Numerický výpočet určitého integrálu

Ciele

1. Numerický výpočet určitého integrálu lichobežíkovou metódou so zadanou presnosťou. Odhad nepresnosti určenia určitého integrálu pri zadanom počte delení intervalu integrovania.
2. Numerický výpočet určitého integrálu Simpsonovou metódou so zadanou presnosťou. Odhad nepresnosti určenia určitého integrálu pri zadanom počte delení intervalu integrovania.

Úvod

Numerické integrovanie sa používa väčšinou v prípadoch, keď integrovaná funkcia \(f \) je zadaná len pomocou tabuľky svojich funkčných hodnôt, alebo v prípade, keď nevieme nájsť prostredníctvom elementárnych funkcií k danej integrovanej funkcii primitívnu funkciu. Pri numerickom integrovaní postupujeme tak, že interval integrovania \( \left\langle a,b\right\rangle \) rozdelíme na \( n\) častí \[ \left\langle a, x_{1}\right\rangle, \left\langle x_{1}, x_{2}\right\rangle, \ldots , \left\langle x_{n-2}, x_{n-1}\right\rangle, \left\langle x_{n-1}, b\right\rangle.\] Keď si zvolíme pre numerický výpočet určitého integrálu lichobežíkovú metódu, tak na každej časti takto rozdeleného intervalu nahradíme funkciu \( f\left(x\right)\) interpolačným polynómom \(L_{1}\left(x\right)\), kde \( 1\) je stupeň polynómu. Keď si však zvolíme pre numerický výpočet určitého integrálu Simpsonovu metódu, tak potom predpokladáme, že číslo \( n\) je párne a funkciu \( f\left(x\right)\) nahradíme interpolačným polynómom druhého stupňa \(L_{2}\left(x\right)\)na každom podintervale \[ \left\langle x_{2i},x_{2i+2}\right\rangle ,\quad i=0,1,\ldots,\frac{n}{2}-1,\quad x_{0}=a,\quad x_{n+1}=b \] intervalu \( \left\langle a,b\right\rangle \).

Postup

1. Numerický výpočet určitého integrálu lichobežíkovou metódou.
   
   
   Interval integrovania \( \left\langle a,b\right\rangle \) rozdelíme na \(n\) intervalov rovnakej dĺžky s uzlovými bodmi \[ a=x_0\lt x_1\lt x_2\lt \ldots \lt x_{n-1}\lt x_n=b, \] kde \[ x_i=x_0+ih,\ i=0,1,\ldots,n \] a \[ h=\frac{b-a}{n} \] je konštantný krok. Označme funkčné hodnoty funkcie \(f(x)\) nasledovne: \[ f(x_i)=y_i,\ i=0,1,\ldots,n. \] Ak na intervale \[ \left\langle a+ih,a+(i+1)h\right\rangle =\left\langle x_i,x_{i+1}\right\rangle,\ i=0,1,\ldots,n-1. \] budeme funkciu \(f(x)\) aproximovať Lagrangeovým interpolačným polynómom prvého stupňa, dostaneme približnú hodnotu určitého integrálu v tvare \[ \int_{x_i}^{x_{i+1}}f(x)dx\approx \int_{x_i}^{x_{i+1}}L_1(x,x_i,x_{i+1})dx=\frac{h}{2}\left[y_i+y_{i+1}\right], \ i=0,1,\ldots,n-1. \] Toto je základný vzorec lichobežníkovej metódy. Z vlastností určitého integrálu potom vyplýva, že \[ \int_{a}^{b}f(x)dx= I_{L}(n)+R_{L}(f,n), \] kde \begin{equation} I_{L}(n)=\frac{h}{2}\left(y_0+2y_1+2y_2+\cdots+2y_{n-1}+y_n\right) \end{equation} je vzorcom na výpočet približnej hodnoty integrálu lichobežníkovou metódou pri rovnomernom delení intervalu \( \left\langle a,b\right\rangle \) na \( n\) rovnako veľkých častí.

   Poznámka: Uvadzáme postup pre podrobnejší vývod vzorca (1): \[ \int_{a}^{b}f(x)dx= \int_{a}^{a+h}f(x)dx+ \int_{a+h}^{a+2h}f(x)dx+\cdots+\int_{a+(n-1)h}^{b}f(x)dx=\] \[=\int_{x_0}^{x_1}L_1(x,x_0,x_1)dx+\int_{x_1}^{x_2}L_1(x,x_1,x_2)dx+\cdots+ \int_{x_{n-1}}^{x_n}L_1(x,x_{n-1},x_n)dx+R_{L}(f,n)=\] \[= \frac{h}{2}\left(y_0+2y_1+2y_2+\cdots+2y_{n-1}+y_n\right)+R_{L}(f,n), \]

   Pre horný odhad chyby lichobežníkovej metódy dostávame vzorec \begin{equation} \left|R_{L}(f,n)\right|\leqq \frac{(b-a)^{3}}{12n^{2}}M_{2},\ M_{2} \geqq \max_{x\in\left\langle a,b\right\rangle}\left|f''(x)\right| . \end{equation}

   Príklad: Vypočítajme lichobežníkovou metódou približnú hodnotu integrálu \(\int_{0}^{1}\cos x^{2}dx \) pre \(n=10 \) a odhadnime chybu výpočtu.
   

   Riešenie:
   Rozdelíme interval \(\left\langle 0,1\right\rangle \) na \(n=10 \) častí. Určíme krok \[h=\frac{b-a}{n}=\frac{1}{10}=0,1. \] Vytvoríme pomocnú tabuľku vypočítaných hodnôt funkcie \(y_i=\cos(0+i0{,}1)^{2}\) pre jednotlivé \(i=0,1,2, \ldots ,10.\) \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \def\a{&} \cos(0)^2 \a \cos (0{,}1)^2 \a\cos(0{,}2)^2 \a \cos(0{,}3)^2\a\cos(0{,}4)^2\a\cos(0{,}5)^2\a \cos(0{,}6)^2 \a\cos(0{,}7)^2\a\cos(0{,}8)^2\a\cos(0{,}9)^2\a\cos(1)^2\\ \hline 1 \a 1 \a 0{,}9992 \a 0{,}9960\a 0{,}9872\a 0{,}9689\a 0{,}9359\a 0{,}8823\a 0{,}8021\a 0{,}6895\a 0{,}5403\\ \hline \end{array} \] Približnú hodnotu integrálu \(\int_{0}^{1}\cos x^{2}dx \) vypočítame na základe vzťahu
   \[\int_{0}^{1}\cos x^{2}dx\approx I_L(10)=\frac{0{,}1}{2}\left(\cos(0)^2+\cos(1)^2+2\sum_{i=1}^{9}\cos(0+i0{,}1)^{2} \right)=0{,}903122. \] Urobíme odhad chyby výpočtu. Teda \[\max_{x\in\left\langle 0,1\right\rangle} \left|-4x^{2}\cos x^{2}-2\sin x^{2}\right|\leq \max_{x\in\left\langle 0,1\right\rangle} \left|4x^{2}\cos x^{2}\right|+\max_{x\in\left\langle 0,1\right\rangle}\left|2\sin x^{2}\right| \leq 4+2=6=M_{2} \] a \[\left|R_{L}(f,n)\right|\leq\frac{6}{1200}=0,005. \] Pomocou programu MATLAB si môžeme graf funkcie \(f\left(x\right)=\left|-4x^2\cos(x^2) -2\sin(x^2)\right| \) nakresliť.

   

   Obr.: : Graf funkcie \(f\left(x\right)=\left|-4x^2\cos(x^2)-2\sin(x^2)\right| \)

   Z obrázka je vidieť, že pomocou programu MATLAB môžeme odhadnúť číslo \(M_{2}\) oveľa presnejšie. Teda \[\max_{x\in\left\langle 0,1\right\rangle} \left|-4x^{2}\cos x^{2}-2\sin x^{2}\right|\leq 4=M_{2} \] a \[\left|R_{L}(f,n)\right|\leq\frac{4}{1200}=0,003. \] Dostali sme presnejší odhad chyby výpočtu daného integrálu.

   Zobraziť riešenieSkryť riešenie

   Príklad: Vypočítajte lichobežníkovou metódou približnú hodnotu integrálu \(\int_{1}^{4}\sqrt{x}\;dx\) s presnosťou \( \epsilon=10^{-2}\).
   

   Riešenie:
   Najprv určíme \(n\), ktoré zaručí dosiahnutie žiadanej presnosti \(\epsilon\) výpočtu daného integrálu. Na určenie \(n\) použijeme vzťahy \[\left|R_{L}(f,n)\right|\leq\frac{(b-a)^{3}}{12n^{2}}M_{2}\leq \epsilon,\qquad M_{2}\geq \max_{x\in\left\langle a,b\right\rangle}\left|f''(x)\right|. \] Teda \[ M_{2}=\max_{x\in\left\langle 1,4\right\rangle}\left|\frac{-1}{4\sqrt{x^{3}}}\right|= \frac{1}{4},\qquad n\geq \sqrt{\frac{(b-a)^3M_2}{12\epsilon}}=\sqrt{\frac{900}{16}}=7{,}5. \] Po zaokrúhlení daného čísla nahor dostávame, že \(n=8\) a \(h=\frac{4-1}{8}=0{,}375.\) Pomocou programu MATLAB si môžeme graf funkcie \(f\left(x\right)=\left|-\frac{1}{4\sqrt{x^3}} \right| \) nakresliť.

   

   Obr.: : Graf funkcie \(f\left(x\right)=\left|-\frac{1}{4\sqrt{x^3}} \right| \)

   Z obrázka je vidieť, že sme odhadli číslo \(M_{2}\) presne.
   Vytvoríme pomocnú tabuľku vypočítaných hodnôt funkcie \(\sqrt{1+i\cdot0{,}375}\) pre jednotlivé \(i=0,1,2, \ldots ,8.\) \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \def\a{&} \sqrt{1} \a \sqrt{1{,}375}\a \sqrt{1+2\cdot0{,}375}\a \sqrt{1+3\cdot0{,}375}\a \sqrt{1+4\cdot0{,}375}\a \sqrt{1+5\cdot0{,}375}\a \sqrt{1+6\cdot0{,}375} \a \sqrt{1+7\cdot0{,}375}\a \sqrt{4} \\ \hline 1 \a 1{,}1726 \a 1{,}3229 \a 1{,}4577\a 1{,}5811\a 1{,}6956\a 1{,}8028\a 1{,}9039 \a 2\\ \hline \end{array} \] Približnú hodnotu daného integrálu vypočítame na základe vzťahu \[\int_{1}^{4}\sqrt{x}\:dx\approx I_{L}(8)=\frac{0{,}375}{2}\left(\sqrt{1}+\sqrt{4}+2\sum_{i=1}^{7}\sqrt{1+i0{,}375}\right)=4{,}6637. \]

   Zobraziť riešenieSkryť riešenie
2. Numerický výpočet určitého integrálu Simpsonovou metódou.
   
   Podobne ako pri lichobežníkovej metóde interval integrovania \( \left\langle a,b\right\rangle \) rozdelíme na \(n\) intervalov rovnakej dĺžky s uzlovými bodmi \[ a=x_0\lt x_1\lt x_2\lt \ldots \lt x_{n-1}\lt x_n=b, \] avšak \(n\) musí byť párne číslo, teda \(n=2k,\ k=1,2,\ldots .\) Pre uzlové body a funkčné hodnoty v nich platí, že \[ x_i=x_0+ih, \ h=\frac{b-a}{n}, \ f(x_i)=y_i,\ i=0,1,\ldots,n. \] Na každom z intervalov \[ \left\langle x_{2i},x_{2i+2}\right\rangle ,\ i=0,1,\ldots,\frac{n}{2}-1 \] zameníme funkciu \(f(x)\) Lagrangeovým polynómom druhého stupňa vypočítaného v uzlových bodoch \[ x_{2i},\;x_{2i+1},\;x_{2i+2}. \] Po integrácii tohto polynómu dostaneme približnú hodnotu určitého integrálu \[ \int^{x_{2i+2}}_{x_{2i}}f(x)dx\approx \frac{h}{3}\left[y_{2i}+4y_{2i+1}+y_{2i+2}\right],\ i=0,1,\ldots,\frac{n}{2}-1. \] Toto je základný vzorec Simpsonovej metódy. Z vlastností určitého integrálu potom vyplýva, že \[ \int^{b}_{a}f(x)dx=I_{S}(n)+R_{S}(f,n), \] kde \begin{equation} I_{S}(n)=\frac{h}{3}\left(y_0+y_n+4\sum^{k}_{i=1}y_{2i-1}+2\sum^{k-1}_{i=1}y_{2i}\right) \end{equation} je vzorcom na výpočet približnej hodnoty integrálu Simpsonovou metódou.

   Poznámka: Uvadzáme postup pre podrobnejší vývod vzorca (3): \[ \int^{b}_{a}f(x)dx=\int^{a+2h}_{a}f(x)dx+\int^{a+4h}_{a+2h}f(x)dx+\ldots+\int^{b}_{a+(n-2)h}f(x)dx= \] \[= \int^{x_2}_{x_0}L_2(x,x_0,x_2)dx+\int^{x_4}_{x_2}L_2(x,x_2,x_4)dx+\ldots+ \int^{x_n}_{x_{n-2}}L_2(x,x_{n-2},x_n)dx+R_{S}(f,n)= \] \[= \frac{h}{3}\left(y_0+4y_1+2y_2+y_3+\cdots+4y_{n-1}+y_n\right)+R_{S}(f,n)= \] \[= \frac{h}{3}\left(y_0+y_n+4\sum^{k}_{i=1}y_{2i-1}+2\sum^{k-1}_{i=1}y_{2i}\right)+R_{S}(f,n),\ k=\frac{n}{2}, \]

   Pre horný odhad chyby Simpsonovej metódy platí: \[\left|R_{S}(f,n)\right|\leq\frac{(b-a)^{5}}{180n^{4}}M_{4}, \qquad M_{4}\geq \max_{x\in\left\langle a,b\right\rangle}\left|f^{(4)}(x)\right| . \]

   Príklad: Vypočítajte Simpsonovou metódou približnú hodnotu integrálu \(\int_{0}^{1}\cos x^{2}dx \) pre \(n=10 \) a odhadnite chybu výpočtu.
   

   Riešenie:
   Rozdelíme interval \(\left\langle 0,1\right\rangle \) na \(n=10 \) častí. Pri Simpsonovej metóde \(n \) musí byť vždy párne číslo. Určíme krok \[h=\frac{b-a}{n}=\frac{1}{10}=0{,}1. \] Vytvoríme pomocnú tabuľku vypočítaných hodnôt funkcie \(y_i=\cos(0+i0{,}1)^{2}\) pre jednotlivé \(i=0,1,2, \ldots ,10.\) \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \def\a{&} \cos(0)^2 \a \cos (0{,}1)^2 \a\cos(0{,}2)^2 \a \cos(0{,}3)^2\a\cos(0{,}4)^2\a\cos(0{,}5)^2\a \cos(0{,}6)^2 \a\cos(0{,}7)^2\a\cos(0{,}8)^2\a\cos(0{,}9)^2\a\cos(1)^2\\ \hline 1 \a 1 \a 0{,}9992 \a 0{,}9960\a 0{,}9872\a 0{,}9689\a 0{,}9359\a 0{,}8823\a 0{,}8021\a 0{,}6895\a 0{,}5403\\ \hline \end{array} \] Približnú hodnotu integrálu \(\int_{0}^{1}\cos x^{2}dx \) vypočítame na základe vzťahu \[\int_{0}^{1}\cos x^2dx\approx I_S(10)=\frac{0{,}1}{3}\left(\cos 0+\cos 1+4\sum_{i=1}^{5}\cos(0+(2i-1)0{,}1)^2+2\sum_{i=1}^{4}\cos (0+2i0{,}1)^2\right)=0{,}9045. \] Na základe vzťahov \[\left|R(f)\right|\leq\frac{(b-a)^{5}}{180n^{4}}M_{4},\qquad M_{4}\geq \max_{x\in\left\langle a,b\right\rangle}\left|f^{(4)}(x)\right| \] urobíme odhad chyby výpočtu. Teda \[\max_{x\in\left\langle 0,1\right\rangle}\left|(16x^{2}-12)\cos x^{2}+48x^2\sin x^{2}\right|\leq 12+48=60=M_{4} \] a \[\left|R_{S}(f,n)\right|\leq\frac{1}{180\cdot10^4}\cdot60=3{,}3\cdot10^{-5}. \] Pomocou programu MATLAB si môžeme graf funkcie \(f\left(x\right)=\left|(16x^2-12)\cos(x^2)+ 48x^2\sin(x^2)\right| \) nakresliť.

   

   Obr.: : Graf funkcie \(f\left(x\right)=\left|(16x^2-12)\cos(x^2)+ 48x^2\sin(x^2)\right| \)

   Z obrázka je vidieť, že pomocou programu MATLAB môžeme odhadnúť číslo \(M_{4}\) oveľa presnejšie. Teda \[\max_{x\in\left\langle 0,1\right\rangle} \left|(16x^2-12)\cos(x^2)+ 48x^2\sin(x^2)\right|\leq 45=M_{4} \] a \[\left|R_{L}(f,n)\right|\leq\frac{45}{180\cdot 10^4}=2,5 \cdot 10^{-5}. \] Dostali sme presnejší odhad chyby výpočtu daného integrálu.

   Zobraziť riešenieSkryť riešenie

   Príklad: Vypočítajte Simpsonovou metódou približnú hodnotu integrálu \(\int_{1}^{4}\sqrt{x}\;dx\) s presnosťou \( \epsilon=10^{-3}\).
   

   Riešenie:
   Najprv určíme \(n\), ktoré zaručí dosiahnutie žiadanej presnosti \(\epsilon\) výpočtu daného integrálu. Na určenie \(n\) použijeme vzťahy \[\left|R_{S}(f,n)\right|\leq\frac{(b-a)^{5}}{180n^{4}}M_{4}\leq \epsilon, \qquad M_{4}\geq \max_{x\in\left\langle a,b\right\rangle}\left|f^{(4)}(x)\right|. \] Teda \[ M_{4}=\max_{x\in\left\langle 1,4\right\rangle}\left|\frac{15}{16\sqrt{x^{7}}}\right|= \frac{15}{16},\qquad n\geq \sqrt[4]{\frac{(b-a)^5M_4}{180\epsilon}}= \sqrt[4]{\frac{3^5}{180\cdot10^{-3}}\cdot\frac{15}{16}}=5{,}9645. \] Po zaokrúhlení nahor na párne číslo dostávame, že \(n=6\) a \(h=\frac{4-1}{6}=0,5.\) Vytvoríme pomocnú tabuľku vypočítaných hodnôt funkcie \(y_i=\sqrt{1+i\cdot0,5}\) pre jednotlivé \(i=0,1,2, \ldots ,6.\) \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \def\a{&} \sqrt{1} \a \sqrt{1{,}5}\a \sqrt{1+2\cdot0{,}5}\a \sqrt{1+3\cdot0{,}5}\a \sqrt{1+4\cdot0{,}5}\a \sqrt{1+5\cdot0{,}5}\a \sqrt{4} \\ \hline 1 \a 1{,}2247 \a 1{,}4142 \a 1{,}5811\a 1{,}7325\a 1{,}8708 \a 2\\ \hline \end{array} \] Približnú hodnotu daného integrálu vypočítame na základe vzťahu \[\int_{1}^{4}\sqrt{x}\:dx\approx I_{S}(6)=\frac{0{,}5}{3}\left(\sqrt{1}+\sqrt{4}+4\sum_{i=1}^{3}\sqrt{1+(2i-1)0{,}5)}+2\sum_{i=1}^{2}\sqrt{1+2\:i\:0{,}5}\right)=4{,}6665626. \] Pomocou programu MATLAB si môžeme graf funkcie \(f\left(x\right)=\left|\frac{15}{16\sqrt{x^7}} \right| \) nakresliť.

   

   Obr.: : Graf funkcie \(f\left(x\right)=\left|\frac{15}{16\sqrt{x^7}} \right| \)

   Z obrázka je vidieť, že sme odhadli číslo \(M_{4}\) presne.

   Zobraziť riešenieSkryť riešenie

Zdroje

1. Buša, Pirč, Schrötter: Numerické metódy, pravdepodobnosť a matematická štatistika, 2006, ISBN 80-8073-632-4. Stiahnuť obrazovkovú alebo tlačovú verziu.
2. Daňo, Ostertagová: Vybrané kapitoly z numerických metód, pravdepodobnosti a matematickej štatistiky, Equilibria s.r.o., Košice, 2012, ISBN 978-80-8143-012-1.

Doplňujúce úlohy

Úloha:
Pre zadaný počet \( \ n=10 \ \) delení vypočítajte lichobežníkovou metódou približnú hodnotu integrálu \[ \int^{5}_{1} \frac{dx}{x} \] a odhadnite chybu výpočtu.

Výsledok:

Výsledok: \(1{,}622039 \ \).
Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha:
Pre zadaný počet \(\ n=10 \ \) delení vypočítajte lichobežníkovou metódou približnú hodnotu integrálu \[ \int^{10}_{1} \frac{dx}{1+x^2} \] a odhadnite chybu výpočtu.

Výsledok:

Výsledok: \(1{,}476842 \ \).
Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha:
Lichobežníkovou metódou vypočítajte približnú hodnotu integrálu \[ \int^{1}_{0}e^{x^2}dx \] tak, ste dosiahli presnosť výpočtu \(\epsilon =0{,}05\).

Výsledok:

Výsledok: \(n=6; \ 1{,}4752\ \).
Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha:
Lichobežníkovou metódou vypočítajte približnú hodnotu integrálu \[ \int^{1}_{0}\sin{x^2}dx \] tak, ste dosiahli presnosť výpočtu \(\epsilon =0{,}01\).

Výsledok:

Výsledok: \(n=8; \ 0{,}9023\ \).
Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha:
Pre zadaný počet \( \ n=10 \ \) delení vypočítajte Simpsonovou metódou približnú hodnotu integrálu \[ \int^{5}_{0} \frac{dx}{1+x} \] a odhadnite chybu výpočtu.

Výsledok:

Výsledok: \(1{,}793170 \ \).
Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha:
Pre zadaný počet \( \ n=10 \ \) delení vypočítajte Simpsonovou metódou približnú hodnotu integrálu \[ \int^{1}_{0} \frac{\sin x}{1+x}dx \] a odhadnite chybu výpočtu.

Výsledok:

Výsledok: \(0{,}284225 \ \).
Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha: Simpsonovou metódou vypočítajte približnú hodnotu integrálu \[ \int^{1}_{0}e^{x^2}dx \] tak, ste dosiahli presnosť výpočtu \(\epsilon =0{,}01\).

Výsledok:

Výsledok: \(n=4; \ 1{,}462873\ \).
Zobraziť výsledokSkryť výsledok
Úloha: Simpsonovou metódou vypočítajte približnú hodnotu integrálu \[ \int^{1}_{0}\cos {x^2}dx \] tak, ste dosiahli presnosť výpočtu \(\epsilon =0{,}0001\).

Výsledok:

Výsledok: \(n=10; \ 0{,}904524\ \).
Zobraziť výsledokSkryť výsledok