06\); sme urobili náhodný výber s realizáciami: 1,3; 1,8; 1,4; 1,2; 0,9; 1,5; 1,7. Zistite:

   1. 95 %-ný obojstranný interval spoľahlivosti pre strednú hodnotu \(\mu\),
   2. 90 %-ný pravostranný interval spoľahlivosti pre strednú hodnotu \(\mu\),
   3. 99 %-ný ľavostranný interval spoľahlivosti pre strednú hodnotu \(\mu\).

   Riešenie:
   V našom prípade je známa smerodajná odchýlka \(\sigma\) základného súboru.

   1. Použijeme vzorec: \[ \mu\in\left\langle\bar{x}-y_{1-\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\ ; \bar{x}+y_{1-\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} \right\rangle. \]
      Najprv si ukážeme riešenie len s použitím kalkulačky. Do vzorca dosadíme hodnoty \(\sigma=\sqrt{0{,}06}\); \(n=7\); \(\bar{x}=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n} x_i=1{,}4\); \(\alpha=1-0{,}95=0{,}05\); \(y_{1-\alpha/2}=y_{0{,}975}=1{,}9600\) (z tabuliek) a vyčíslime pomocou kalkulačky. Hľadaný obojstranný interval spoľahlivosti: \(\left\langle1{,}2185\ ;1{,}5815 \right\rangle\).
      
      Teraz použijeme MATLAB, pričom výberový priemer uložíme do premennej m, kvantil normovaného normálneho rozdelenia do premennej q, dolnú a hornú hranicu hľadaného obojstranného intervalu spoľahlivosti do premenných d a h:
      x=[13,18,14,12,9,15,17]/10;m=mean(x),q=norminv(.975),d=m-q*sqrt(.06/7),h=m+q*sqrt(.06/7)
      Výsledok z MATLABu:
      m = 1.4000
      q = 1.9600
      d = 1.2185
      h = 1.5815
      
      Ukážeme si ešte ďalší spôsob riešenia tejto úlohy pomocou MATLABu, a to bez použitia hore uvedeného vzorca. Interval spoľahlivosti pre strednú hodnotu \(\mu\) v prípade známej smerodajnej odchýlky \(\sigma\) môžeme nájsť tiež pomocou príkazu [h,p,ci]=ztest(x,m,sigma,alpha,tail). Pozrite si to podrobnejšie pomocou help ztest. Týmto spôsobom robíme aj testovanie hypotéz o parametroch normálneho rozdelenia. Čo sa týka vstupných argumentov, tak x sú namerané hodnoty, m je výberový priemer, sigma je známa smerodajná odchýlka, alpha je zvolená hladina významnosti a za tail dosadíme podľa potreby. Pre obojstranný interval bude tail=0 alebo tail='both', pre pravostranný interval bude tail=1 alebo tail='right' a pre ľavostranný bude tail=-1 alebo tail='left'. MATLAB má tu vopred nastavené hodnoty alpha=0.05, tail=0, t. j. ak volíme tieto hodnoty, nemusíme ich v príkaze písať. Čo sa týka výstupných argumentov h a p, ich význam si povieme pri testovaní hypotéz o parametroch. Do premennej ci sa uložia hranice intervalu spoľahlivosti pre strednú hodnotu \(\mu\). V tomto označení je to skratka pre confidence interval, t. j. konfidenčný interval, teda interval spoľahlivosti.
      sigma=sqrt(.06);[h,p,ci]=ztest(x,m,sigma)
      Výsledok z MATLABu:
      h = 0
      p = 1
      ci = 1.2185 1.5815
   
   
   2. Do vzorca \(\mu\in \left \langle \bar{x}-y_{1-\alpha}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\ ; \infty\! \ \right ) \) dosadíme hodnoty \(\sigma=\sqrt{0{,}06}\); \(n=7\); \(\bar{x}=1{,}4\); \(\alpha=1-0{,}90=0{,}1\); \(y_{1-\alpha}=y_{0{,}9}=1{,}2816\)
      (z tabuliek) a vyčíslime pomocou kalkulačky. Hľadaný pravostranný interval spoľahlivosti: \(\left\langle1{,}2814\ ; \infty\right ) \).
      
      Výpočet pomocou MATLABu:
      q=norminv(.9),d=m-q*sqrt(.06/7)
      
      Riešenie pomocou príkazu ztest:
      [h,p,ci]=ztest(x,m,sigma,0.1,'right')
      
   
   
   3. Do vzorca \(\mu\in\left ( -\infty\ ; \bar{x}+y_{1-\alpha}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} \right\rangle\) dosadíme \(\sigma=\sqrt{0{,}06}\); \(n=7\); \(\bar{x}=1{,}4\); \(\alpha=1-0{,}99=0{,}01\); \(y_{1-\alpha}=y_{0{,}99}=2{,}3263\)
      (z tabuliek) a vyčíslime pomocou kalkulačky. Hľadaný ľavostranný interval spoľahlivosti: \(\left(-\infty\ ;1{,}6154 \right\rangle\).
      
      Aplikácia MATLABu:
      q=norminv(.99),h=m+q*sqrt(.06/7)
      
      Riešenie pomocou príkazu ztest:
      [h,p,ci]=ztest(x,m,sigma,0.01,'left')
      

   Zobraziť riešenieSkryť riešenie
4. Intervaly spoľahlivosti pre strednú hodnotu \(\mu\) základného súboru s normálnym rozdelením, ak nepoznáme smerodajnú odchýlku \(\sigma\)
   
   Nech náhodná premenná \(X\) základného súboru má normálne rozdelenie pravdepodobnosti s parametrami \(\mu\in \mathbb{R}\) a \(\sigma\gt 0\), t.j. \(X\sim norm(\mu,\,\sigma)\), kde parameter \(\sigma\) nepoznáme. Nech \(n\) je rozsah náhodného výberu, \(\bar{x}\) je výberový priemer, \(s\) je výberová smerodajná odchýlka, hladina významnosti \(\alpha\in\left(0\, ; 1\right ) \) a \(t_{\beta,\,n-1}\) je \(\beta\)-kvantil Studentovho \(t\)-rozdelenia pravdepodobnosti s \(\gamma=n-1\) stupňami voľnosti.
   S pravdepodobnosťou \(1-\alpha\) bude príslušný interval spoľahlivosti pre strednú hodnotu určený reláciou:

   
   
   • \(\mu\in\left\langle\bar{x}-t_{1-\alpha/2,\,n-1}\cdot\dfrac{s}{\sqrt{n}}\ ; \bar{x}+t_{1-\alpha/2,\,n-1}\cdot\dfrac{s}{\sqrt{n}} \right\rangle\) , pre obojstranný
   
   
   • \(\mu\in \left \langle \bar{x}-t_{1-\alpha,\,n-1}\cdot\dfrac{s}{\sqrt{n}}\ ; \infty\! \ \right )\), pre pravostranný
   
   
   • \( \mu\in\left ( -\infty\ ; \bar{x}+t_{1-\alpha,\,n-1}\cdot\dfrac{s}{\sqrt{n}} \right\rangle \), pre ľavostranný.
     

   Príklad:
   Zo základného súboru s normálnym rozdelením sme urobili náhodný výber s realizáciami: 22,4; 28,0; 20,1; 27,4; 25,6; 23,9; 24,8; 26,4; 27,0; 25,4. Zistite:

   1. 95 %-ný obojstranný interval spoľahlivosti pre strednú hodnotu \(\mu\),
   2. 99 %-ný pravostranný interval spoľahlivosti pre strednú hodnotu \(\mu\),
   3. 90 %-ný ľavostranný interval spoľahlivosti pre strednú hodnotu \(\mu\).

   Riešenie:
   V tomto prípade nie je známa smerodajná odchýlka \(\sigma\) základného súboru.

   1. Budeme aplikovať vzorec \[ \mu\in\left\langle\bar{x}-t_{1-\alpha/2,\,n-1}\cdot\dfrac{s}{\sqrt{n}}\ ; \bar{x}+t_{1-\alpha/2,\,n-1}\cdot\dfrac{s}{\sqrt{n}} \right\rangle, \] do ktorého dosadíme potrebné hodnoty \(n=10\); \(\bar{x}=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n} x_i=25{,}1000\); \(s\ =\sqrt{ \frac{1}{n-1} \sum\limits_{i=1}^{n} (x_i-\bar{x})^2}=2{,}4304\); \(\alpha=1-0{,}95=0{,}05\); \(t_{1-\alpha/2,\,n-1}=t_{0{,}975;9}=2{,}2622\) (z tabuliek) a vyčíslime pomocou kalkulačky. Pre hľadaný obojstranný interval spoľahlivosti dostaneme: \(\left\langle23{,}3614\ ;26{,}8386 \right\rangle\).
      
      Teraz budeme na riešenie aplikovať aj MATLAB, pričom výberový priemer uložíme do premennej m, výberovú smerodajnú odchýlku do premennej s, kvantil Studentovho \(t\)-rozdelenia do premennej q, dolnú a hornú hranicu hľadaného obojstranného intervalu spoľahlivosti do premenných d a h:
      x=[224,280,201,274,256,239,248,264,270,254]/10;m=mean(x),s=std(x),q=tinv(.975,9),d=m-q*s/sqrt(10),h=m+q*s/sqrt(10)
      
      Ukážeme znova aj ďalší spôsob riešenia tejto úlohy pomocou MATLABu, a to bez použitia hore uvedeného vzorca. Interval spoľahlivosti pre strednú hodnotu \(\mu\) v prípade neznámej smerodajnej odchýlky \(\sigma\) môžeme nájsť tiež pomocou príkazu [h,p,ci]=ttest(x,m,alpha,tail). Pozrite si to podrobnejšie pomocou help ttest. Týmto spôsobom robíme aj testovanie hypotéz o parametroch normálneho rozdelenia. Čo sa týka vstupných argumentov, tak x sú namerané hodnoty, m je výberový priemer, alpha je zvolená hladina významnosti a za tail dosadíme podľa potreby. Pre obojstranný interval bude tail=0 alebo tail='both', pre pravostranný interval bude tail=1 alebo tail='right' a pre ľavostranný bude tail=-1 alebo tail='left'. Čo sa týka výstupných argumentov h a p, tak ich význam si povieme pri testovaní hypotéz o parametroch. Do premennej ci sa uložia hranice intervalu spoľahlivosti pre strednú hodnotu \(\mu\).
      [h,p,ci]=ttest(x,m,0.05,0)
      
      Na tomto príklade ukážeme ešte možnosť hľadania bodových odhadov parametrov normálneho rozdelenia a tiež obojstranných intervalov spoľahlivosti pre tieto parametre pomocou M-funkcie normfit. Je vhodné použiť funkciu normfit so štyrmi výstupnými argumentmi (pozrite help normfit): [muhat,sigmahat,muci,sigmaci]=normfit(x,alpha). Vstupné argumenty sú tu jasné. Hladina významnosti alpha je vopred nastavená na 0,05. Teda hodnotu druhého vstupného argumentu musíme písať len v prípade inej voľby hodnoty hladiny významnosti. Do premennej muhat sa uloží výberový priemer, do premennej sigmahat sa uloží výberová smerodajná odchýlka, t. j. dostaneme bodové odhady neznámych parametrov \(\mu\) a \(\sigma\). Do premennej muci sa uložia hranice obojstranného intervalu spoľahlivosti pre strednú hodnotu \(\mu\). Do premennej sigmaci sa uložia hranice obojstranného intervalu spoľahlivosti pre smerodajnú odchýlku \(\sigma\).
      [muhat,sigmahat,muci,sigmaci]=normfit(x,0.05)
      Výsledok z MATLABu:
      muhat = 25.1000
      sigmahat = 2.4304
      muci = 23.3614 26.8386
      sigmaci = 1.6717 4.4369
      
      Ďalšie spôsoby hľadania intervalov spoľahlivosti pre smerodajnú odchýlku \(\sigma\), resp. rozptyl \(\sigma^2\) ukážeme v riešenej úlohe časti 5.
   
   
   2. Použijeme vzorec \[ \mu\in \left \langle \bar{x}-t_{1-\alpha,\,n-1}\cdot\dfrac{s}{\sqrt{n}}\ ; \infty\! \ \right ), \] kde dosadíme potrebné hodnoty \(n=10\); \(\bar{x}=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n} x_i=25{,}1000\); \(s\ =\sqrt{ \frac{1}{n-1} \sum\limits_{i=1}^{n} (x_i-\bar{x})^2}=2{,}4304\); \(\alpha=1-0{,}99=0{,}01\); \(t_{1-\alpha,\,n-1}=t_{0{,}99;9}=2{,}8214\) (z tabuliek) a vyčíslime pomocou kalkulačky. Hľadaný pravostranný interval spoľahlivosti: \(\left\langle22{,}9316\ ; \infty\right ) \).
      
      Výpočet pomocou MATLABu:
      q=tinv(.99,9),d=m-q*s/sqrt(10)
      
      Riešenie pomocou príkazu ttest:
      [h,p,ci]=ttest(x,m,0.01,'right')
      
   
   
   3. Aplikujeme vzorec \[ \mu\in\left ( -\infty\ ; \bar{x}+t_{1-\alpha,\,n-1}\cdot\dfrac{s}{\sqrt{n}} \right\rangle, \]
      do ktorého dosadíme potrebné hodnoty \(n=10\); \(\bar{x}=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n} x_i=25{,}1000\); \(s\ =\sqrt{ \frac{1}{n-1} \sum\limits_{i=1}^{n} (x_i-\bar{x})^2}=2{,}4304\); \(\alpha=1-0{,}9=0{,}1\); \(t_{1-\alpha,\,n-1}=t_{0{,}9;9}=1{,}3830\) (z tabuliek) a vyčíslime pomocou kalkulačky. Hľadaný ľavostranný interval spoľahlivosti: \(\left(-\infty\ ;26{,}1629\right\rangle\).
      
      Aplikácia MATLABu:
      q=tinv(.9,9),h=m+q*s/sqrt(10)
      
      Riešenie pomocou príkazu test:
      [h,p,ci]=ttest(x,m,0.1,'left')
      

   Zobraziť riešenieSkryť riešenie
5. intervaly spoľahlivosti pre rozptyl \(\sigma^2\) a smerodajnú odchýlku \(\sigma\) základného súboru s normálnym rozdelením, ak nepoznáme strednú hodnotu \(\mu\)
   
   Nech náhodná premenná \(X\) základného súboru má normálne rozdelenie pravdepodobnosti s parametrami \(\mu\in \mathbb{R}\) a \(\sigma\gt 0\), t.j. \(X\sim norm(\mu,\,\sigma)\), kde parameter \(\mu\) nepoznáme. Nech \(n\) je rozsah náhodného výberu, \(s^2\) je výberový rozptyl, hladina významnosti \(\alpha\in\left(0\, ; 1\right ) \) a \(\chi^2_{\beta,\,n-1}\) je \(\beta\)-kvantil \(\chi^2\)-rozdelenia s \(\gamma=n-1\) stupňami voľnosti.
   S pravdepodobnosťou \(1-\alpha\) bude príslušný interval spoľahlivosti pre rozptyl určený reláciou:

   
   
   • \(\sigma^2\in\left\langle \dfrac{(n-1)\cdot s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2,\,n-1}}\ ;\dfrac{(n-1)\cdot s^2}{\chi^2_{\alpha/2,\,n-1}}\right\rangle\), pre obojstranný
   
   
   • \(\sigma^2\in\left\langle \dfrac{(n-1)\cdot s^2}{\chi^2_{1-\alpha,\,n-1}}\ ;\, \infty \right)\), pre pravostranný
   
   
   • \(\sigma^2\in\left ( 0\, ;\, \dfrac{(n-1)\cdot s^2}{\chi^2_{\alpha,\,n-1}}\right\rangle\), pre ľavostranný.
     

   Poznámka:
   Ak vo vzorcoch pre príslušné intervaly spoľahlivosti pre rozptyl \(\sigma^2\) odmocníme hranice, tak dostaneme vzorce pre príslušné intervaly spoľahlivosti pre smerodajnú odchýlku \(\sigma\):

   
   
   • \(\sigma\in\left\langle\sqrt{ \dfrac{(n-1)\cdot s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2,\,n-1}}}\ ;\sqrt{\dfrac{(n-1)\cdot s^2}{\chi^2_{\alpha/2,\,n-1}}}\right\rangle\)
   
   
   • \(\sigma\in\left\langle\sqrt{ \dfrac{(n-1)\cdot s^2}{\chi^2_{1-\alpha,\,n-1}}}\ ;\, \infty \right)\)
   
   
   • \(\sigma\in\left (0\, ;\, \sqrt{\dfrac{(n-1)\cdot s^2}{\chi^2_{\alpha,\,n-1}}}\right\rangle\).
     

   Príklad:
   V laboratóriu bol meraný percentuálny obsah medi v zliatine. Výsledky meraní sú v tabuľke (\(z_i\) je triedny znak): \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline z_i \a 3{,}0 \a 3{,}3 \a 3{,}6 \a 3{,}9 \a 4{,}2 \a 4{,}5 \a 4{,}8 \\ \hline n_i \a 4 \a 7 \a 12 \a 18 \a 21 \a 13 \a 6 \\ \hline \end{array} \] Predpokladáme normálne rozdelenie základného súboru, z ktorého bol realizovaný náhodný výber. Určte:

   1. 95 %-né obojstranné intervaly spoľahlivosti pre rozptyl \(\sigma^2\) a smerodajnú odchýlku \(\sigma\) obsahu medi v danej zliatine,
   2. 90 %-ný pravostranný interval spoľahlivosti pre rozptyl \(\sigma^2\) obsahu medi v danej zliatine,
   3. 99 %-ný ľavostranný interval spoľahlivosti pre rozptyl \(\sigma^2\) obsahu medi v danej zliatine.

   Riešenie:
   

   1. Použijeme vzorec pre obojstranný interval spoľahlivosti pre rozptyl \[ \sigma^2\in\left\langle \frac{(n-1)\cdot s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2,\,n-1}}\ ;\frac{(n-1)\cdot s^2}{\chi^2_{\alpha/2,\,n-1}}\right\rangle, \]
      do ktorého dosadíme hodnoty \(n=\sum\limits_{i=1}^{k} n_i=81\); \(\bar{x}=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{k} z_i\cdot n_i=4{,}0000\); \(s^2=\frac{1}{n-1}\sum\limits_{i=1}^{k} (z_i-\bar{x})^2=0{,}2183\); \(\alpha=1-0{,}95=0{,}05\); \(\chi^2_{1-\alpha/2,\,n-1}=\chi^2_{0{,}975;80}=106{,}6286\); \(\chi^2_{\alpha/2,\,n-1}=\chi^2_{0{,}025;80}=57{,}1532\) (z tabuliek) a vyčíslime pomocou kalkulačky. Hľadaný obojstranný interval spoľahlivosti pre rozptyl bude: \(\left\langle0{,}1637\ ;0{,}3055 \right\rangle\).
      Odmocnením získaných hraníc dostaneme zrejme hranice obojstranného intervalu spoľahlivosti pre smerodajnú odchýlku: \(\left\langle0{,}4047\ ;0{,}5527 \right\rangle\).
      
      Teraz ilustrujeme riešenie úlohy použitím MATLABu, pričom výberový rozptyl uložíme do premennej v, kvantily \(\chi^2\)-rozdelenia do premenných qd a qh, dolnú a hornú hranicu hľadaného obojstranného intervalu spoľahlivosti pre rozptyl do premenných d, h a pre smerodajnú odchýlku do premenných D, H:
      z=[3*ones(1,4),3.3*ones(1,7),3.6*ones(1,12),3.9*ones(1,18),4.2*ones(1,21),4.5*ones(1,13),4.8*ones(1,6)]; n=length(z),alfa=0.05;v=var(z),qd=chi2inv(1-alfa/2,n-1),qh=chi2inv(alfa/2,n-1)
      d=(n-1)*v/qd,h=(n-1)*v/qh,D=sqrt(d),H=sqrt(h)
      
      Obojstranný interval spoľahlivosti pre rozptyl \(\sigma^2\) môžeme nájsť tiež pomocou príkazu [h,p,ci]=vartest(x,v,alpha,tail). Pozrite si to podrobnejšie pomocou help vartest. Do premennej ci sa uložia hranice obojstranného intervalu spoľahlivosti pre rozptyl \(\sigma^2\). Odmocnením získaných hraníc dostaneme hranice obojstranného intervalu spoľahlivosti pre smerodajnú odchýlku \(\sigma\).
      [h,p,ci]=vartest(z,v,0.05,'both'),sqrt(ci)
      
   
   
   2. Použijeme vzorec \[ \sigma^2\in\left\langle \frac{(n-1)\cdot s^2}{\chi^2_{1-\alpha,\,n-1}}\ ;\, \infty \right), \]
      do ktorého dosadíme hodnoty \(n=81\); \(s^2=0{,}2183\); \(\alpha=1-0{,}9=0{,}1\); \(\chi^2_{1-\alpha,\,n-1}=\chi^2_{0{,}9;80}=96{,}5782\) (z tabuliek) a vyčíslime pomocou kalkulačky. Hľadaný pravostranný interval spoľahlivosti pre rozptyl: \(\left\langle0{,}1808\ ; \infty\right ) \).
      
      Výpočet pomocou MATLABu:
      alfa=0.1;q=chi2inv(1-alfa,n-1),d=(n-1)*v/q
      
      Riešenie pomocou príkazu vartest:
      [h,p,ci]=vartest(z,v,0.1,'right')
      
   
   
   3. Aplikujeme vzorec \[ \sigma^2\in\left (0\, ;\, \frac{(n-1)\cdot s^2}{\chi^2_{\alpha,\,n-1}}\right\rangle, \]
      do ktorého dosadíme hodnoty \(n=81\); \(s^2=0{,}2183\); \(\alpha=1-0{,}99=0{,}01\); \(\chi^2_{\alpha,\,n-1}=\chi^2_{0{,}01;80}=53{,}5401\) (z tabuliek) a vyčíslime pomocou kalkulačky. Hľadaný ľavostranný interval spoľahlivosti pre rozptyl: \(\left (0\, ;0{,}3261\right\rangle\).
      
      Výpočet pomocou MATLABu:
      alfa=0.01;q=chi2inv(alfa,n-1),h=(n-1)*v/q
      
      Riešenie pomocou príkazu vartest:
      [h,p,ci]=vartest(z,v,0.01,'left')
      

   Zobraziť riešenieSkryť riešenie

Zdroje

1. Ostertagová, E.: Aplikovaná štatistika. Equilibria, Košice, 2013, 218 s., ISBN 978-80-8143-067-1.
2. Ostertagová, E.: Pravdepodobnosť a matematická štatistika v príkladoch. Elfa, Košice, 2005, 123 s., ISBN 80-8086-005-X.

Doplňujúce úlohy

Úloha:
Bol meraný odpor elektrického obvodu [\(\Omega\)] s výsledkami uvedenými v nasledujúcej frekvenčnej tabuľke: \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x_i \a 98 \a 99 \a 100\a 101 \a 102\a 103\\ \hline n_i \a 2 \a 4 \a 6 \a 4 \a 3 \a 1 \\ \hline \end{array} \] Vypočítajte výberové charakteristiky daného výberového súboru.
Výsledok:
\(\bar{x}=100{,}2500\);\(\,\) \(\ \) \(s^2=1{,}8816\);\(\,\) \(\ \) \(s=1{,}3717\).
Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha:
Vykonali sme 32 analýz na overenie koncentrácie chemickej látky v roztoku s týmito výsledkami: \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x_i \a 9 \a 11 \a 12\a 14 \a 15\a 16 \a 17\a 18\a 20\a 21 \\ \hline n_i \a 1 \a 2 \a 3 \a 4 \a 7 \a 5 \a 4\a 3\a 2 \a 1 \\ \hline \end{array} \] Predpokladáme normálne rozdelenie základného súboru, z ktorého bol realizovaný náhodný výber. Vieme, že rozptyl \(\sigma^2=7{,}4\). Vypočítajte:
1. 99 %-ný obojstranný interval spoľahlivosti pre strednú hodnotu \(\mu\),
2. 99 %-ný pravostranný interval spoľahlivosti pre strednú hodnotu \(\mu\),
3. 95 %-ný ľavostranný interval spoľahlivosti pre strednú hodnotu \(\mu\).
Výsledok:
a.\(\,\) \(\ \) \(\left\langle14{,}1051\ ;16{,}5824 \right\rangle\);
b.\(\,\) \(\ \) \(\left\langle14{,}2250\ ; \infty\right ) \);
c.\(\,\) \(\ \) \(\left(-\infty\ ;16{,}1347 \right\rangle\).
Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha:
Preverovala sa zdatnosť študentov v skoku do výšky. Výsledky dosiahnutej výšky skokov [\(\mathrm{cm}\)] sú zhrnuté v tabuľke: \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline z_i \a 120 \a 130 \a 140 \a 150 \a 160 \a 170 \a 180 \a 190 \a 200 \a 210 \\ \hline n_i \a 3 \a 5 \a 7 \a 11 \a 12 \a 6 \a 2 \a 2 \a 1 \a 1 \\ \hline \end{array} \] Predpokladáme normálne rozdelenie základného súboru, z ktorého bol realizovaný náhodný výber. Je známa smerodajná odchýlka \(\sigma=20\). Určte:
1. 95 %-ný obojstranný interval spoľahlivosti pre strednú hodnotu \(\mu\),
2. 95 %-ný pravostranný interval spoľahlivosti pre strednú hodnotu \(\mu\),
3. 95 %-ný ľavostranný interval spoľahlivosti pre strednú hodnotu \(\mu\).
Výsledok:
a.\(\,\) \(\ \) \(\left\langle149{,}0564\ ;160{,}1436 \right\rangle\);
b.\(\,\) \(\ \) \(\left\langle149{,}9477\ ; \infty\right ) \);
c. \(\,\) \(\ \)\(\left(-\infty\ ;159{,}2523 \right\rangle\).
Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha:
Na obrábacích strojoch sa zisťoval čas v sekundách, ktorý je potrebný na vykonanie pracovnej operácie. Výsledky sú usporiadané v tabuľke intervalového rozdelenia početností: \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline z_i \a 32 \a 37 \a 42\a 47 \a 52\a 57\a 62\a 67 \\ \hline n_i \a 1 \a 7 \a 33 \a 63 \a 38 \a 5 \a 1\a 2 \\ \hline \end{array} \] Predpokladáme normálne rozdelenie základného súboru, z ktorého bol realizovaný náhodný výber. Vypočítajte:
1. 95 %-ný obojstranný interval spoľahlivosti pre strednú hodnotu \(\mu\) trvania pracovnej operácie,
2. 95 %-ný pravostranný interval spoľahlivosti pre strednú hodnotu \(\mu\) trvania pracovnej operácie,
3. 95 %-ný ľavostranný interval spoľahlivosti pre strednú hodnotu \(\mu\) trvania pracovnej operácie.
Výsledok:
a.\(\,\) \(\ \) \(\left\langle46{,}4422\ ;48{,}1578 \right\rangle\);
b.\(\,\) \(\ \) \(\left\langle46{,}5815\ ; \infty\right ) \);
c.\(\,\) \(\ \) \(\left(-\infty\ ;48{,}0185 \right\rangle\).
Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha:
Zisťovala sa pevnosť vlákna [\(\mathrm{kg / mm^2}\)]. Merania sa vykonali na desiatich vzorkách s týmito výsledkami: 10,3; 8,8; 9,7; 9,6; 11,2; 10,7; 9,1; 9,5; 10,3; 9,3. Predpokladáme normálne rozdelenie základného súboru, z ktorého bol realizovaný náhodný výber. Určte:
1. bodové odhady parametrov \(\mu\) a \(\sigma\),
2. 95 %-ný obojstranný interval spoľahlivosti pre strednú hodnotu \(\mu\),
3. 95 %-ný obojstranný interval spoľahlivosti pre smerodajnú odchýlku \(\sigma\).
Výsledok:
a. \(\,\) \(\ \)\(\bar{x}=9{,}8500\); \(\,\) \(\ \)\(s=0{,}7546\);
b. \(\,\) \(\ \)\(\left\langle9{,}3102\ ;10{,}3898 \right\rangle\);
c.\(\,\) \(\ \) \(\left\langle0{,}5191\ ;1{,}3776 \right\rangle\).
Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha:
Merali sme priemer 250 strojových súčiastok. Výsledky merania sú v tabuľke: \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline z_i \a 963 \a 968 \a 973 \a 978 \a 983 \a 988 \a 993 \a 998 \a 1003 \a 1008 \a 1013 \a 1018 \a 1023 \a 1028 \a 1033 \\ \hline n_i \a 1 \a 5 \a 5 \a 13\a 18 \a 32\a 50 \a 50 \a 37 \a 18\a 8 \a 7 \a 4 \a 1 \a 1 \\ \hline \end{array} \] Predpokladáme normálne rozdelenie základného súboru, z ktorého bol realizovaný náhodný výber. Určte:
1. bodové odhady parametrov \(\mu\) a \(\sigma\),
2. 95 %-ný pravostranný interval spoľahlivosti pre strednú hodnotu \(\mu\),
3. 95 %-ný ľavostranný interval spoľahlivosti pre rozptyl \(\sigma^2\).
Výsledok:
a. \(\,\) \(\ \)\(\bar{x}=995{,}5200\);\(\,\) \(\ \) \(s=11{,}5056\);
b.\(\,\) \(\ \) \(\left\langle994{,}3186\ ; \infty\right ) \);
c.\(\,\) \(\ \) \(\left (0\, ;154{,}4157\right\rangle\).
Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha:
Pri sériových skúškach motorov určitého druhu boli zistené tieto hodnoty výkonu [\(\mathrm{kW}\)]: 159,5; 159,4; 159,6; 159,7; 159,8; 160,1; 160,6; 161,0; 161,5; 161,8; 162,0; 162,5. Predpokladáme normálne rozdelenie základného súboru, z ktorého bol realizovaný náhodný výber. Určte:
1. 95 %-né obojstranné intervaly spoľahlivosti pre rozptyl \(\sigma^2\) a smerodajnú odchýlku \(\sigma\) výkonu sledovaného druhu motora,
2. 95 %-né pravostranné intervaly spoľahlivosti pre rozptyl \(\sigma^2\) a smerodajnú odchýlku \(\sigma\) výkonu motora,
3. 95 %-né ľavostranné intervaly spoľahlivosti pre rozptyl \(\sigma^2\) a smerodajnú odchýlku \(\sigma\) výkonu motora.
Výsledok:
a.\(\,\) \(\ \) \(\left\langle0{,}6078\ ;3{,}4915 \right\rangle\),\(\,\) \(\ \) \(\left\langle0{,}7796\ ;1{,}8685 \right\rangle\);
b. \(\,\) \(\ \)\(\left\langle0{,}6771\ ; \infty\right ) \), \(\,\) \(\ \) \(\left\langle 0{,}8229\ ; \infty\right ) \);
c. \(\,\) \(\ \)\(\left (0\, ;2{,}9121\right\rangle\), \(\,\) \(\ \)\(\left (0\, ;1{,}7065\right\rangle\).
Zobraziť výsledokSkryť výsledok

Doplňujúce zdroje

1. Bakytová, H., Ugron, M.: Príklady zo štatistických metód. Alfa, Bratislava, 1972, 289 s.
2. Buša, J., Pirč, V., Schrötter, Š.: Numerické metódy, pravdepodobnosť a matematická štatistika. Elfa, Košice, 2006, 166 s., ISBN 80-8073-632-4.
3. Daňo, I., Ostertagová, E.: Numerické metódy, pravdepodobnosť a matematická štatistika. Teória, riešené príklady a praktické aplikácie s MATLABom. Equilibria, Košice, 2011, 198 s., ISBN 978-80-89284-74-0.
4. Gavalec, M., Kováčová, N., Ostertagová, E., Skřivánek, J: Pravdepodobnosť a matematická štatistika v počítačovom prostredí MATLABu. Elfa, Košice, 2002, 150 s., ISBN 80-89066-05-4.
5. Markechová, D., Tirpáková, A., Stehlíková, B.: Základy štatistiky pre pedagógov, UKF v Nitre, 2011,205 s., ISBN 978-80-8094.
6. Otipka, P., Šmajstrla, V.: Pravděpodobnost a statistika. TU, Ostrava, 2012, 269 s., ISBN 80-248-1194-4.