Fyzikálne aplikácie dvojného integralu

Ciele
  1. Aplikácia vzťahov pre výpočet hmotnosti a ťažiska rovinných homogénnych a nehomogénnych telies.
  2. Zrýchlený výpočet niektorých typov dvojných integrálov pomocou súradníc a ťažiska.
Úvod
  1. Vzťahy pre výpočet hmotnosti, statických momentov a súradníc ťažiska rovinných útvarov:

    2. Uvažujme priestorové teleso \(A\), ktorého jeden rozmer môžeme zanedbať (napr. kus plechu), teda v podstate skúmame rovinné teleso. Uvažujme na úvod jednoduchší prípad, ak teleso \(A\) je homogénne s hmotnosťou \(m\) a plochou \(S\). Plošná hustota tohto telesa je \(\displaystyle{\sigma=\frac{m}{S}}\) (t.j. hmotnosť jednotkovej plochy). Uvažujme ďalej všeobecnejší prípad. Teleso \(A\) nie je homogénne, pričom plošná hustota v jeho ľubovoľnom bode \([x,y]\) je určená funkciou \(\sigma(x,y)\). Zaujíma nás aká je teraz hmotnosť tohto nehomogénneho telesa \(A\). Hmotnosť telesa vyjadríme pomocou dvojného integrálu. Začneme delením rovinného telesa \(A\), rovnako ako pri definícii dvojného integrálu.
    Predpokladáme, že segment delenia \(A_{ij}\) je tak malý, že plošnú hustotu na tomto segmente môžeme považovať za konštantnú, teda \[ \sigma(x,y)=\sigma(x_i^*,y_i^*), \] kde \([x_i^*,y_i^*]\) je ľubovoľný bod obdlžníka \(A_{ij}\), taký, že zároveň \([x_i^*,y_i^*]\in A\). Označme \(m(A_{ij})\) hmotnosť homogénneho segmentu \(A_{ij}\). Platí \[ m(A_{ij})\approx \sigma(x_i^*,y_i^*)P(A_{ij})=\sigma(x_i^*,y_i^*)\Delta x_i \Delta y_j. \] Hmotnosť celého telesa \(A\) aproximujeme súčtom hmotností homogénnych segmentov \(A_{ij}\), preto \[ m(A)\approx \sum\limits_{i,j}m(A_{ij}) \approx\sum\limits_{i,j} \sigma(x_i^*,y_i^*)\Delta x_i \Delta y_j. \] Keďže uvažujeme normálnu postupnosť delení množiny \(A\), limitným prechodom dostávame \[ m(A)=\lim_{n\to\infty}\sum\limits_{i,j}\sigma(x_i^*,y_i^*)\Delta x_i \Delta y_j = \iint\limits_{A}\sigma(x,y)\, \mathrm{d}{x}\mathrm{d}{y}. \] Odvodili sme vzorec pre výpočet hmotnosti rovinného nehomogénneho telesa. \[ m(A)= \iint\limits_{A}\sigma(x,y)\, \mathrm{d}{x}\mathrm{d}{y}. \]
    Príklad: Polkruh \(x^2+y^2\leq r_2, y\geq 0\) má hustotu v každom bode priamo úmernú vzdialenosti bodu od osi \(o_x\). Vypočítajte jeho hmotnosť.
    Riešenie: Načrtneme si množinu \(A\).
    Využitím vzťahov pre výpočet hmotnosti rovinného telesa dostávame \( m(A)= \iint\limits_{A}\sigma(x,y)\, \mathrm{d}{x}\mathrm{d}{y}= \iint\limits_{A}ky\, \mathrm{d}{x}\mathrm{d}{y}. \) Polkruh \(A\) môžeme popísať aj pomocou pravouhlých súradníc aj polárnych súradníc. \[ \begin{array}{ccc} A: \quad -r \leq x\leq r\\ \quad 0 \leq y\leq \sqrt{r^2-x^2} \end{array} \qquad\qquad \begin{split} A: \quad 0 \leq \varphi\leq \pi\\ 0 \leq \rho\leq r \end{split} \] Výpočet integrálu urobíme v pravouhlých súradniciach \begin{equation*} \begin{split} m(A) = \iint\limits_{A}ky\, \mathrm{d}{x}\mathrm{d}{y} = \int\limits_{-r}^{r} \left[\ \int\limits_{0}^{\sqrt{r^2-x^2}}ky\,\mathrm{d}{y} \right]\mathrm{d}{x}= \frac{k}{2}\int\limits_{-r}^{r}\left(r^2-x^2\right)\,\mathrm{d}{x}= \frac{k}{2}\left[r^2x-\frac{x^3}{3} \right]_{-r}^{r}=\frac23 kr^3. \end{split} \end{equation*}

  2. Statické momenty. Ťažisko.

    3. Motivácia: Statický moment chápeme ako silu potrebnú na udržanie hmotného bodu (telesa) v rovnováhe.
    Statický moment \(S_x\) hmotného bodu \(M\) vzhľadom na os \(o_x\) definujeme ako súčin jeho hmotnosti \(m\) a jeho vzdialenosti od osi \(o_x\). Teda \(S_x=my\). Podobne pre statický moment \(S_y\) hmotného bodu \(M\) vzhľadom na os \(o_y\) definujeme \(S_y=mx\).
    Uvažujme trošku zložitejší prípad. Pre homogénny obdlžník so stredom \(S=[x,y]\) a hmotnosťou \(m\) sú momenty vzhľadom na jednotlivé osi \(S_x=my\), \(S_y=mx\).
    Všeobecnejšia je úloha, vypočítať statické momenty vzhľadom na osi \(o_x\), \(o_y\) nehomogénneho rovinného telesa \(A\) (plech) o hmotnosti \(m\) s hustotou \(\sigma(x,y)\). Použije nasledujúcu aproximáciu, pri ktorej urobíme delenie telesa \(A\) rovnaké, aké sme použili pri definícii dvojného integrálu.
    Platí, že \[ S_x(A)\approx \sum\limits_{ij} S_x(A_{ij}), \] kde \(S_x(A_{ij})\) je statický moment, obdlžníkového segmentu \(A_{ij}\), ktorý vznikol delením m nožiny \(A\). Keďže segment môže byť ľubovoľne malý, môžeme ho považovať za homogénny, pričom jeho hustota je \(\sigma(x_i^*,y_j^*)\), kde \([x_i^*,y_j^*]\) je stred obdlžníka \(A_{ij})\), a preto \[ S_x(A_{ij})=m(A_{ij})y_j^*=\sigma(x_i^*,y_j^*)\,y_j^*\,\Delta A_{ij}, \] Teda pre statický moment vzhľadom na os \(o_x\) telesa \(A\) máme \[ S_x=\sum\limits_{ij}\sigma(x_i^*,y_j^*)\,y_j^*\,\Delta A_{ij}. \] Limitným prechodom pre normálnu postupnosť delení množiny \(A\) dostávame \[ S_x=\iint\limits_{A}\sigma(x,y)\,y\,\mathrm{d}{x}\mathrm{d}{y}. \] Analogicky odvodíme vzťah pre výpočet statického momentu telesa \(A\) vzhľadom na os \(o_y\) \[ S_y=\iint\limits_{A}\sigma(x,y)\,x\,\mathrm{d}{x}\mathrm{d}{y}. \] Nech teraz \(T=[x_{T},y_{T}]\) je taký bod roviny \(\rho_{xy}\) o hmotnosti \(m\), že \begin{equation}\label{tazisko1} \begin{split} S_x = y_T m\\ S_y = x_T m, \end{split} \end{equation} čo znamená, že statický moment celého telesa \(A\) vzhľadom na os \(o_x\) sa rovná statickému momentu bodu \(T\) o hmotnosti \(m\) (čo je hmotnosť celého telesa). Podobne je to pre statický moment vzhľadom na os \(o_y\). Voľne povedané hmotnosť celého telesa sústredíme do jediného bodu, tak aby sa zachovali statické momenty. Takýto bod \(T=[x_{T},y_{T}]\) nazývame ťažisko. Na základe \eqref{tazisko1} dostávame vzťahy pre výpočet súradníc ťažiska telesa \(A\) o hmotnosti \(m\) \begin{equation}\label{tazisko} \begin{split} x_T = \frac{1}{m}\iint\limits_{A}\sigma(x,y)\,x\,\mathrm{d}{x}\mathrm{d}{y},\\ y_T = \frac{1}{m}\iint\limits_{A}\sigma(x,y)\,y\,\mathrm{d}{x}\mathrm{d}{y}. \end{split} \end{equation}
    \[ \hline \]
  3. Využitie súradníc ťažiska pri výpočte niektorých typov integrálov:

    4. Dvojný integrál má rozmanité geometrické a fyzikálne aplikácie, napríklad v predchádzajúcej časti spomínané ťažisko. Ale aj naopak, pomocou súradníc ťažiska vieme šikovne vypočítať isté typy dvojných integrálov, konkrétne integrál z lineárnej funkcie. Vyplýva to z nasledujúcich úvah. Vieme, že \[ x_T = \frac{1}{m}\iint\limits_{A}\sigma(x,y)\,x\,\mathrm{d}{x}\mathrm{d}{y}. \] Predpokladajme, že teleso \(A\) je homogénne s hustotou \(\sigma(x,y)=1\). Potom \(m= P(A)\cdot 1\) a teda \[ \iint\limits_{A}x\,\mathrm{d}{x}\mathrm{d}{y}=x_T P(A). \] Analogicky \[ \iint\limits_{A} y\,\mathrm{d}{x}\mathrm{d}{y}=y_T P(A). \] Preto \[ \iint\limits_{A}\big(ax+by+c\big)\,\mathrm{d}{x}\mathrm{d}{y}= \] využitím lineárnosti pre dvojný integrál \[ =a\iint\limits_{A}x\,\mathrm{d}{x}\mathrm{d}{y}+b\iint\limits_{A}y\, \mathrm{d}{x}\mathrm{d}{y}+c\iint\limits_{A}\,\mathrm{d}{x}\mathrm{d}{y}= \big(ax_T+by_T+c\big)P(A). \] V nasledujúcom príklade ukážeme použitie tohto výpočtu.
    Príklad: Vypočítajte \[ \iint\limits_{A} \left(2x+3y-5\right)\, \mathrm{d}{x}\mathrm{d}{y}, \] kde množina \(A\) je ohraničená krivkou \(\displaystyle{\frac{(x-1)^2}{4}+\frac{(y-2)^2}{9}=1}\)
    Riešenie: Načrtneme si množinu \(A\).
    Ak sa na množinu \(A\) pozrieme ako na homogénne rovinné teleso, tak potom súradnice jeho ťažiska sú \(T=[1,2]\). Obsah množiny \(A\) je \(P(A)=6\pi\). Preto \[ \iint\limits_{A} \left(2x+3y-5\right)\, \mathrm{d}{x}\mathrm{d}{y}=( 2x_T+3y_T-5)P(A)=18\pi. \]
Postup
  1. Výpočet príkladov na fyzikálne aplikácie dvojného integrálu.
    Príklad: Vypočítajte hmotnosť homogénnej rovinnej oblasti ohraničenej danými krivkami: \(y^2=x\), \(y=1\), \(x=0\).
    Riešenie: \(\displaystyle\left[\frac{1}{3}\right]\)
    Príklad: Vypočítajte hmotnosť homogénnej rovinnej oblasti ohraničenej danými krivkami: \[x^2+y^2=2x\] \[x^2+y^2=2y\].
    Riešenie: \(\displaystyle\left[\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]\)
    Príklad: Vypočítajte hmotnosť homogénnej rovinnej oblasti ohraničenej danými krivkami: \[y^2=4x\] \[x=4\].
    Riešenie: \(\displaystyle\left[\frac{12}{5},0\right]\)
    Príklad: Vypočítajte súradnice ťažiska homogénnej rovinnej oblasti ohraničenej': kruhobý výsek medzikružia s polomermi 2 a 4 a \(\varphi\in\left\langle 0,2\pi\right\rangle\).
    Riešenie: \(\displaystyle\left[\frac{59}{9\pi},\frac{56}{9\pi}\right]\)
    Príklad: Vypočítajte dvojný integrál využitím súradnic ťažiska \[\iint_A(4x+2y+5)\,{\rm d}x\,{\rm d}y,\quad A:\,\,\frac{(x-3)^2}{4}+\frac{y^2}{1}=1\].
    Riešenie: \(\left[ 34\pi\right]\)
Zdroje
  1. Moja web stránka .
  2. Predmet Matematicko--počítačové modelovanie .
Doplňujúce úlohy
    Úloha: Vypočítajte súradnice ťažiska homogénnej rovinnej oblasti ohraničenej kružnicou \(\displaystyle x^2-2x+y^2=0\) a priamkou \(y=x\) ak naviac \(y\geq x\).
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Vypočítajte súradnice ťažiska homogénnej rovinnej oblasti ohraničenej parabolou \(\displaystyle 2y=x^2\) a priamkou ak \(x+y=2\).
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Vypočítajte súradnice ťažiska homogénnej rovinnej oblasti ohraničenej krivkami \(\displaystyle y=\sin x \), \(y=0\), \(x=\pi/4\) ak \(0\leq x\leq \pi/4\).
    Zobraziť výsledok
Doplňujúce zdroje
  1. Tu vložte doplňujúce odporúčané zdroje.
  2. Tu vložte doplňujúce odporúčané zdroje.