FP / Funkcie a vyhodnocovanie

Funkcionálne programovanie

• Program — množina definícií funkcií
• Funkcia — rovnica
• Vykonanie — výpočet hodnoty hlavnej funkcie

Funkcie

Referenčná transparentnosť

• Funkcia len vypočítava hodnotu na základe argumentov
• Žiadne vedľajšie účinky
• Každý výraz je možné nahradiť jeho hodnotou

@dataclass
class CumulativeAvg:
    avg: float = 0
    num: int = 0

current = CumulativeAvg()

def new_average(x: float) -> float:
    current.avg = current.avg + (x - current.avg) / (current.num + 1)
    current.num += 1
    return current.avg

@dataclass
class CumulativeAvg:
    avg: float = 0
    num: int = 0

def new_average(current: CumulativeAvg, x: float) -> CumulativeAvg:
    return CumulativeAvg(
        current.avg + (x - current.avg) / (current.num + 1),
        (current.num + 1))

def hello() -> None:
    print("Hello!")

def hello() -> str:
    return "Hello!"

def add(x: int, y: int) -> int:
    return x + y

def add() -> int:
    x = int(input("x? "))
    y = int(input("y? "))
    return x + y

Čisté funkcie

• nezávislosť kódu
• testovanie
• paralelizmus
• optimalizácie

Definícia

Definícia funkcie

$$ \begin{array}{l} f :: T_1 \rightarrow T_2 \rightarrow \dots \rightarrow T_n \rightarrow T \\ f \; x_1 \; x_2 \; \dots \; x_n = e \end{array} $$

add :: Int -> Int -> Int
add x y = x + y

Arita

• Počet argumentov
• Unárna, binárna, ternárna, atď.
• Arita 0? — konštanta

Prečo ->?

-> asociuje doprava

add :: Int -> Int -> Int
add :: Int -> (Int -> Int)

Čiastočná aplikácia

• Aplikácia asociuje zľava

  add 1 2 == (add 1) 2
  

• Čiastočná aplikácia funkcie

  map (add 5) [1..5]
  filter (elem 'a') words
  

• Currying: funkcia ľubovoľnej arity → unárna funkcia

Haskell Curry

• 1900–1982
• Americký matematik a logik
• Kombinatorná logika
• Curry–Howardov izomorfizmus
  • dôkaz — program
  • veta — typ

Čiastočná aplikácia v Pythone

def add(x, y):
    return x + y

from functools import partial
add(1, 2) == partial(add, 1)(2)

add1 = partial(add, 1)
add1(2)

Výpočet

Kanonická funkcia

• Nedá sa ďalej redukovať
• Nemá definíciu (pravú stranu)
• Príklady
  • True a False
  • hodnoty
  • konštruktory dátových typov: Pair 1 2, alebo (1, 2)

Formy výrazu

• Výraz add 2 (square 3)
• Ekvivalentná forma, napr. add 2 (9), alebo 2 + 3*3
• Normálna (kanonická) forma — hodnota 11
• Výpočet — zjednodušenie do normálnej formy

Stratégie

Vnútorná redukcia zľava

add 2 (square 3)
 ⇒ add 2 (3 * 3)
 ⇒ add 2 9
 ⇒ 2 + 9
 ⇒ 11

Vonkajšia redukcia zľava

add 2 (square 3)
 ⇒ 2 + (square 3)
 ⇒ 2 + (3 * 3)
 ⇒ 2 + 9
 ⇒ 11

Stratégie výpočtu

• Nie každý výraz má kanonickú formu.
• Nie každou stratégiou sa dá dosiahnuť.
• Ak kanonická forma existuje ⇒ dá sa dosiahnuť vonkajšou redukciou.
• Normálne poradie redukcie.

• Vnútorná redukcia zľava — výpočet na základe hodnoty
  • eager evaluation
• Vonkajšia redukcia zľava — výpočet na základe požiadavky
  • lazy evaluation

infinity n = n : infinity (n + 1)
take n _ | n <= 0 =  []
take _ []         =  []
take n (x:xs)     =  x : take (n-1) xs

• take 2 (infinity 1)
• ⇒ take 2 (1 : infinity (1 + 1))
• ⇒ 1 : take (2 - 1) (infinity (1 + 1))
• ⇒ 1 : take 1 (infinity (1 + 1))
• ⇒ 1 : take 1 ((1 + 1) : infinity ((1 + 1) + 1))
• ⇒ 1 : (1 + 1) : (take (1 - 1) (infinity ((1 + 1) + 1))
• ⇒ 1 : 2 : (take (1 - 1) (infinity ((1 + 1) + 1))
• ⇒ 1 : 2 : (take 0 (infinity ((1 + 1) + 1))
• ⇒ 1 : 2 : []

Generátory v Pythone

def infinity(n):
    while True:
        yield n
        n += 1

import itertools
list(itertools.islice(infinity(1), 5))

Prúdy (streams) v Jave

IntStream.iterate(1, i -> i+1).limit(5).toArray()

Fibonacci

fib 0 = 0
fib 1 = 1
fib n = fib (n-1) + fib (n-2)

fibs = 0 : 1 : zipWith (+) fibs (tail fibs)
fib n = fibs!!n