FP / Jazyk Lambda

Čo to je?

Motivácia

• Čo sa dá vypočítať?
• Čo je to algoritmus?
• Aké má vlastnosti?

Entscheidungs­problem

Formálna definícia algoritmu

1. Kurt Gödel
   Čiastočne rekurzívne funkcie (1933)
2. Alonzo Church
   λ kalkul (1936)
3. Alan Turing
   Turingov stroj (1936)

Všetky sú ekvivalentné — Churchova–Turingova téza

Turingov stroj

$$ {\displaystyle M=\langle Q,\Gamma ,b,\Sigma ,\delta ,q_{0},F\rangle } $$

• A Turing Machine (in the classic style)

Výraz λ

expression ::= name                     variable
            |  expression expression    application
            |  λ name . expression      abstraction
            |  ( expression )           grouping

Aplikácia

• f a
• f (g b)
• f a b ≡ (f a) b

Abstrakcia

• λa.b
• λa.f x
• λa.λb.a ≡ λa.(λb.a)
• Aplikácia:
  • (λa.b) x
  • (λa.λb.a) x y ≡ ((λa.(λb.a)) x) y

Haskell

• \a -> b
• \a -> f x
• \a -> \b -> a ≡ \a -> (\b -> a)
• Aplikácia:
  • (\a -> b) x
  • (\a -> \b -> a) x y ≡ ((\a -> (\b -> a)) x) y

Transformácie

1. Zámena alfa (α) — premenovanie premennej
   λa.a b ↔ λy.y b
2. Zámena beta (β) — „dosadenie“
   (λa.a b) f ↔ f b
3. Zámena eta (η)
   (λa.f a) ↔ f

Iba pre viazané premenné. Voľné premenné musia zostať voľnými.

Konflikt mien

(λa.λb.a b) b c → (λb.b b) c — nesprávne

(λa.λb.a b) b c — zámena alfa
→ (λa.λx.a x) b c — zámena beta
→ (λx.b x) c — zámena beta
→ b c

Redukcia

• Normálne poradie redukcie — vonkajšia redukcia zľava
  • vyhodnotenie na základe požiadavky

(λa.λb.a b) (λc.c) d
→ (λb.(λc.c) b) d
→ (λc.c) d
→ d

A čo hodnoty?

Iba funkcie!

Church encoding

True & False

• Používané na rozhodovanie — vyber medzi dvoma možnosťami
• true = λx.λy.x
• false = λx.λy.y

if then else

• ifThenElse = λp.λt.λe.p t e
• ifThenElse = λp.p

Operátory

• and = λa.λb.a b False = λa.λb.a b a
• or = λa.λb.a True b = λa.λb.a a b
• not = λp.λa.λb.p b a

Kombinátory

Kombinátor — abstrakcia lambda bez voľných premenných.

• I = λa.a — funkcia id
• M = D = λf.f f
• K = λa.λb.a — funkcia const
• KI = λa.λb.b
• C = λf.λa.λb.f b a — funkcia flip

K I → (λa.λb.a) (λa.a) → λb.(λa.a) → λa.(λb.b) → KI

Boolovské operácie pomocou kombinátorov

• true = λx.λy.x = K
• false = λx.λy.y = KI
• ifThenElse = λp.p = I
• not = λp.λa.λb.p b a = C

Čísla

Čísla

• 0 = λf.λx.x
• 1 = λf.λx.f x
• 2 = λf.λx.f (f x)
• 3 = λf.λx.f (f (f x))
• 4 = λf.λx.f (f (f (f x)))

0 = false

Ďalšie čísla

• succ = λn.λf.λx.f (n f x)

succ 2
→ (λn.λf.λx.f (n f x)) (λf.λx.f (f x)) → alfa
→ (λn.λf.λx.f (n f x)) (λa.λb.a (a b))
→ λf.λx.f ((λa.λb.a (a b)) f x)
→ λf.λx.f ((λb.f (f b)) x)
→ λf.λx.f (f (f x)) = 3

Operátory

• add = λn.λk.n succ k
• mult = λn.λk.λf.n (k f)
• pow = λn.λk.k n

Ďalší kombinátor

• B = λf.λg.λa.f (g a) — kompozícia (.)

• succ = λn.λf. B f (n f)
• mult = B

Rekurzia?

Faktoriál

• fact = λn. (isZero n) 1 (mult n (fact (pred n)))
• priradenie mien nie je súčasťou jazyka λ

Faktoriál

• fact' = λf.λn. (isZero n) 1 (mult n (f (pred n)))
• fact = Y fact'

Y combinator

Y = (λh.(λx.h (x x)) (λx.h (x x)))

Y g = … = g (Y g)

Kombinátory

Kombinátory

• jednoduchší spôsob vyjadrenia výpočtu
• bez abstrakcie (λ)
• iba aplikácia
• jeden zo spôsobov implementácie fukncionálnych jazykov

S K I

Všetky funkcie je možné vyjadriť pomocou troch kombinátorov:

• S = λf.λg.λa.f a (g a)
• K = λa.λb.a
• I = λa.a

Alebo dokonca dvoch, lebo I = S K K

Haskell

• Haskell je nadstavba kalkulu lambda
• λa.a ≡ \a -> a
• id = \a -> a ≡ id a = a
• const = \a -> \b -> a ≡ const a b = a
• Všetky matematické vlastnosti platia aj pre programy

GHC

• „Odcukrenie“ (desugaring) kódu do polymorfného kalkulu λ – System F
• Transformácia lambda výrazov do strojového kódu

Iné jazyky

• Anonymné funkcie
• Voľné premenné — uzávery (closure)