Vybrané rozdelenia pravdepodobnosti

Ciele

Oboznámiť sa s binomickým rozdelením pravdepodobnosti
Naštudovať základné poznatky o hypergeometrickom rozdelení pravdepodobnosti
Zvládnuť Poissonovo rozdelenie pravdepodobnosti
Oboznámiť sa s exponenciálnym rozdelením pravdepodobnosti
Naštudovať vlastnosti normálneho (Gaussovho) rozdelenia pravdepodobnosti

Úvod

diskrétne

pravdepodobnostnej tabuľky

spojitých

hustoty pravdepodobnosti

Postup

Binomické rozdelenie pravdepodobnosti

Náhodná premenná \(X\) má binomické rozdelenie pravdopodobnosti s parametrami \(n\) a \(p\) práve vtedy, keď
-- jej obor hodnôt je \({\cal H}(X)=\{0,1,2,\dots ,n \}\);
-- pre pravdepodobnosti platí \begin{equation}\label{br} P(X=x)={n \choose x}p^x(1-p)^{n-x}\qquad \mbox{pre každé }x\in\{0,1,2,\dots ,n\}. \end{equation} Používame pritom označenie \(X\sim bino(n;p).\) Táto náhodná premenná reprezentuje počet výskytov konkrétneho javu v sérii \(n\) nezávislých pokusov.
Ak \(X\sim bino(n;p)\), tak \begin{equation}\label{brrp} E(X)=n\cdot p, \qquad D(X)=n\cdot p\cdot q \quad \mbox{ a }\quad \sigma (X)=\sqrt{n\cdot p\cdot q}. \end{equation} Naviac: \begin{equation}\label{mobr} {\cal M}o(X)=k_0\in \langle np-q,\,np+p\rangle . \end{equation}
Príklad: V zásielke je \(33\) výrobkov. Pravdepodobnosť toho, že sa výrobok počas prepravy poškodí, je pre každý výrobok \(0{,}1\), pričom možné poškodenie ľubovoľného výrobku nezávisí od stavu ostatných výrobkov. Určme pravdepodobnosť toho, že z týchto výrobkov sa pri preprave poškodí
a) viac výrobkov ako by sme mohli v priemere očakávať;
b) menej výrobkov ako by sme mohli s najväčšou pravdepodobnosťou očakávať.

Riešenie: a) Nech \(X\) je náhodná premenná, ktorá nadobúda hodnoty počtu výrobkov, ktoré sa pri preprave poškodia. Keďže stav ľubovoľného výrobku po preprave nezávisí od stavu ostatných výrobkov, tak náhodná premenná \(X\) má binomické rozdelenie pravdepodobnosti s parametrami \(n=33\) a \(p=0{,}1\), t. j. \(X\sim bino(33;0{,}1)\). V priemere môžeme podľa (\ref{brrp}) očakávať \(E(X)=n\cdot p=33\cdot 0{,}1=3{,}3\) poškodených výrobkov.
Máme určiť pravdepodobnosť toho, že nastane jav, ktorý spočíva v tom, že pri preprave sa poškodí viac výrobkov ako by sme mohli v priemere očakávať, t. j. pravdepodobnosť toho, že náhodná premenná \(X\) nadobudne väčšiu hodnotu ako je jej stredná hodnota: \[P(X\gt E(X))=P(X\gt 3{,}3)=P(X\geqq 4)=\sum\limits_{x=4}^{33} {{33} \choose x}0,1^x0,9^{33-x}\approx 0{,}4231,\] pričom posledný výpočet v MATLABe získame pomocou \(sum(binopdf(4\!:\!33,33,0.1)).\)

b) Počet poškodených výrobkov, ktorý môžeme s najväčšou pravdepodobnosťou očakávať, je modusom náhodnej premennej \(X\). Podľa (\ref{mobr}) je \[{\cal M}o(X)\in \langle 33\!\cdot \!0{,}1\!-\!0{,}9;\,\,33\!\cdot \!0{,}1\!+\!0{,}1\rangle =\langle 2{,}4\,; \,3{,}4\rangle ,\] a teda \({\cal M}o(X)=3.\) V úlohe sa žiada určiť pravdepodobnosť toho, že poškodených výrobkov bude menej ako \(3\), teda že \(X\lt 3\): \[P(X\lt 3)=P(X\!=\!0)+P(X\!=\!1)+P(X\!=\!2)\] Odtiaľ na základe (\ref{br}) dostávame \[P(X\lt 3)={{33} \choose 0}0{,}1^00{,}9^{33}+{{33} \choose 1}0{,}1^10{,}9^{32}+{{33} \choose 2}0{,}1^20{,}9^{31}\approx 0{,}3457.\] \[P(X\lt{\cal M}o(X))=P(X\lt 3)=P(X\leqq 2)=F(2)\approx 0,3457,\] kde \(F\) je distribučná funkcia náhodnej premennej \(X\) s binomickým rozdelením pravdepodobnosti (v MATLABe hodnotu \(F(2)\) môžeme určiť pomocou \(binocdf(2,33,0.1)\) alebo \quad \(sum(binopdf(0:2,33,0.1)).\)
Hypergeometrické rozdelenie pravdepodobnosti

Diskrétna náhodná premenná \(X\) má hypergeometrické rozdelenie pravdepodobnosti s parametrami \(N,\) \(K\) a \(n\) práve vtedy, keď
jej obor hodnôt je \({\cal H}(X)=\{\max\{0,\,n\!-\!N\!+\!K\},\dots ,\min \{K,n\}\}\subset N_0\) a \begin{equation}\label{hyr} P(X=x)=\frac{\displaystyle{\binom{K}{x}\binom{N-K}{n-x}}}{\displaystyle{\binom{N}{n}}}, \qquad x\in {\cal H}(X). \end{equation} Používame pritom označenie \(X\sim hyge(N,K,n).\)
Túto náhodnú premenú je vhodné interpretovať týmto pokusom: je daný súbor \(N\) objektov, z ktorých \(K\) objektov má istú vlastnosť a zvyšných \(N\!-\!K\) objektov túto vlasnosť nemá. Náhodne zo súboru vyberáme bez vrátenia \(n\) objektov, pričom na poradí nezáleží (t. j. rozhodujúce je, koľko objektov medzi vybranými má, resp. nemá danú vlastnosť). Vzťah (\ref{hyr}) určuje pravdepodobnosť toho, že medzi tými vybranými objektami bude práve \(x\) objektov mať danú vladnosť.
Ak \(X\sim hyge(N,K,n)\), tak \begin{equation}\label{hyc} E(X)=n\cdot \frac{K}{N}, \qquad D(X)=\frac{N-n}{N-1}\cdot\Bigg( 1-\frac{K}{N}\Bigg)\cdot \frac{n\cdot K}{N}. \end{equation}
Príklad: V urne sú \(4\) biele guľky a \(6\) čiernych guliek. Náhodne z nej vyberieme
I. s návratom;
II. bez návratu.
päť guliek. Určme
a) zákon rozdelenia pravdepodobnosti náhodnej premennej, ktorá nadobúda hodnoty počtu vytiahnutých bielych guliek;
b) priemerný počet vytiahnutých bielych guliek;
c) disperziu počtu vytiahnutých bielych guliek;
d) pravdepodobnosť toho, že vytiahneme viac bielych guliek ako čiernych;
e) najpravdepodobnejší počet vytiahnutých bielych guliek.

Riešenie:
I.
a) Ak náhodne vyberáme guľky s návratom, tak pred výberom každej guľky sa konštelácia guliek v urne nemení. To znamená, že
-- ide o päťnásobné nezávislé opakovanie (vyberáme päť guliek) toho istého pokusu, ktorý spočíva v tom, že náhodne vyberáme jednu guľku zo štyroch bielych a šiestich čiernych;
pravdepodobnosť toho, že v rámci toho pokusu náhodne vyberieme bielu guľku je \(p=\frac{4}{10}=0{,}4\).
Nech \(X\) je náhodná premenná, ktorá nadobúda hodnoty počtu bielych guliek medzi piatimi náhodne vytiahnutými guľkami. Je evidentné, že jej oborom hodnôt je množina \({\cal H}(X)=\{0,1,2,3,4,5\}\). Navyše sú splnené predpoklady Bernoulliho vety, pričom \(P(X\!=\!x)=P_5(x)\). Preto náhodná premenná \(X\) má binomické rozdelenie pravdepodobnosti s parametrami \(n=5\) a \(p=0{,}4\), t. j. \(X\sim bino(5;0{,}4).\). Potom \begin{equation}\label{vv} P(X\!=\!x)={n \choose x}p^{x}(1-p)^{n-x}={5 \choose x}0{,}4^{x}0{,}6^{5-x}, \quad x\in\{0,1,2,3,4,5\}. \end{equation} Je to diskrétna náhodná premenná, ktorej nasledujúcu pravdepodobnostnú tabuľku dostaneme výpočtom hodnôt v (\ref{vv}) \[ \begin{array}{c||c|c|c|c|c|c} X=x_i \a 0 \a 1 \a 2 \a 3 \a 4 \a 5 \\ \hline P(X\!=\!x_i)=p_i \a 0{,}07776 \a0{,}2592 \a 0{,}3456 \a 0{,}2304 \a 0{,}0768 \a 0{,}01024 \end{array} \] Poznamenávame, že v MATLABe by sme hodnoty \(p_i\) mohli získať pomocou \(binopdf(0:5,5,0.4)\).
b) Priemerný počet vytiahnutých bielych guliek získame určením strednej hodnoty \quad \(E(X)\) náhodnej premennej \(X\). Podľa (\ref{brrp}) dostaneme \[E(X)=n\cdot p=5\cdot 0{,}4=2.\] Overte si tento výsledok pomocou vyššie uvedenej pravdepodobnostnej tabuľky a základnej definície strednej hodnoty diskrétnej náhodnej premennej, ktorá v našom prípade má tvar \[E(X)=\sum_{i=1}^6 x_ip_i.\]
c) Disperziu (rozptyl) \(D(X)\) počtu vytiahnutých bielych guliek dostaneme na základe (\ref{brrp}): \[D(X)=n\cdot p\cdot q= 5\cdot 0{,}4\cdot (1-0{,}4)=1{,}2.\] Skúste si overiť tento výsledok pomocou základnej definície disperzie diskrétnej náhodnej premennej.
d) Medzi piatimi vytiahnutými guľkami bude viac bielych ako čiernych práve vtedy, keď vytiahneme aspoň tri biele. Máme teda určiť pravdepodobnosť javu, že náhodná premenná \(X\) nadobúda hodnotu aspoň \(3\). Z pravdepodobnostnej tabuľky dostaneme \[P(X\!\geqq \!3)=P(X\!=\!3)+P(X\!=\!4)+P(X\!=\!5)=0{,}2304+ 0{,}0768 +0{,}01024=0{,}31744.\]
e) Najpravdepodobnejší počet vytiahnutých bielych guliek ľahko získame z pravdepodobnostnej tabuľky: stačí určiť tú hodnotu náhodnej premennej \(X\), ktorá je nadobúdaná s najväčšou pravdepodobnosťou. Je evidentné, že maximum z hodnôt \(p_i\) je \(0{,}3456 \), a preto odpoveď na otázku je \(2\).
Ak by sme nemali k dispozícii pravdepodobnostnú tabuľku, tak si stačí uvedomiť, že riešením tejto časti úlohy je modus náhodne premennej \(X\), pre ktorý v prípade binomického rozdelenia podľa (\ref{mobr}) platí \[{\cal M}o(X)=k_0\in \langle np-q,\,np+p\rangle =\langle 5\!\cdot\! 0{,}4\!-\!0{,}6;\,5\!\cdot\! 0{,}4\!+\!0{,4}\rangle =\langle 1{,}4;\,2{,}4\rangle . \] Je zrejmé, že do intervalu \(\langle 1{,}4;\,2{,}4\rangle\) patrí jediné celé číslo \(2\), a preto \({\cal M}o(X)=2.\)

II.
Systém podmienok v tomto pokuse je iný ako v pokuse z časti I: vyberáme päť guliek, ale bez návratu. Pri tomto výbere nezáleží na poradí vyberaných guliek (rovnako tomu bolo aj v časti I), ale výber realizujeme bez opakovania. Ináč povedané, napr. pri výbere druhej guľky sa konštelácie guliek zmenila oproti konštelácii guliek pred výberom prvej guľky. V našom pokuse nezáleží na poradí farieb vyberaných guliek, a preto päť guliek môžeme z desiatich guliek vybrať \(\binom{10}{5}\) spôsobmi (viď komentáre k 7. cvičeniu). Ak medzi piatimi vybranými guľkami je \(y\) bielych guliek, tak \(5\!-\!y\) budú mať čiernu farbu, pričom \(y\in\{0,1,2,3,4\}\) -- viete prečo? Je zrejmé, že \(y\) bielych guliek môžeme zo štyroch bielych guliek vybrať \(\binom{4}{y}\) spôsobmi a obdobne \(5\!-\!y\) čiernych zo šiestich čiernych guliek \(\binom{6}{5-y}\) spôsobmi.
a) Nech \(Y\) je náhodná premenná, ktorá nadobúda hodnoty počtu vytiahnutých bielych guliek. Z vyššie uvedeného vyplýva, že \begin{equation}\label{yr} P(Y\!=\!y)=\frac{\displaystyle{ \binom{4}{y}\binom{6}{5-y}}}{\displaystyle{ \binom{10}{5}}},\qquad y\in {\cal H}(Y)=\{0,1,2,3,4\}. \end{equation} Na základe (\ref{yr}) ľahko dostaneme pravdepodobnostnú tabuľku náhodnej premennej \(Y\): \[ \begin{array}{c||c|c|c|c|c} Y=y_i \a 0 \a 1 \a 2 \a 3 \a 4 \\ \hline P(Y\!=\!y_i)=p_i \a 0{,}0238 \a0{,}2381 \a 0{,}4762 \a 0{,}2381 \a 0{,}0238 \end{array} \] V tejto tabuľke sú pravdepodobnosti \(p_i\) zaokrúhlené na štyri desatinné miesta. V MATLABe ich získame napr. pomocou \(hygepdf(0\!:\!4,10,4,5)\).
b) Tentoraz určíme strednú hodnotu \(E(Y)\) náhodnej premennej \(Y\) priamo z jej definície: \[E(Y)=\sum_{i=1}^{5}y_ip_i=\sum_{i=1}^{5}y_i\cdot \frac{\displaystyle{ \binom{4} {y_i}\binom{6}{5-y_i}}}{\displaystyle{ \binom{10}{5}}},\qquad y_i= 0,1,2,3,4.\] Ak tu dosadíme hodnoty z pravdepodobnostnej tabuľky, tak dostaneme \[E(Y)= 0\!\cdot\! 0{,}0238 +1\!\cdot\! 0{,}2381 +2\!\cdot\! 0{,}4762 +3\!\cdot\! 0{,}2381+4\!\cdot\! 0{,}0238= 2.\] Tento výsledok je v zhode s (\ref{hyc}): pre \(N\!=\!10\), \(K\!=\!4\) a \(n\!=\!5\) by sme dostali \[E(Y)=n\cdot \frac{K}{N}=5\cdot \frac{4}{10}=2.\]
c) Aj disperziu \(D(Y)\) náhodnej premennej \(Y\) určíme priamo z jej definície: \[D(Y)=\sum_{i=1}^{5}\big[y_i-E(Y)\big]^2p_i=\sum_{i=1}^{5}\big[y_i-2\big]^2\cdot \frac{\displaystyle{ \binom{4}{y_i}\binom{6}{5-y_i}}}{\displaystyle{ \binom{10}{5}}}, \qquad y_i= 0,1,2,3,4.\] Po dosadení hodnôt z pravdepodobnostnej tabuľky, dostaneme \[D(Y)=[0-2]^20{,}0238+[1-2]^20{,}2381+[2-2]^20{,}4762+[3-2]^20{,}2381+[4-2]^20{,}0238\] a po vyčíslení \[D(Y)=0{,}6666.\] Tí, ktorí obľubujú vzorčeky, mohli túto časť úlohy riešiť pomocou (\ref{hyc}): \[D(Y)=\frac{N-n}{N-1}\Bigg( 1-\frac{K}{N}\Bigg)\cdot \frac{n\cdot K}{N}=D(X)= \frac{10-5}{10-1}\Bigg( 1-\frac{4}{10}\Bigg)\cdot \frac{5\cdot 4}{10}=\frac{2}{3}.\]
d) Obdobne, ako v časti I, treba určiť pravdepodobnosť javu, že náhodná premenná \(Y\) nadobúda hodnotu aspoň \(3\). Z pravdepodobnostnej tabuľky tejto náhodnej premennej dostaneme \[P(Y\!\geqq \!3)=P(Y\!=\!3)+P(Y\!=\!4)=0{,}2381+ 0{,}0238 =0{,}2619.\] e) Najpravdepodobnejší počet vytiahnutých bielych guliek opäť ľahko získame z pravdepodobnostnej tabuľky: náhodná premenná \(Y\) nadobúda hodnotu \(2\) s najväčšou pravdepodobnosťou \(0{,}4762 \). Všimnime si, že aj v tomto prípade platí: \[{\cal M}o(Y)=2.\]
Poissonovo rozdelenie pravdepodobnosti

Náhodná premenná \(X\) má Poissonovo rozdelenie pravdepodobnosti s parametrom \(\lambda\) práve vtedy, keď
1. jej obor hodnôt je \({\cal H}(X)=\{0,1,2,\dots \}=N\cup \{0\};\) \begin{equation}\label{poi} \mbox{2.}\qquad \qquad P(X=x)=\frac{\displaystyle{\lambda ^x \cdot \mathrm{e}^{-\lambda }}}{x!}\qquad \mbox{pre každé }x\in N\cup \{0\}. \end{equation} Používame pritom označenie \(X\sim poiss(\lambda).\) \quad Ak \(X\sim poiss(\lambda )\), tak \begin{equation}\label{poiu} E(X)=\lambda , \qquad D(X)=\lambda \quad \mbox{ a }\quad \sigma (X)=\sqrt{\lambda}. \end{equation}
Príklad: Internetovú stránku navštívi za sledované obdobie v priebehu jednej hodiny v priemere \(30\) záujemcov (predpokladáme, že ich návštevy sú nezávislé a ich počet sa riadi Poissonovým rozdelením pravdepodobnosti). Určme:
I. pravdepodobnosť toho, že v priebehu štyroch minút navštívi túto stránku: a) jeden návštevník; b) aspoň jeden návštevník; c) nie menej než traja a menej ako jedenásti návštevníci;
II. a) pravdepodobnosť najpravdepodobnejšieho počtu návštev stránky počas štyroch minút; b) minimálny počet návštev stránky počas dvadsiatich minút, ktorý nebude väčší s pravdepodobnosťou aspoň \(0{,}99.\)

Riešenie: Nech \(X\) je náhodná premenná, ktorá nadobúda hodnoty počtu návštev internetovej stránky v priebehu štyroch minút. Z formulácie úlohy máme, že \(X\) má Poissonovo rozdelenie pravdepodobnosti. Jej stredná (priemerná) hodnota je podľa (\ref{poiu}) \(E(X)=\lambda\). Predpokladajme, že priemerný počet návštevníkov internetovej stránky je priamo úmerný dĺžke časového úseku. Pretože stránku navštívi v priebehu jednej hodiny v priemere \(30\) záujemcov, tak v priebehu štyroch minút ju navštívia v priemere \(\lambda =\frac{30}{60}\cdot 4=2\) návštevníci.
Ia) Máme určiť pravdepodobnosť toho, že náhodná premenná \(X\) nadobudne hodnotu \(1\), t. j. \(P(X=1)\). Podľa (\ref{poi}) máme \[P(X=1)=\frac{\displaystyle{2 ^1 \cdot \mathrm{e}^{-2 }}}{1!}\approx 0,2707.\] Ib) Tentoraz chceme určiť \(P(X\geqq 1)\). Tu je výhodnejšie použiť opačný jav: \[P(X\geqq 1)=1-P(X \lt 1)=1-P(X=0)=1-\frac{\displaystyle{2 ^0 \cdot \mathrm{e}^{-2 }}}{0!}\approx 0,8647.\] Ic) Potrebujeme vypočítať \(P(3\leqq X \lt 11):\) \[P(3\leqq X \lt 11)=\sum\limits_{x=3}^{10}P(X=x)=\sum\limits_{x=3}^{10}\frac{2 ^x \cdot \mathrm{e}^{-2 }}{x!}\approx 0{,}3233.\] IIa) Je potrebné vypočítať pravdepodobnosť toho, že náhodná premenná \(X,\) nadobudne hodnotu svojho modusu. Podľa (\ref{poi}) ľahko získame napr. prvých šesť hodnôt \(P(X=x)\) pre \(x=0,1,2,\dots 5\) (alebo v MATLABe pomocou \(poisspdf(0\!:\!5,2)\)): \[ \begin{array}{c||c|c|c|c|c|c} x \a 0 \a 1 \a 2 \a 3 \a 4 \a 5 \\ \hline P(X=x) \a 0{,}1353 \a0{,}2707 \a 0{,}2707 \a 0{,}1804 \a 0{,}0902 \a 0{,}0361 \end{array} \] Pre \(x>2\) pravdepodobnosti \(P(X=x)\) budú klesať (viete to zdôvodniť?), čo znamená, že naša náhodná premenná má dva modusy: \({\cal M}o(X))\in\{1,2\}\). Keďže javy \(X=1\) a \(X=2\) sú nezlúčiteľné, tak \[P(X={\cal M}o(X))=P({\cal M}o(X)\in\{1,2\})=P(X=1)+P(X=2)=0{,}5414.\]
IIb) Nech \(Y\) je náhodná premenná, ktorá nadobúda hodnoty počtu návštev internetovskej stránky v priebehu dvadsiatich minút. Overte, že jej stredná hodnota je \(\lambda =10.\) V úlohe požadujeme nájsť také minimálne \(n\), pre ktoré platí \[P(Y\leqq n)\geqq 0{,}99.\] Menej efektívny prístup by mohol spočívať v tom, že by sme v analogickej tabuľke ako v časti IIa) zistili, kedy súčet príslušných pravdepodobností (pre \(x=0, 1 ,2,\dots \)) dosiahne prvýkrát hodnotu aspoň \(0{,}99.\) Tento postup by pre veľké výsledné \(n\) bol prácny. Všimnime si, že ak \(F\) je distribučná funkcia náhodnej premennej \(Y,\) tak poslednú nerovnosť môžeme zapísať v tvare \[P(Y\leqq n)=F(n)\geqq 0{,}99.\] Minimálnu hodnotu \(n\), ktorá jej vyhovuje, môžeme získať v MATLABe pomocou \(poissinv(0.99,10).\) Dostaneme \(n=18.\) Premyslite si, či nasledujúcim výpočtom sme urobili skúšku správnosti získaného výsledku: \[P(Y\leqq 17)=\sum\limits_{x=0}^{17}\frac{\displaystyle{10 ^x \cdot \mathrm{e}^{-10 }}}{x!}= F(17)=poiscdf(17,10)\approx 0{,}9857,\] \[P(Y\leqq 18)=\sum\limits_{x=0}^{18}\frac{\displaystyle{10 ^x \cdot \mathrm{e}^{-10 }}}{x!}= F(18)=poiscdf(18,10)\approx 0{,}9928.\]
Exponenciálne rozdelenie pravdepodobnosti

Náhodná premenná \(X\) má exponenciálne rozdelenie pravdepodobnosti s parametrom \(\lambda \) (zapisujeme \(X\sim exp(\lambda )\)) práve vtedy, keď jej hustota \(f\) je určená predpisom \begin{equation}\label{ep} f(x)=\left\{\begin{array}{ll} {\displaystyle\frac{1}{\lambda}\,\mathrm{e}^{-\mbox{\(\frac{x}{\lambda}\)}}} \a \mbox{pre } x\geqq 0,\\ \a\\ 0 \a \mbox{pre } x\lt0. \end{array} \right. \end{equation} Týmto rozdelením sa v praxi často riadi doba životnosti zariadení, ktoré sa nekazia nárazovo alebo napr. aj čas medzi dvoma udalosťami, ktoré majú Poissonovo rozdelenie pravdepodobnosti.
Distribučná funkcia tejto náhodnej premennej je daná týmto predpisom \begin{equation}\label{ed} F(x)=\left\{\begin{array}{ll} 0 \a \mbox{pre } x\lt 0,\\ 1-\mathrm{e}^{-\mbox{\(\frac{x}{\lambda}\)}} \a \mbox{pre } x\geqq 0. \end{array} \right. \end{equation} Ak \(X\sim exp(\lambda )\), tak \begin{equation}\label{ew} E(X)=\lambda , \qquad D(X)=\lambda ^2\quad \mbox{ a }\quad \sigma (X)= \lambda. \end{equation}
Príklad: Doba životnosti výrobku má exponenciálne rozdelenie pravdepodobnosti so strednou hodnotou \(2000\) dní. Určme:
a) pravdepodobnosť toho, že výrobok bude funkčný aspoň \(3000\) dní;
b) pravdepodobnosť toho, že výrobok nebude funkčný dlhšie ako je jeho priemerná doba životnosti;
c) maximálnu záručnú dobu \(z\), ktorú chce poskytnúť jeho výrobca, ak pripúšťa maximálne \(5\) percent reklamačných výrobkov.

Riešenie: Nech \(T\) je náhodná premenná, ktorá nadobúda hodnoty životnosti výrobku. Je známe, že \(T\sim exp(\lambda )\), t. j. \(T\) má exponenciálne rozdelenie pravdepodobnosti s parametrom \(\lambda\). Poznáme jej strednú hodnotu \(E(T)=2000\)\quad a vzhľadom na (\ref{ew}) je \(\lambda=2000 \).
a) Chceme vypočítať \(P(T\geqq 3000). \) Uvádzame jeden z možných postupov: \[P(T\geqq 3000)\stackrel{\star}{=}1-P(T\lt 3000)\stackrel{\star\star}{=}1-P(T\leqq 3000)=\clubsuit ,\] kde pri rovnosti \(\stackrel{\star}{=}\) sme použili fakt, že jav \(T\ge 3000\) je opačný jav k javu \(T\lt 3000\) a rovnosť \(\stackrel{\star\star}{=}\) platí pre každú spojitú náhodnú premennú. Ak si uvedomíme, že \(P(T\leqq 3000)=F(3000)\), kde \(F\) je distribučná funkcia, tak na základe (\ref{ed}) dostaneme (pripomíname, že \(\lambda=2000 \)) \[\clubsuit=1-F(3000)=1-\mathrm{e}^{-\mbox{\(\frac{3000}{2000}\)}}=1-\big(1-\mathrm{e}^{-1{,}5}\big)\approx 0{,}2231.\] b) Priemerná doba životnosti výrobku je vlastne strednou hodnotou náhodnej premennej \(T\), ktorá je v našom prípade \(2000\) dní. Chceme teda určiť pravdepodobnosť toho, že nenastane jav \(T\gt 2000\), t. j. otázna je pravdepodobnosť javu \(T\leqq 2000\). Obdobným výpočtom ako v časti a) dostaneme \[P(T \leqq 2000)=F(2000 )=1-\mathrm{e}^{-1}\approx 0{,}6321.\] c) Keďže výrobca pripúšťa maximálne \(5\) percent reklamačných výrobkov, tak je potrebné určiť takú maximálnu záručnú dobu \(z\), aby platila nerovnosť \(P(T\leqq z)\leqq 0{,}05,\) (\(P(T\leqq z)\) je pravdepodobnosť toho, že doba životnosti výrobku je nanajvýš rovná záručnej dobe -- vtedy dôjde k reklamácii výrobku). Vzhľadom na to, že pre distribučnú funkciu \(F\) máme \(P(T\leqq z)=F(z), \), tak našou úlohou je nájsť takú maximálnu hodnotu \(z,\) aby platila nerovnosť \(F(z)\leqq 0{,}05\). Keďže distribučná funkcia je neklesajúca, tak požadovaná maximálna hodnota \(z\) je riešením rovnice \(F(z)= 0{,}05\). Na základe (\ref{ed}) je \[1-\mathrm{e}^{-\mbox{\(\frac{z}{2000}\)}}=0{,}05.\] Ľahko sa presvedčíme, že riešením tejto rovnice je \(z=-2000\cdot\ln 0{,}95\approx 102{,}5866\) (túto hodnotu môžeme získať v MATLABe pomocou \(expinv(0.05,2000))\). Výrobca by asi dal záruku na \(100\) dní.
Normálne (Gaussovo) rozdelenie pravdepodobnosti

Ak \(F\) je distribučná funkcia náhodnej premennej \(X\), ktorá má normálne (Gaussovo) rozdelenie pravdepodobnosti so strednou hodnotou \(\mu\) a smerodajnou odchýlkou \(\sigma\) (t. j. \(X\sim norm(\mu,\sigma )\) ) a ak \(\Phi\) je distribučná funkcia normovanej náhodnej premennej \(Y\), ktorá má normálne rozdelenie pravdepodobnosti (t. j. \(Y\sim norm(0;1)\)), tak pre ľubovoľné reálne číslo \(x\) platí: \begin{equation}\label{ppp} F(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^{\frac{x-\mu}{\sigma }}\!\mathrm{e}^{\frac{-u^2}{2}}\,\md u=\Phi\Big(\frac{x-\mu}{\sigma } \Big). \end{equation} Ak náhodná premenná \(X\) má normálne (Gaussovo) rozdelenie pravdepodobnosti so strednou hodnotou \(\mu\) a smerodajnou odchýlkou \(\sigma\) (t. j. \(X\sim norm(\mu,\sigma )\), tak pre ľubovoľné \(a\lt b\) platí \begin{equation}\label{prr} \begin{array}{l} P(a\lt X\leqq b)= P(a\leqq X \leqq b)= P(a\leqq X\lt b)= P(a\lt X\lt b)=\\[2mm] \qquad\qquad\qquad\; =\Phi\Big(\frac{b-\mu }{\sigma } \Big)-\Phi\Big(\frac{a-\mu }{\sigma } \Big), \end{array} \end{equation} kde \(\Phi\) je distribučná funkcia normovanej normálnej náhodnej premennej \(Y\) (t. j. \(Y\sim norm(0, 1 )\)). Jej funkčnú hodnotu v bode \(x\) môžeme získať z tabuliek \(norm(0, 1 )\) alebo v MATLABe príkazom \(normcdf(x)\).
Ak \(X\sim norm(\mu,\sigma )\), tak pre ľubovoľné \(\varepsilon \gt 0\) platí \begin{equation}\label{nr1} P(|X-\mu |\lt \varepsilon )=P(\mu-\varepsilon\lt X\lt \mu +\varepsilon ) =P(-\varepsilon\lt X-\mu\lt \varepsilon )= =P\left(-\frac{\varepsilon}{\sigma}\lt\frac{X-\mu}{\sigma}\lt \frac{\varepsilon}{\sigma}\right)= 2\cdot\Phi\Big(\frac{\varepsilon }{\sigma } \Big)-1, \end{equation}
Príklad: Hmotnosť vyrábaného závažia má normálne rozdelenie pravdepodobnosti so strednou hodnotou \(10\,g\), pričom výrobca uvádza jej smerodajnú odchýlku \(0{,}02\,g\). Určme pravdepodobnosť toho, že náhodne kúpené závažie bude mať skutočnú hmotnosť
a) aspoň \(10{,}03\,g;\)
b) menšiu ako \(9{,}99\,g;\)
c) aspoň \(10\,g\) a nie viac ako \(10{,}05\,g.\)

Riešenie: Nech \(X\) je náhodná premenná, ktorá nadobúda hodnoty skutočnej hmotnosti zakúpeného závažia. Táto náhodná premenná má normálne rozdelenie pravdepodobnosti s danými parametrami \(\mu =10\) a \(\sigma=0{,}02\), t. j. \(X\sim norm(10;0{,}02 ).\)
a) Chceme určiť \(P(X\geqq 10{,}03)\). Potom \[P(X\geqq 10{,}03)\stackrel{1}{=}1-P(X\lt 10{,}03)\stackrel{2}{=}1-P(X\leqq 10{,}03)\stackrel{3}{=}1-F(10{,}03)\stackrel{4}{=}\] \[=1-\Phi\Big(\frac{10{,}03-10}{0{,}02}\Big)= 1-\Phi(1{,}5)\stackrel{5}{\approx} \ 1- 0{,}9332=0{,}0668,\] kde sme využili
1. pravdepodobnosť opačného javu;
2. fakt, že pri spojitej náhodnej premennej je \(P(X\lt a)=P(X\leqq a)\);
3. definíciu distribučnej funkcie \(F\) náhodnej premennej \(X\): \(F(x)=P(X\leqq x)\);
4. vzťah (\ref{ppp});
5. hodnotu \(\Phi(1{,}5)\) sme získali z tabuliek hodnôt distribučnej funkcie \(\Phi\) normovanej Gaussovej náhodnej premennej alebo v MATLABe pomocou \(normcdf(1.5).\)

b) Hľadáme \(P(X\lt 9{,}99)\). Obdobne ako v a) je \[P(X\lt 9{,}99)=P(X\leqq 9{,}99)=F(9{,}99)=\Phi\Big(\frac{9{,}99-10}{0{,}02}\Big)=\] \[=\Phi(-0{,}5)\stackrel{1}{=}1-\Phi(0{,}5)\approx 0{,}3085,\] kde v rovnosti \(\stackrel{1}{=}\) sme použili túto vlastnosť funkcie \(\Phi\): pre každé \(x\gt 0\) platí \(\Phi(-x)=1-\Phi(x)\). Poznamenávame, že v MATLABe sme mohli hodnotu \(F(9{,}99)\) získať pomocou \(normcdf(9.99,10,0.02).\)

c) Tentoraz máme určiť \(P(10\leqq X \leqq 10{,}05)\). Podľa (\ref{prr}) je \[P(10\le X \le 10{,}05)=\Phi\Big(\frac{10{,}05-10 }{0{,}02 } \Big)-\Phi\Big(\frac{10-10}{0{,}02} \Big)=\Phi(2{,}5)-\Phi(0)\approx 0{,}4938,\] kde hodnotu \(\Phi(2{,}5)\) nájdeme vo vyššie spomínaných tabuľkách alebo v MATLABe pomocou \(normcdf(2.5)=0{,}9938\). Zrejme \(\Phi(0)=0{,}5.\)
Ak máme k dispozícii MATLAB, tak môžeme poslednú úlohu vyriešiť pomocou základnej vlastnosti distribučnej funkcie oveľa rýchlejšie. Platí \[P(10\leqq X \leqq 10{,}05)= F(10{,}05)-F(10),\] kde s MATLABom dostaneme \(F(10{,}05)=normcdf(10.05,10,0.02)=0{,}9938\) a \(F(10)=normcdf(10,10,0.02)=0{,}5.\) A to je v súlade s vyššie získaným výsledkom.

Príklad: Meranie ampérmetrom je zaťažené systematickou chybou \(20\,mA\) a náhodné chyby merania majú normálne rozdelenie pravdepodobnosti so smerodajnou odchýlkou \(5\,mA\). Vykonáme na ňom jedno meranie. S akou pravdepodobnosťou sa bude líšiť chyba nameranej hodnoty maximálne o \(12\,mA\) od
a) strednej hodnoty očakávanej chyby merania;
b) skutočnej meranej hodnoty?
c) Aká môže byť s pravdepodobnosťou \(0{,}95\) maximálna odchýlka chyby merania od jej strednej hodnoty?
Riešenie: Nech \(X\) je náhodná premenná, ktorá nadobúda hodnoty chyby pri jednom meraní daným ampérmetrom. Systematická chyba je vlastne priemerná chyba t. j. \(E(X) =20\). Je daná smerodajná odchýlka \(\sigma(X) =5\) a je známe, že náhodná premenná \(X\) má normálne rozdelenie -- jej parametre sú \(\mu=20\) a \(\sigma=5\) (t. j. \(X\sim norm(20,5)\)).
a) Našou úlohou je určiť pravdepodobnosť \(P(|X-\mu|\leqq 12)\stackrel{\star}{=}P(|X-20|\lt 12)\) (v rovnosti \(\stackrel{\star}{=}\) si treba uvedomiť, že \(X\) je spojitá náhodná premenná). Z (\ref{nr1}) pre \(\varepsilon =12\) dostaneme \[P(|X-20|\lt 12)=2\cdot\Phi\Big(\frac{12}{5} \Big)-1\approx 2\cdot 0{,}9918-1= 0{,}9836, \] kde hodnotu \(\Phi(2{,}4)\approx 0{,}9918\) sme získali z tabuliek distribučnej funkcie \(\Phi\) náhodnej premennej \(norm(0;1)\) alebo v MATLABe pomocou \(normcdf(2.4)\).
b) Teraz chceme vypočítať pravdepodobnosť javu, ktorý spočíva v tom, že \(|X|\leqq 12\), t. j. \(-12\leqq X\leqq 12\). Máme \[P(-12\leqq X\leqq 12)=F(12)-F(-12)\stackrel{\star}{\approx} 0{,}0548,\] kde \(F\) je distribučná funkcia náhodnej premennej \(norm(20;5)\) a v odhade \(\stackrel{\star}{\approx}\) sme hodnoty \(F(12)\) a \(F(-12)\) získali v MATLABe takto: \(F(12)=normcdf(12,20,5)\approx 0{,}0548\) a \(F(-12)=normcdf(-12,20,5)\approx 0\).
Ak by sme nemali k dispozícii MATLAB, tak by sme na základe (\ref{prr}) dostali \[P(-12\leqq X\leqq 12)= \Phi\Big(\frac{12-20 }{5 } \Big)-\Phi\Big(\frac{-12-20 }{5} \Big)=\Phi(-1{,}6)-\Phi(-6{,4})\approx 0{,}0548,\] pričom hodnoty \(\Phi(-1{,}6)\approx 0{,}0548\) a \(\Phi(-6{,}4)\approx 0\) by sme dostali z tabuliek distribučnej funkcie \(\Phi\) náhodnej premennej \(norm(0;1)\).
c) Nech \(\varepsilon \gt 0\) je hľadaná maximálna odchýlka chyby merania od jej strednej hodnoty. Žiadame, aby \(P(|X-\mu |\lt \varepsilon )=0{,}95.\) Z (\ref{nr1}) dostaneme \[P(|X-\mu |\lt \varepsilon )=P(|X-20 |\lt \varepsilon )=2\cdot\Phi\Big(\frac{\varepsilon }{5} \Big)-1\stackrel{\star}{=}0{,}95.\] Z rovnosti \(\stackrel{\star}{=}\) je \[\Phi\Big(\frac{\varepsilon }{5} \Big)=0{,}975 \quad \mbox{ čo znamená, že }\quad \varepsilon=5\cdot \Phi^{-1}(0{,}975)\approx9{,}8000\,mA,\] kde hodnotu \(\Phi^{-1}(0{,}975)\) dostaneme v MATLABe pomocou \(norminv(0.975)\approx 1{,}9600\) alebo z tabuliek distribučnej funkcie \(\Phi\) náhodnej premennej \(norm(0;1)\).

Doplňujúce úlohy

Úloha: V priebehu jednej hodiny príde na benzínové čerpadlo priemerne \(90\) zákazníkov. Počet zákazníkov za určitý časový interval sa riadi Poissonovým rozdelením pravdepodobnosti, ktorého parameter \(\lambda \) je priamo úmerný dĺžke časového intervalu. Určte pravdepodobnosť toho, že za \(4\) minúty prídu:
a) práve dvaja zákazníci;
b) najviac dvaja zákazníci;
c) aspoň dvaja zákazníci;
d) aspoň jeden zákazník.
e) Aký najmenší počet zákazníkov nebude počas \(4\) minút prekročený s pravdepodobnosťou aspoň \(0{,}99\)?

Úloha: Náhodná premenná \(X\) sa má Gaussovo rozdelenie pravdepodobnosti so strednou hodnotou \(\mu=0\). Je známe, že \(P(|X|\leqq 5)=0{,}95\). Určte
a) smerodajnú odchýlku tejto náhodnej premennej;
b) \(P(X\gt -2)\); c) \(P(|X|\leqq 2{,}5)\).

Úloha: Určitá súčiastka sa pokazí v záručnej dobe \(1000\) dní s pravdepodobnosťou \(0{,}1\). Je známe, že doba životnosti takejto súčiastky sa riadi exponenciálnym rozdelením pravdepodobnosti. Určte
a) strednú dobu životnosti tejto súčiastky;
b) pravdepodobnosť toho, že súčiastka sa nepokazí počas jedného roka (\(365\) dní);
c) pravdepodobnosť toho, že súčiastka sa nepokazí počas prvých \(200\) dní, ale pokazí sa v priebehu ďalších \(500\) dní.

Úloha: Pevnosť v ťahu náhodne vybraného výrobku má normálne rozdelenie pravdepodobnosti so strednou hodnotou \(2{,}4\) a disperziou \(0{,}64.\) Určte pravdepodobnosť toho, že pevnosť v ťahu náhodne vybraného výrobku
a) bude menšia ako \(2{,}7;\)
b) bude väčšia ako \(2;\)
c) sa nebude líšiť od strednej hodnoty o viac ako \(1.\)
Stanovte:
d) hornú hranicu pevnosti v ťahu náhodne vybraného výrobku, ktorá nebude prekročená s pravdepodobnosťou \(0{,}95;\)
e) takú hodnotu \(r,\) že pravdepodobnosť toho, že sa pevnosť v ťahu náhodne vybraného výrobku nebude líšiť od strednej hodnoty o viac ako \(r\), je \(0{,}5.\)

Doplňujúce zdroje