Plošný integrál II. druhu po uzavretej ploche.

Ciele
  1. Výpočet dvojného integrálu po uzavretej ploche orientovanej normálou von prevodom na trojný integrál.
  2. Aplikácia Gauss -- Ostrogaského vety.
Úvod
  1. Formulácia Gauss - Ostrogaského vety.

    2. V prípade, ak je plocha uzavretá, orientovaná normálou von (napr. povrch gule), je možné počítať plošný integrál pomocou trojného (analógia Greenovej vety pre krivkový integrál), o čom hovorí nasledujúca veta.

    \(\mathbf{Veta.}\) Nech \(\sigma\) je uzavretá, jednoduchá, hladká plocha, orientovanej normálovým vektorom smerom von. Nech \(A\subset \Bbb R^3\) je množina skladajúca sa zo všetkých bodov plochy \(\sigma\) aj jej vnútra. Nech \(\vec{f}(x,y,z)\) aj \(\mathrm{div}\vec{f}(x,y,z)\) sú spojité na \(A\). Potom platí \[ \vec{\pmb{r}}(t,s)=x(t,s)\vec{\pmb{i}}+y(t,s) \vec{\pmb{j}}+z(t,s)\vec{\pmb{k}},\qquad (t,s)\in\Omega, \] Potom \[ \begin{split} \iint\limits_{\sigma} \vec{f}(x,y,z)\,\textrm{d}{\vec{\sigma}} = \iiint\limits_{A}\textrm{div}\vec{f}(x,y,z)\,\textrm{d}{x}\,\textrm{d}{y}\,\textrm{d}{z} = \iiint\limits_{A} \left( \frac{\partial f_1}{\partial x} + \frac{\partial f_2}{\partial y}+\frac{\partial f_3}{\partial z}\right) \,\textrm{d}{x}\,\textrm{d}{y}\,\textrm{d}{z}. \end{split} \]
    \({\mathit{Dôkaz.}}\) Overíme platnosť nasledujúcich troch rovností \[ \iint\limits_{\sigma} {f}_1(x,y,z)\,\textrm{d}{y}\,\textrm{d}{z} = \iiint\limits_{A} ( f_1)'_x \,\textrm{d}{x}\,\textrm{d}{y}\,\textrm{d}{z}\\ \] \[ \iint\limits_{\sigma} {f}_2(x,y,z)\,\textrm{d}{x}\,\textrm{d}{z} = \iiint\limits_{A} ( f_2)'_y \,\textrm{d}{x}\,\textrm{d}{y}\,\textrm{d}{z}\\ \] \[ \iint\limits_{\sigma} {f}_3(x,y,z)\,\textrm{d}{x}\,\textrm{d}{y} = \iiint\limits_{A} ( f_3)'_z \,\textrm{d}{x}\,\textrm{d}{y}\,\textrm{d}{z} \]
    Plochu \(\sigma\) rozdelíme na dve plochy, \(\sigma=\sigma_1\cup\sigma_2\) (viď obrázok), kde \[ \sigma_1:\quad z=\psi(x,y),\quad (x,y)\in B \] a normálový vektor tejto plochy zviera s vektorom \(\vec{k}\) ostrý uhol a \[ \sigma_2:\quad z=\varphi(x,y),\quad (x,y)\in B \] Počítajme plošný integrál \[ \iint\limits_{\sigma} {f}_3(x,y,z)\,\textrm{d}{x}\,\textrm{d}{y} = \iint\limits_{\sigma_1} {f}_3(x,y,z)\,\textrm{d}{x}\,\textrm{d}{y} + \iint\limits_{\sigma_2} {f}_3(x,y,z)\,\textrm{d}{x}\,\textrm{d}{y}=(\vartriangle) \] Využitím nasledujúcej parametrizácie \[ \hspace{-2cm}\sigma_1: x =x \qquad \qquad\qquad\qquad\qquad \sigma_2: x =x\quad\\ \qquad\,\,\, y =y \qquad(x,y)\in B,\qquad\qquad\quad\, y =y\qquad(x,y)\in B,\\ \hspace{-0.8cm}z= \psi(x,y)\qquad \qquad\qquad\qquad\qquad z= \varphi(x,y) \] a vety o výpočte plošného integrálu dostávame \[ (\vartriangle)=\iint\limits_{B}\left| \begin{array}{lll} \, 0 \quad 0 \quad f_3(x,y,\psi(x,y))\,\\ \, 1 \quad 0 \quad\qquad \psi'_x\,\\ \, 0 \quad 1 \quad\qquad \psi'_y\, \end{array} \right|\,\mathrm{d}{x}\,\mathrm{d}{y}- \] \[ -\iint\limits_{B}\left| \begin{array}{lll} \, 0 \quad 0 \quad f_3(x,y,\varphi(x,y))\,\\ \, 1 \quad 0 \quad\qquad \varphi'_x\,\\ \, 0 \quad 1 \quad\qquad \varphi'_y\, \end{array} \right|\,\mathrm{d}{x}\,\mathrm{d}{y}, \] a teda \[ (\vartriangle)=\iint\limits_{B} f_3(x,y,\psi(x,y))\,\textrm{d}{x}\,\textrm{d}{y} - \iint\limits_{B} f_3(x,y,\varphi(x,y))\,\textrm{d}{x}\,\textrm{d}{y}. \] Ďalej počítajme trojný integrál \[ \iiint\limits_{A} \frac{\partial f_3}{\partial z} \,\textrm{d}{x}\,\textrm{d}{y}\,\textrm{d}{z}=(\circ) \] po množine \(A\) danej \[ A: \quad\varphi(x,y)\leq z\leq \psi(x,y) \qquad(x,y)\in B, \] preto \[ (\circ)= \iint\limits_{B}\left(\ \int\limits_{\varphi(x,y)}^{\psi(x,y)} \frac{\partial f_3}{\partial z} \,\textrm{d}{z}\right)\,\textrm{d}{x}\,\textrm{d}{y}= \iint\limits_{B} f_3(x,y,\psi(x,y))\,\textrm{d}{x}\,\textrm{d}- \iint\limits_{B} f_3(x,y,\varphi(x,y))\,\textrm{d}\,\textrm{d}=(\vartriangle) \] Tým sme dokázali požadovanú rovnosť.
Postup
  1. V krokoch opíšte postup cvičenia. Krok definuje množinu súvisiacich úloh, ktoré vedú k napĺňaniu aspoň jedného cieľa.
    Úloha: Vypočítajte plošný integrál \[ \iint\limits_{\sigma} x\,\textrm{d}{y}\,\textrm{d}{z}+ y\,\textrm{d}{x}\,\textrm{d}{z}+ z\,\textrm{d}\,{x}\,\textrm{d}{y} \] ak \(\sigma\) je povrch guľovej plochy \(A:\quad (x-1)^2+(y-1)^2+(z-2)^2\leq1\) orientovanej normálou von.
    Riešenie: Použitím Gauss - Ostrogradského vety dostávame \[ \iint\limits_{\sigma} x\,\textrm{d}{y}\,\textrm{d}{z}+ y\,\textrm{d}{x}\,\textrm{d}{z}+ z\,\textrm{d}{x}\,\textrm{d}{y} = 3\iiint\limits_{A} 1 \,\textrm{d}{x}\,\textrm{d}{y}\,\textrm{d}{z}=3V(A)=4\pi \]
    Úloha: Vypočítajte plošný integrál \[ \iint\limits_{\sigma} x^2\,\textrm{d}{y}\,\textrm{d}{z}+ y^2\,\textrm{d}{x}\,\textrm{d}{z}+ z^2\,\textrm{d}\,{x}\,\textrm{d}{y} \] ak \(\sigma\) je povrch kocky \(A=[0,1]\times[0,1]\times[0,1]\) orientovaného normálou von.
    Riešenie: Použitím Gauss - Ostrogradského vety dostávame \[ \iint\limits_{\sigma} y^2\,\textrm{d}{y}\,\textrm{d}{z}+ y^2\,\textrm{d}{x}\,\textrm{d}{z}+ z^2\,\textrm{d}{x}\,\textrm{d}{y} = 2\iiint\limits_{A}(x+y+z)\,\textrm{d}{x}\,\textrm{d}{y}\,\textrm{d}{z}= \] trojný integrál je výhodné riešiť pomocou súradníc ťažiska \[ =2\left( x_T+y_T+z_T\right)V(A)=3 \]
    Úloha: Tu napíšte konkrétne úlohy, ktoré ma študent vyriešiť.
  2. Napíšte ďalší krok.
  3. Napíšte ďalší krok.
Zdroje
  1. Moja web stránka .
  2. Predmet Matematicko--počítačové modelovanie .
Doplňujúce úlohy
    Úloha: Vypočítajte \(\displaystyle\quad\iint\limits_{\sigma} x\,\textrm{d}{y}\,\textrm{d}{z}+y\,\textrm{d}{x}\,\textrm{d}{z}+z\,\textrm{d}\,\textrm{d}{y}\), kde \(\sigma\) je guľová plocha \(x^2+y^2+z^2=a^2\), \{a>0\), orientovaná normálou von.
    Riešenie: \(\displaystyle\left[4\pi a^3\right]\)
    Úloha: Vypočítajte \(\displaystyle\quad\iint\limits_{\sigma} x\,\textrm{d}{y}\,\textrm{d}{z}+y\,\textrm{d}{x}\,\textrm{d}{z}+z\,\textrm{d}\,\textrm{d}{y}\), kde \(\sigma\) je guľová plocha \(x^2+y^2+z^2=a^2\), \{a>0\), orientovaná normálou von.
    Riešenie: \(\displaystyle\left[4\pi a^3\right]\)
    Úloha: Vypočítajte \(\displaystyle\quad\iint\limits_{\sigma}xz\,\textrm{d}{y}\,\textrm{d}{z}+ x^2y\,\textrm{d}{x}\,\textrm{d}{z}+y^2z\,\textrm{d}{x}\,\textrm{d}{y}\), kde \(\sigma\) je povrch telesa orientovaný normálou von, ktorý leží v prvom oktante a je ohraničený paraboloidom \(z=x^2+y^2\) a valcovou plochou \(x^2+y^2=1\) a súradnicovými rovinami.
    Riešenie: \(\displaystyle\left[\pi/8\right]\)
    Úloha: Vypočítajte \(\displaystyle\quad\iint\limits_{\sigma} xz\,\textrm{d}{y}\,\textrm{d}{z}+ xy\,\textrm{d}{x}\,\textrm{d}{z}+yz\,\textrm{d}{x}\,\textrm{d}{y}\), kde \(\sigma\) je povrch ihlana ohraničeného rovinami \(x=0\), \(y=0\), \(z=0\), \(x+y+z=1\), orientovaného normálou von.
    Riešenie: \(\displaystyle\left[1/8 \right]\)
Doplňujúce zdroje
  1. Tu vložte doplňujúce odporúčané zdroje.